湖北省武汉市部分重点中学2025-2026学年高二数学上学期10月检测试卷含解析

湖北省武汉市部分重点中学2025-2026学年高二数学上学期10月检测试卷

一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1.点O在平行四边形ABCD所在平面外，AC与BD交于点M，则2OAOB2OCOD（）

A.3OMB.OMC.4OMD.2OM

【答案】D

【解析】

【分析】利用向量的线性运算即可求解.

【详解】因为四边形ABCD为平行四边形，所以M为AC和BD的中点，

所以2OAOB2OCOD2OAOCOBOD22OM2OM2OM，

故选：D.

2.直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，若l1与l2只有一个公共点，则（）

A.A1B1A2B20B.A1B2A2B10

AAAB

C12D.11

.B1B2A2B2

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，分析可得直线l1与l2相交，结合直线的方程分析可得A1B2A2B1，变形可得

A1B2A2B10，即可得答案．

【详解】若l1与l2只有一个公共点，则l1与l2相交，

又直线l1:A1xB1yC10，l2:A2xB2yC20，

则A1B2A2B1，即A1B2A2B10.

故选：B

3.设a(1,1,0)，b(t,0,1)分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（）

A.1B.－1C.－1或1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】借助向量夹角公式求解即可.

【详解】因为法向量a，b所成的角与两平面所成的角相等或互补，

1,1,0t,0,11

所以，得t＝±1．

21t22

故选：C．

4.直线3x4y0与直线6x8y50间的距离为（）

111

A.B.C.D.1

1052

【答案】C

【解析】

【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可.

501

【详解】3x4y0可变为6x8y0，则两条平行直线间的距离为．

62822

故选：C.

5.下列说法一定正确的是（）

A.过点0,1的直线方程为ykx1

B.直线ykx2在y轴上的截距为2

C.直线xsinycos10的倾斜角为

x,yx,y

D.过11，22两点的直线方程为yy1x2x1xx1y2y1

【答案】D

【解析】

【分析】根据直线方程的不同形式以及直线的相关性质，结合倾斜角、截距等概念，需要对每个选项逐一

进行分析判断.

【详解】对A，当直线斜率不存在时，直线方程为x0，故A错误．

对B，令x0，y2，则直线ykx2在y轴上的截距为2，故B错误．

sin

对C，直线xsinycos10,其斜率ktantan(为倾斜角)，但是倾斜角

cos

0,，而的取值范围是R，若0,π，则直线xsinycos10的倾斜角不是，故C

错误．

对D，当过点x1,y1，x2,y2的直线斜率存在且不为零时，

yyxx

11

该直线的两点式方程为，可化为yy1x2x1xx1y2y1；

y2y1x2x1

当直线与x轴垂直时，方程为xx1，满足yy1x2x1xx1y2y1；

当直线与y轴垂直时，方程为yy1，满足yy1x2x1xx1y2y1．

综上所述，过x1,y1，x2,y2两点的直线方程为yy1x2x1xx1y2y1，故D正确.

故选：D

6.生活中的建筑模型多与立体几何中的图形有关联，既呈现对称美，也具有稳定性.已知某凉亭的顶部可

视为如图所示的正四棱锥SABCD，其所有棱长都为6，且AC,BD交于点O，点E在线段SC上，且

1

CESC，则SAD的重心G到直线OE的距离为（）

3

A.35B.235C.335D.435

5555

【答案】B

【解析】

【分析】首先以O为原点，OA,OB,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可.

【详解】以O为原点，OA,OB,OS分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示：

2

因为所有棱长都为6，所以OA32，SO623232，

所以O0,0,0，A32,0,0，D0,32,0，S0,0,32，C32,0,0，

因为G为SAD的重心，所以G2,2,2.

设Ex,y,z，CEx32,y,z，CS32,0,32，

x322x22

1

因为CECS，所以y0y0，即E22,0,2.

3

z2z2

因为OE22,0,2，OG2,2,2，

2

2

OGOE42235

则G到直线OE的距离dOG6.

105

OE

故选：B

ac1422

7.已知实数a,b,c,d满足，则acbd的最小值为（）

bd33

121816449

A.B.C.D.

25252525

【答案】B

【解析】

【分析】由题意确定点a,b在直线3x4y0上，点c,d在直线3x4y90上，将

22

acbd的最小值转化为两平行线间距离的平方，即可求得答案.

ac14

【详解】由题意知实数a,b,c,d满足，

bd33

则3a4b0,3c4d90，

故点a,b在直线3x4y0上，点c,d在直线3x4y90上，

22

而acbd表示点a,b和点c,d之间的距离的平方，

22

故acbd的最小值为两平行线3x4y0和3x4y90间距离的平方，

2

9081

最小值为，

2225

34

故选：B

8.如图，已知三棱锥PABC，其中PA平面ABC，PA3，ABC是边长为2的正三角形．已知Q

为棱PA（不含端点）上的动点，若光线从点Q出发，依次经过平面PBC与平面ABC反射后重新回到点Q，

则光线经过的路径长度的取值范围是（）

A.(0,6)B.(3,6)C.(0,23)D.(3,23)

【答案】B

【解析】

【分析】先由光线反射的特征，得平面QMN平面ABC，平面QMN平面PBC，进而N点在PE上，

M点在AE上，利用对称性，用坐标法求光线经过的路径长度的取值范围.

【详解】如图，设光线从点Q出发，依次经过平面PBC的N点与平面ABC的M反射后重新回到点Q，

根据光线反射的特征可知，平面QMN平面ABC，平面QMN平面PBC

设BC的中点为E，则N点在PE上，M点在AE上.

因为E为中点，ABC是正三角形，所以AEBC，又PA平面ABC，

所以BC平面PAE，BC平面ABC，BC平面PBC，

平面QMN平面ABC，平面QMN平面PBC.下面计算三角形QMN的周长.

因为ABC是边长为2的正三角形，AE3，PA3

如图建立平面直角坐标系，则P(0,3)，E(3,0)，设Q(0,b)，0b3，Q关于直线AE的对称点为

H(0,b)，Q关于直线PE的对称点为K，设K(m,n).

直线PE的方程为y3x3，因Q关于直线PE的对称点K，

nb

(3)1

m3(3b)b33(3b)3b

，解得m,n，K(,).

nbm0

332222

22

所以QNNMMQKNNMMHKH（当且仅当H,M,N,K共线时等号成立）

239

HK(3b)2(1b)23(3b2)，且0b29.

44

2

所以9HK36，即3HK6，所以光线经过的路径长度的取值范围是(3,6).

故选：B.

二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．

9.（多选）下面关于空间直角坐标系的叙述正确的是（）

A点P(1,1,0)与点Q(1,1,0)关于z轴对称

.

B.点A(3,1,4)与点B(3,1,4)关于y轴对称

C.点A(3,1,4)与点B(3,1,4)关于平面xOz对称

D.空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分

【答案】BD

【解析】

【分析】结合空间直角坐标系的概念对选项逐一分析即可.

【详解】点P(1,1,0)与点Q(1,1,0)关于x轴对称，故A错误；

点A(3,1,4)与B(3,1,4)关于y轴对称，故B正确；

点A(3,1,4)与B(3,1,4)不关于平面xOz对称，故C错误；

空间直角坐标系中的三条坐标轴组成的平面把空间分为八个部分，故D正确．

故选：BD.

22

10.已知圆O:x2y21，圆C:x3y4mm0，直线l:ykx2kR，下列结论

正确的是（）

A.若直线l与圆O相切，则k3

1

B.若，则圆O上到直线的距离等于的点恰有3个

k15l2

C.若圆O与圆C恰有三条公切线，则m4

π

D.若P为圆O上的点，当m9时，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A,B，则APB可能为

2

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据直线与圆相切可求得A正确，再根据点的个数计算可求得B正确，利用圆O与圆C的公切线

条数，可解得m16，即C错误，由m9可求得两圆关系可知D正确.

2

【详解】易知圆x2y21的圆心O的坐标为0,0，半径为1，圆心O到直线l的距离d，

1k2

2

对于A，因为直线l与圆O相切，所以d1，解得k3，A正确；

1k2

11

对于B，当k15时，圆心O到直线l的距离d,1d，

22

1

故圆O上到直线的距离为的点恰有3个，B正确；

l2

22

对于C，圆O与圆C:x3y4m恰有三条公切线，

22

则两圆外切，即30401m，解得m16，C错误；

对于D，如图，

ππ

点P在P位置时，P1C4，此时APC，点P在P位置时PC6，此时APC，

111422224

π

所以中间必然有位置使得APB，故D正确．

2

故选：ABD

222

11.空间中，平面Ω上的动点Px,y,z满足方程Γ:AxByCzD,ABC0，则称Γ为平

面Ω的方程，同时也称平面Ω的方程为Γ，并称nA,B,C为平面Ω的一个法向量.已知方程分别为

Γ1:2xyz0,Γ2:3x2yz0的平面Ω1,Ω2的交线为l，则下列结论正确的是（）

A.经过点M11,0,0,M20,1,0,M30,0,1的平面Ω的方程Γ为xyz1

B.若方程为Γ:axa2ya3z14的平面Ω经过点Q1,1,1，则满足条件的实数a的个数为3

1

C.若平面Ω的方程为Γ:AxByCz1，则坐标原点O到平面Ω的距离为

A2B2C2

3

D.l与方程为Γ3:x2y2z1的平面Ω3所成角的正弦值为

9

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用M1,M2,M3不共线且M1,M2,M3可以确定唯一平面Ω判断A；利用平面Ω经过点Q1,1,1列

方程可判断B；利用点到平面距离公式判断C；利用空间向量夹角余弦公式判断D.

【详解】经检验，M11,0,0,M20,1,0,M30,0,1均满足方程xyz1，且M1,M2,M3不共线，

则M1,M2,M3可以确定唯一平面Ω，则平面Ω的方程Γ为xyz1，A正确；

若方程为Γ:axa2ya3z14的平面Ω经过点Q1,1,1，则aa2a314，

2

整理得a2a3a70，因为a23a70无实数解，所以a2，B不正确；

1

显然，点E,0,0满足方程Γ:AxByCz1，则E是平面Ω内一点，

A

1

平面Ω的一个法向量为nA,B,C，则OE,0,0，

1A

1

AB0C0

OEn11

点O到平面Ω的距离dA，C正确.

222222

n1ABCABC

的

易知方程Γ1,Γ2,Γ3一组公共解为M1,1,1，且Γ1,Γ2的另一组公共解为O(0,0,0)，

则直线l经过M和O,l的一个方向向量为OM1,1,1，

平面的一个法向量为.设与平面所成角的大小为，

Ω3n21,2,2lΩ3

OMn211121213

则sincosOM,n，D正确

2.

OMn233339

故选：ACD.

【点睛】解答的关键是正确理解平面方程的定义，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一

种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，

弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.

三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，满分15分．

12.一个长方体的8个顶点坐标分别为0,0,0，0,1,0，3,0,0，3,1,0，3,1,9，3,0,9，0,0,9，

0,1,9.则这个长方体外接球的球心坐标______.

319

【答案】,,

222

【解析】

【分析】根据题意画出图形，通过分析可知，长方体外接球的球心为点0,0,0与点3,1,9连线的线段的

中点，从而可求出球心坐标.

【详解】如图：

因为长方体的体对角线长是其外接球的直径，

所以点0,0,0与点3,1,9连线的线段的中点即为球心，

300109319

所以球心坐标为,,，即,,.

222222

319

故答案为：,,.

222

13.对任意实数a2，动圆(a2)x2(a2)y24x2a0恒过两个定点，请写出一个定点坐标

______．

【答案】(1,1)或(1,1)

【解析】

【分析】我们可以将动圆方程整理为关于a的方程，然后根据对任意a2方程恒成立的条件来求解定点.

【详解】将原方程a2x2a2y24x2a0整理为：

ax2y222x22y24x0

因为对于任意a2，该方程恒成立，所以a的系数和常数项都必须为0，即：

x2y220

22

2x2y4x0

由第一个方程x2y22，代入第二个方程得：

224x0,x1

将x1代入x2y22，得1y22,y21,y1.

所以，定点坐标为1,1或(1,-1).

故答案为：(1,1)或(1,1)

14.已知A，B(不与原点O重合)分别为直线xy0与xy0上的两点，C(0,2)，M为动点，且

|OA||OB|,|CM|1，记三角形AOM,BOM的面积分别为S1,S2，若S1S2，则的取值范围是

___________.

【答案】23,23

【解析】

【分析】依题意得点M在以C为圆心半径为1的圆上，当直线OM与圆C相切时，可得S1,S2的最值，即

可求得的取值范围．

【详解】依题意得点M在以C为圆心半径为1的圆上，如图所示：

11

依题意得SOAOMsinAOM，SOBOMsinBOM，又因为|OA||OB|

1222

SsinAOM

所以1，

S2sinBOM

CM1

当直线OM与圆C相切时，sinCOM，得COM30，又因为AOCBOC45

OC2

所以AOM453075，BOM453015，

S1sin75sin453062

此时max23

S2sin15sin453062

或AOM453015，BOM453075

S1sin15sin453062

此时min23

S2sin75sin453062

所以23,23

故答案为：23,23

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出当直线OM与圆C相切时的夹角AOM，BOM．

四、解答题：共5个小题，满分77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.已知ABC的三个顶点分别是A5,1，B7,3，C9,5.

（1）求AB边上的高所在的直线方程；

（2）求AB边上的中线所在的直线方程；

（3）求ABC角平分线所在的直线方程.

【答案】（1）x2y190

（2）2x5y70

（3）xy40

【解析】

【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；

（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；

（3）先求出直线BA,BC的单位向量，结合角平分线求出ABC角平分线所在的直线的方向向量，结合

方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.

【小问1详解】

1(3)

直线AB的斜率k2，

AB57

则边上的高所在的直线斜率为1，

AB2

直线又过C9,5，

1

所以AB边上的高所在的直线方程为y5x(9)，

2

即x2y190.

【小问2详解】

依题意，AB边的中点(6,1)，

512

因此AB边上的中线所在直线的斜率k，

965

直线又过(6,1)，

2

所以AB边上的中线所在直线的方程为y1(x6)，

5

即2x5y70.

【小问3详解】

由题意知：BA2,4,BC16,8,

1525

故与同方向的单位向量为：a2,4,，

BA2

24255

1255

与同方向的单位向量为：b16,8,，

BC2

168255

353535

故ABC角平分线所在的直线的方向向量为：ab,1,1，

555

设ABC角平分线所在的直线的斜率为k，

又直线的方向向量可以表示为1,k，

k1，

直线又过B7,3，

故ABC角平分线所在的直线方程为：y3x7，

即xy40.

16.如图，在梯形PBCD中，BAPD，AD2，PAABBC1，将PAB沿AB折起至△PAB，

使PAAD．

（1）求证：平面ABCD平面PAB；

（2）若点T是CD的中点，点M是PT的中点，求直线AP与平面ABM所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析

（2）313

13

【解析】

【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直；

（2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值；

【小问1详解】

在梯形PBCD中，BAPD，故BAAP，

又PAAD，ADABA,AB，AD平面ABCD，所以PA平面ABCD，

又PA平面PAB，所以平面ABCD平面PAB．

【小问2详解】

由（1）得PA,AD,AB两两垂直，故以A为坐标原点，分别以AB,AD,AP所在的直线为x,y,z轴，建立

如图所示的空间直角坐标系．

则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，D0,2,0，C1,1,0．易知AP0,0,1．

13131

因为T是CD的中点，点M是PT的中点，所以T,,0，M,,．

22442

131

AB1,0,0，AM,,．

442

x0,

nAB0,

设平面ABM的法向量为nx,y,z，则得131

nAM0,xyz0,

442

取y4，则z6，得平面ABM的一个法向量为n(0,4,6)

设直线AP与平面ABM所成角为，

APn

66313

则sincosAP,n．

APn163621313

17.在平面直角坐标系xOy中，从以下三个条件中任选一个：

①圆C过点1,0，0,3，且圆心在直线yx上；

②线段MN为圆C的直径，其中点M1,4,N3,0；

③函数yx24x3的图象与坐标轴的交点都在圆C上．

（1）求圆C的方程；

3

（2）若经过点1,4的直线l与圆C交于A,B两点，且cosACB，求直线l的方程．

5

【答案】（1）x2y24x4y30

（2）x1或3x4y190

【解析】

【分析】（1）①设E1,0,F0,3，先求EF的垂直平分线的方程，进而得求圆心坐标，利用了两点距离

公式得半径，进而得圆的标准方程；②线段MN中点即为圆心C，利用中点坐标公式得圆心坐标，利用两点

距离公式得半径，进而得圆的标准方程；③对于yx24x3，令x0，得0,3，令y0，1,0，3,0，

设圆C的方程为x2y2DxEyF0D2E24F0，利用待定系数法即可求解；

（2）利用余弦定理求AB，进而得圆心C到直线l的距离为d，分直线l的斜率不存在或存在分类讨论，

当斜率存在时设斜率为k，由点斜式得直线l的方程，又由圆心到直线的距离求斜率k，即可求解.

【小问1详解】

①设E1,0,F0,3，由题意得，圆心C一定在线段EF的垂直平分线上，

0313

，线段中点为，

kEF3EF,

1022

1

所以线段EF的垂直平分线的斜率为，

3

311

由yx，即x3y40，

232

所以线段EF的垂直平分线为x3y40，

直线yx与直线x3y40的交点即为圆心C，

2

所以C坐标为2,2，又r21225，

22

所以圆C的方程为x2y25；

②线段MN中点即为圆心C，所以C的坐标为2,2，

22

所以r21245，

22

所以圆C的方程为x2y25；

③令x0得yx24x3与y轴的交点为0,3，

令y0，即x24x30，解得x1，或x3，可得

yx24x3与x轴的交点为1,0，3,0，

设圆C的方程为x2y2DxEyF0D2E24F0，

323EF0E4

所以1DF0，解得D4，

2

33DF0F3

所以圆C的方程为x2y24x4y30；

【小问2详解】

22

圆C的标准方程为x2y25，圆心为2,2，半径为5，

3

在ABC中，ACBC5，cosACB，

5

由余弦定理得：AB2AC2BC22ACBCcosACB

3

5525516，即AB4，

5

2

21

设圆心C到直线l的距离为d，则drAB1

2

当直线l的斜率不存在时，可得方程为x1，d1，符合题意；

当直线l的斜率存在时，设其方程为y4kx1，即kxy4k0，

2k24kk23

圆心到直线的距离为=1，解得k，

1k21k24

33

直线l的方程为xy40，即3x4y190，

44

综上所述，直线l的方程为x1，或3x4y190.

18.马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，D为棚顶，O是棚底地面的中心，AE为棚底直径，AEAD，

ABC是棚底的内接正三角形，中间的支柱DO18米，从支柱上的P点向棚底周围拉了4根绳子

PA、PB、PC、PE供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从E点沿着绳子PE爬到P点，再沿着PD

爬到棚顶，然后从棚顶跳到PA、PB、PC中的某一根绳子上.

（1）当P点取在距离O点36米处时，证明拉绳PA所在直线和平面PBC垂直；

（2）经验表明当拉绳PE所在直线和平面PBC所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该

把P点取在什么位置.

【答案】（1）证明见解析

（2）应该把P点取在距离O点36米处

【解析】

【分析】（1）利用平面几何的知识依次求得AO,AB,AP，从而利用勾股定理证得APBP与APCP，

再利用线面垂直的判定定理即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，设|PO|x,(0x18)，利用（1）中结论得到各点的坐标，再求得平面PBC

的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示，结合基本不等式求得直线PE和平面PBC所成角的正

弦值最大时x的值，由此得解.

【小问1详解】

π

因为AEAD，ADDE，所以ADE是正三角形，则DAO，

3

易知DO底面圆O，而AE底面圆O，所以DOAE，

DO

又在RtAOD中，DO18，所以AO63，

3

3

因为ABC是正三角形，所以ABAO263318，

2

且APAO2PO292，BPAP，所以AP2BP2AB2，APBP，

同理可证APCP，

又BPPCP，BP,PC平面PBC，所以PA平面PBC，

即拉绳PA所在直线和平面PBC垂直；

【小问2详解】

如图，建立以O为原点的空间直角坐标系Oxyz，

设|PO|x,(0x18),P(0,0,x),E(33,9,0),B(33,9,0),C(63,0,0)，

所以EP(33,9,x),PB(33,9,x),PC(63,0,x),

n·PB33a9bcx0

设平面PBC的法向量为n(a,b,c)，则，

n·PC63acx0

令ax，则b3x,c63，故n(x,3x,63)，

设直线EP和平面PBC所成的角为，

|33x93x63x|63x

则sincosEP,n

108x2x23x2108108x24x2108

63631

=

223，

21082108

4x+2+54024x+540

xx2

1082

当且仅当4x2，即POx36米时，拉绳PE所在直线和平面PBC所成角的正弦值最大，

x2

故应该把P点取在距离O点36米处.

【点睛】结论点睛：若直线l,m的方向向量分别为a,b，平面,的法向量分别为u,v，则

πab

①两直线l,m所成的角为0，cos；

2ab

πau

②直线l与平面所成的角为0，sin；

2au

uv

③二面角l的大小为0π，cos.

uv

19.在平面直角坐标系中，定义dP,Qmaxx1x2,y1y2为两点Px1,y1,Qx2,y2的“棋盘距

离”（源自国际象棋中王的走法规则，又名“切比雪夫距离”）.直线l:ykx1.

2222

（1）已知圆C：x(ya)4a1，圆C1：xy2x4y40的圆心分别为C，C1，且

dC,C12，判断圆C与圆C1的位置关系；

（2）若直线l与（1）问结论中的圆C自上而下交于A，B两点，直线l与y轴、x轴分别交于P、Q两点；

若（1）问结论中的圆C与y轴自上而下交于G,H两点.

①设QAmPA，QBnPB，求mn的值；

②求证：直线AH､BG交点R在定直线上.

8

【答案】（1）相交（2）①mn；②证明见解析

3

【解析】

【分析】（1）由棋盘距离的定义及a的范围求出a0，再由圆与圆的位置关系的判断方法可得结果；

1

（2）①联立直线l和C的方程，并得到韦达定理，再由QAmPA和QBnPB分别得到m1和

kx1

18

n1，结合韦达定理并化简可得mn；②设出AH和