2025年北京一七一中高二（下）期中数学试卷含答案

2025北京一七一中高二（下）期中数学考试时间：120分钟总分：150分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.在一般情况下，下列各组的两个变量呈正相关的是（）A.某商品的销售价格与销售量 B.汽车匀速行驶时的路程与时间C.气温与冷饮的销售量 D.人的年龄与视力2.的值为（）A. B. C. D.3.设函数的导函数为，则为（）A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数4.袋中有5个形状相同的乒乓球，其中3个黄色2个白色，现从袋中随机取出3个球，则恰好有2个黄色乒乓球的概率是（）A. B. C. D.5.下列函数中，在区间上的平均变化率最大的时（）A. B. C. D.6.小明投篮三次，每次投中的概率为0.8，且每次投篮互不影响．若投中一次得2分，没投中得0分，总得分为，则（）A. B. C. D.7.“杨辉三角”是数学史上的一个重要成就，本身包含许多有趣的性质，如图：则第8行的第7个数是（）A.8 B.21 C.28 D.568.已知函数，则（）A. B.C. D.9.已知一批产品中，A项指标合格的比例为80%，B项指标合格的比例为90%，A、B两项指标都合格的比例为60%，从这批产品中随机抽取一个产品，若A项指标合格，则该产品的B项指标也合格的概率是（）A. B. C. D.10.在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数(注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论:①当销量为1000件时，总收益最大；②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为；③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．其中正确结论的个数为（）A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.已知函数，则_____．12.已知线性相关的两个变量和的取值如下表，且经验回归方程为，则______．01342.24.34.86.713.在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，则________；常数项为________.（用数字作答）14.袋中有编号为1，2，3，4，5的5个球，从中任取3个球，共有________种不同的取法；记X为取出的三个球的最小号码，则________.（用数字作答）15.已知函数，其中．给出下列四个结论：①当时，函数有极大值，无极小值；②若方程存在三个根，则；③当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点；④当时，存在使得函数的图象在点和点处的切线是同一条直线．其中所有正确结论的序号是_________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.8（Ⅰ）试估计C班的学生人数；（Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；（Ⅲ）再从A，B，C三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时）.这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为，表格中数据的平均数记为，试判断和的大小.（结论不要求证明）17.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，M，N分别为，AC的中点．（1）求证：平面；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18.已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）19.已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.20.已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若在区间上单调递减，求的取值范围；（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）21.已知无穷递增数列各项均为正整数，记数列为数列的自身子数列.（1）若，写出数列的自身子数列的前4项；（2）证明：；（3）若数列与是公差分别为，的等差数列.（i）证明：；（ii）当，时，求数列的通项公式.

参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【分析】根据相关关系的概念逐项判定，即可求解.【详解】对于A，某商品的销售价格与销售量呈负相关关系，故错误；对于B，汽车匀速行驶时的路程与时间是函数关系，故错误；对于C，气温与冷饮的销售量呈正相关，故正确；对于D，人的年龄与视力呈负相关，故错误.故选：C.2.【答案】C【分析】根据组合数公式，即可求得答案.【详解】由题意得，故选：C3.【答案】B【分析】首先求函数的导数，利用三角函数的性质判断奇偶性.【详解】由题意可知，，是偶函数.故选：B4.【答案】D【分析】根据超几何分布公式计算即可.【详解】设事件A表示“取出3个球中恰好有2个黄色乒乓球”，则，故选：D.5.【答案】B【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解.【详解】对于A，在上的平均变化率为，对于B，在上的平均变化率为，对于C,在上的平均变化率为，对于D，在上的平均变化率为，故在上的平均变化率最大，故选：B6.【答案】A【分析】利用二项分布的期望公式以及期望性质计算可得结果.【详解】设投篮3次投中的次数为随机变量，则服从二项分布，即，因此，而，所以.故选：A7.【答案】C【分析】根据“杨辉三角”的特征，直接求出结果.【详解】依题意，第8行的第7个数是.故选：C8.【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数说明函数的单调性，即可比较大小.【详解】函数的定义域为，且，所以为偶函数，又，令，则，所以（）在定义域上单调递增，又，所以当时，所以在上单调递增，因为，所以，又，所以.故选：D9.【答案】C【分析】根据题意利用条件概率公式求解即可.【详解】记事件为“A项指标合格”，事件为“B项指标合格”，则，所以。故选：C10.【答案】D【分析】先根据函数求导公式找到（为常数），结合二次函数性质和条件计算判断结论的正误；【详解】根据题意可知，则（为常数），①（为常数），根据二次函数的最值可知当销量件时，总收益最大，①正确；②若销量为800件时，总收益为，所以（为常数），解得,则当销量增加400件，即件，总收益，②正确；③当销量从500件增加到501件时，，总收益改变量的近似值为500．③正确；故选：D.二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】2【分析】求导得，代入即可求解.【详解】由题意，所以.故答案为：2.12.【答案】2.6【分析】求出样本中心点，代入回归方程即可.【详解】由已知可得，，∴∴.故答案为：2.6.13.【答案】①.6②.【分析】由题意可得，从而可求出，然后求出二项式展开式的通项公式，令的次数为0，求出，进而可求出常数项.【详解】因为在的展开式中，所有的二项式系数之和为64，所以，得，所以，则其展开式的通项公式为，令，得，所以展开式的常数项为.故答案为：6，.14.【答案】①.10②.##0.3【分析】根据给定条件，利用组合计数问题列式计算即可；再求出3个球中最小号码是2的个数即可求出概率.【详解】任取3球的不同取法种数是；.故答案为：10；15.【答案】②③④【分析】每个命题都画出对应的函数图像，数形结合，即可得出答案．【详解】对于①,第二段的对称轴为，画出函数草图，则函数无极大值，故①错误．对于②，如图所示．方程存在三个根，在第一段内显然有一个根，则在第二段内一定有两个根．即在上有两根，即在有两根．必须满足，解得，故②正确.对于③，当时，函数的图象上存在关于原点对称的两个点，等价于第二段函数图像关于原点对称的图像，与原函数的第一段图像有交点，如图所示，显然成立.故③正确.对于④，当时，，大概画出草图如下.第一段求导，则在处的切线斜率为第二段求导，则在处的切线斜率为.则存在，使得切线斜率相等.再结合图像，两段存在公切线.故④正确.故答案为：②③④.【点睛】方法点睛：本题综合考查了函数极值，对称性，切线，零点问题.直接计算有时候比较复杂，可以数形结合，可以简化分析运算.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.【答案】（Ⅰ）40；（Ⅱ）；（III）.【详解】试题分析：（Ⅰ）根据图表，结合分层抽样的抽样比计算C班的学生人数；（Ⅱ）根据题意列出“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”的所有事件，由相互独立事件概率公式求解.（Ⅲ）根据平均数公式进行判断即可.试题解析：（Ⅰ）由题意知，抽出的名学生中，来自C班的学生有名.根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为.（Ⅱ）设事件为“甲是现有样本中A班的第个人”，，事件为“乙是现有样本中C班的第个人”，，由题意可知，，；，.,,.设事件为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”.由题意知，.因此.（Ⅲ）.【考点】分层抽样、相互独立事件的概率、平均数【名师点睛】求复杂的互斥事件的概率的方法：一是直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和，运用互斥事件的求和公式计算；二是间接法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式，即运用逆向思维的方法(正难则反)求解，应用此公式时，一定要分清事件的对立事件到底是什么事件，不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目，用第二种方法往往显得比较简便.17.【答案】（1）见解析（2）见解析【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面平面，从而可证平面.（2）选①②均可证明平面，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【小问1详解】取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则，而平面，平面，故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面，【小问2详解】因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为，故平面，因为平面，故，若选①，则，而，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.若选②，因为，故平面，而平面，故，而，故，而，，故，所以，故，而，，故平面，故可建立如所示的空间直角坐标系，则，故，设平面的法向量为，则，从而，取，则，设直线与平面所成的角为，则.18.【答案】(1)(2)(3)见解析【详解】试题分析：（1）求导数，导数等于0求出，再代入原函数解析式，最后比较大小，即可；（2）设切点，由相切得出切线方程，然后列表并讨论求出结果;(3)由（2）容易得出结果.由得，令，得或，因为，，，，所以在区间上的最大值为.（2）设过点P（1，t）的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为，因此，整理得：，设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”，=，与的情况如下：01+00+t+3所以，是的极大值，是的极小值，当即时，过点存在3条直线与曲线相切时，t的取值范围是.（3）过点A（-1，2）存在3条直线与曲线相切；过点B（2，10）存在2条直线与曲线相切；过点C（0，2）存在1条直线与曲线相切.考点：本小题主要考查导数的几何意义、导数在函数中的应用等基础知识的同时，考查分类讨论、函数与方程、转化与化归等数学思想，考查同学们分析问题与解决问题的能力.利用导数研究函数问题是高考的热点，在每年的高考试卷中占分比重较大，熟练这部分的基础知识、基本题型与基本技能是解决这类问题的关键.19.【答案】(I)(II)不可能是菱形【详解】解：(1)椭圆W：＋y2＝1的右顶点B的坐标为(2,0)．因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分．所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得＋m2＝1，即m＝±.所以菱形OABC的面积是|OB|·|AC|＝×2×2|m|＝.(2)四边形OABC不可能为菱形．理由如下：假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)．由消y并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则＝－，＝k·＋m＝.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为－.因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．20.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【分析】（1）根据对数、分式性质求函数定义域；（2）对函数求导，根据题设有在上恒成立，构造函数研究最值，列不等式求参数范围.