2024-2025学年北京石景山高二(下)期末数学试卷含答案

2024-2025学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合M＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，N＝{x|1＜x＜3}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1＜x＜3} C．{1，2，3} D．{2}2．（4分）下列导数运算正确的是（）A．（sinx）′＝﹣cosx B．（lnxx）′=C．（2x）′＝2x D．(3．（4分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）A．f（x）＝lnx B．f(x)=(1C．f（x）＝﹣x3 D．f（x）＝sinx4．（4分）在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）A．16 B．310 C．125．（4分）已知a∈R，则“1a≥1”是“0≤A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）函数f(x)=xA． B． C． D．7．（4分）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（）A．0.1×0.93 B．C41×0.1C．0.13×0.9 D．C418．（4分）已知定义在R上的函数f（x）＝3x+x3，若a＝f（21.2），b＝f（0.67），c=f(ln13)，则a，bA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b9．（4分）已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）10．（4分）已知{an}是各项为整数的递增数列，且a1≥3，若a1+a2+a3+…+an＝100，则n的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）在（1﹣x）5的展开式中，x3的系数是．12．（5分）能说明“如果{an}是等比数列，那么a1+a2，a3+a4，a5+a6仍为等比数列”为假命题的{an}的一个通项公式为．13．（5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（用数字作答）．14．（5分）已知函数f（x）＝2log2x﹣log2（x﹣4），则f（x）的定义域是，当f（x）取最小值时x＝．15．（5分）已知函数f（x）＝ex+sinx，f′（x）为f（x）的导函数，给出下列三个结论：①f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②f（x）在区间（﹣π，0）上有极小值；③f′（x）在区间（﹣π，+∞）上有两个零点．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f(x)=x（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．17．（14分）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：（Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；（Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望EX；（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（结论不要求证明）18．（13分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an，数列{bn}满足b1＝1，且{an+bn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和Sn．19．（15分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（ⅰ）摸出3个白球的概率；（ⅱ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．20．（15分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x∈（﹣∞，0）时，f(x)＞−1（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞kx2﹣x对x∈（﹣∞，0）恒成立，求k的取值范围．21．（15分）设{an}为无穷数列，如果对于任意n∈N*，都有an+4+an＝2an+2，则称数列{an}具有性质P．（Ⅰ）判断下列两个数列是否具有性质P；（结论不需要证明）①等差数列A：5，3，1…；②等比数列B：1，2，4，…；（Ⅱ）已知数列{an}具有性质P，a1＝1，a2＝2，且由该数列所有项组成的集合{an|n∈N

2024-2025学年北京市石景山区高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DBCDAADACC一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1．（4分）已知集合M＝{x∈Z|﹣1＜x＜5}，N＝{x|1＜x＜3}，则M∩N＝（）A．{x|﹣1＜x＜5} B．{x|1＜x＜3} C．{1，2，3} D．{2}【分析】可以求出集合M，然后进行交集的运算即可．【解答】解：M＝{0，1，2，3，4}，N＝{x|1＜x＜3}；∴M∩N＝{2}．故选：D．【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，以及交集的运算．2．（4分）下列导数运算正确的是（）A．（sinx）′＝﹣cosx B．（lnxx）′=C．（2x）′＝2x D．(【分析】利用求导公式，以及导数的四则运算法则求解．【解答】解：对于A，（sinx）′＝cosx，故A错误；对于B，(lnxx)′=对于C，（2x）′＝2xln2，故C错误；对于D，(1x)′=(故选：B．【点评】本题主要考查了导数的计算，属于基础题．3．（4分）下列函数中，既是奇函数又是减函数的为（）A．f（x）＝lnx B．f(x)=(1C．f（x）＝﹣x3 D．f（x）＝sinx【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性检验各选项即可求解．【解答】解：f（x）＝lnx，f（x）＝（12）x为非奇非偶函数，f（x）＝sinx在Ry＝﹣x3为奇函数且在R上单调递减．故选：C．【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性及奇偶性的判断，属于基础题．4．（4分）在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）A．16 B．310 C．12【分析】设事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，求出P（A），P（AB），利用条件概型求解．【解答】解：事件A：第1次抽到代数题，事件B：第2次抽到几何题，P（A）=25，P（AB）∴在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为：P（B|A）=P(AB)故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查条件概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．（4分）已知a∈R，则“1a≥1”是“0≤A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】解分式不等式先求出a的范围，然后结合充分及必要性即可判断．【解答】解：由1a≥1可得0＜故1a≥1”是“0≤故选：A．【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．6．（4分）函数f(x)=xA． B． C． D．【分析】对f（x）求导，讨论x的范围判断f′（x）的符号确定f（x）的单调性，即可确定大致图象．【解答】解：由解析式知：f′（x）=x(2−x)∴0＜x＜2时f′（x）＞0，f（x）递增；x＜0或x＞2时f′（x）＜0，f（x）递减；令f（x）＝0可得x＝0，即函数只有唯一的零点，结合各选项易知：A符合要求．故选：A．【点评】本题考查了利用导数的正负确定函数的单调性，属于基础题．7．（4分）若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为（）A．0.1×0.93 B．C41×0.1C．0.13×0.9 D．C41【分析】利用n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式直接求解．【解答】解：若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次射击中，恰好有一次未击中目标的概率为：P＝C41×故选：D．【点评】本题考查概率的求法，考查n次独立试验中事件A恰好发生k次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（4分）已知定义在R上的函数f（x）＝3x+x3，若a＝f（21.2），b＝f（0.67），c=f(ln13)，则a，bA．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【分析】先判断函数f（x）＝3x+x3是定义域R上的单调增函数，再根据21.2＞0.67＞ln13，判断a、b、c【解答】解：因为函数y＝3x与y＝x3都是定义域R上的单调增函数，所以f（x）＝3x+x3是定义域R上的单调增函数，又21.2＞1＞0.67＞0＞ln13所以f（21.2）＞f（0.67）＞f（ln13即a＞b＞c．故选：A．【点评】本题考查了指数函数与幂函数的单调性应用问题，是基础题．9．（4分）已知函数f（x）=ex，x≤0lnx，x＞0，g（x）＝f（x）+x+a．若g（A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）【分析】由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．10．（4分）已知{an}是各项为整数的递增数列，且a1≥3，若a1+a2+a3+…+an＝100，则n的最大值为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】数列{an}是递增的整数数列，n要取最大，即递增幅度尽可能为小的整数，用特殊值法代入验证，即可求解．【解答】解：数列{an}是递增的整数数列，∴n要取最大，递增幅度尽可能为小的整数，假设递增的幅度为1，∵a1＝3，∴an＝n+2，则Sn当n＝10时，a10＝12，S10＝75，∵100﹣S10＝25＞a10＝12，即n可继续增大，n＝10非最大值，当n＝12时，a12＝14，S12＝102，∵100﹣S12＝100﹣102＜0，不满足题意，即n＝11为最大值．故选：C．【点评】本题考查了数列的知识，具有一定的探索性，需要找到研究的临界问题，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。11．（5分）在（1﹣x）5的展开式中，x3的系数是﹣10．【分析】求出展开式的含x3的项，由此即可求解．【解答】解：展开式中含x3的项为C53(−x)故x3的系数为﹣10，故答案为：﹣10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．12．（5分）能说明“如果{an}是等比数列，那么a1+a2，a3+a4，a5+a6仍为等比数列”为假命题的{an}的一个通项公式为an＝a×（﹣1）n．（a≠0）．【分析】当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0），{an}是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列．【解答】解：当{an}的公比为﹣1时，a，﹣a，a，﹣a，a，﹣a，…，（a≠0），{an}是等比数列，a1+a2，a3+a4，a5+a6不为等比数列．∴“如果{an}是等比数列，那么a1+a2，a3+a4，a5+a6仍为等比数列”为假命题的{an}的一个通项公式为：an＝a×（﹣1）n．（a≠0）．故答案为：an＝a×（﹣1）n．（a≠0）．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．（5分）从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为18（用数字作答）．【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A32＝6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有A32＝6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有A32＝6种；故共有3A32＝18种故答案为：18．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．14．（5分）已知函数f（x）＝2log2x﹣log2（x﹣4），则f（x）的定义域是（4，+∞），当f（x）取最小值时x＝8．【分析】根据对数函数的真数大于0，列不等式组求出f（x）的定义域，再求出真数取最小值时x的值，即可得出结论．【解答】解：因为函数f（x）＝2log2x﹣log2（x﹣4），令x＞0x−4＞0，解得x＞4，所以f（x因为f（x）＝2log2x﹣log2（x﹣4）＝log2x2x−4，x设t=x2x−4，t∈（4，+∞），则t＝（x+4）+16x−4=（当且仅当x﹣4=16x−4，即所以当x＝8时，f（x）取最小值为log216＝4，此时x＝8．故答案为：（4，+∞）；8．【点评】本题考查了对数函数的图象与性质应用问题，是基础题．15．（5分）已知函数f（x）＝ex+sinx，f′（x）为f（x）的导函数，给出下列三个结论：①f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；②f（x）在区间（﹣π，0）上有极小值；③f′（x）在区间（﹣π，+∞）上有两个零点．其中所有正确结论的序号是①②．【分析】根据导数的几何意义，指数函数与三角函数的性质，针对各个问题，分别求解即可．【解答】解：因为f（x）＝ex+sinx，所以f′（x）＝ex+cosx，对①当x∈（0，+∞）时，ex＞1，cosx∈[﹣1，1]，所以此时f′（x）＞0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，所以①正确；对②③，因为f′（x）＝ex+cosx，令f′（x）＝0，可得ex＝﹣cosx，因为y＝ex与y＝﹣cosx在（﹣π，+∞）仅有一个交点，且交点的横坐标x0∈（﹣π，0），且当x∈（﹣π，x0）时，ex＜﹣cosx；x∈（x0，+∞）时，ex＞﹣cosx；所以当x∈（﹣π，x0）时，f′（x）＜0；∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，所以f（x）在区间（﹣π，0）上仅有一个极小值点x0，所以②正确；所以f′（x）在区间（﹣π，+∞）上仅有一个零点x0，所以③错误．故答案为：①②．【点评】本题考查导数的综合运用，属中档题．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16．（13分）已知函数f(x)=x（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，4]上的最大值和最小值．【分析】（I）求导因式分解，根据导数正负定单调区间；（II）依据单调区间，算区间端点和极值点函数值，比较得最值．【解答】解：（I）对f(x)=x3−32x2−6x+1求导，得f因式分解f′（x），有f′（x）＝3（x﹣2）（x+1），令f′（x）＞0，即3（x﹣2）（x+1）＞0，因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＞0，解得x＞2或x＜﹣1，则f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，令f′（x）＜0，即3（x﹣2）（x+1）＜0，因为3＞0，所以（x﹣2）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜2，则f（x）在（﹣1，2）上单调递减．所以单调递增区间是（﹣∞，﹣1）和（2，+∞），单调递减区间是（﹣1，2）；（II）由（I）知f（x）在[﹣2，﹣1）递增，（﹣1，2）递减，（2，4]递增．计算区间端点与极值点的函数值：f(−2)=(−2)f(−1)=(−1)f(2)=2f(4)=4比较得−9＜−1＜9所以最大值是17，最小值是﹣9．【点评】本题主要考查利用导数研究函数单调性与闭区间上最值，通过导数符号判断单调区间，结合区间端点和极值点函数值确定最值．17．（14分）某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，绘制成评分频率分布直方图，如图：（Ⅰ）从该校高中生中随机抽取的学生的测试评分不低于80分的学生有9人，求此次抽取的学生人数；（Ⅱ）在测试评分不低于80分的9名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列和数学期望EX；（Ⅲ）观察频率分布直方图，判断该校高中生测试评分的均值a和评分的中位数b的大小关系．（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图的性质，即可求解；（Ⅱ）根据分层抽样的概念及题意可得X服从超几何分布，从而利用超几何分布的性质．即可求解；（Ⅲ）根据频率分布直方图的性质，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）因为不低于80分的学生的频率为（0.03+0.015）×10＝0.45，又不低于80分的学生有9人，所以此次抽取的学生人数为90.45（Ⅱ）因为[80，90）与[90，100]的频率之比为0.3：0.15＝6：3，所以[80，90）与[90，100]的人数分别为6，3，所以X～H（3，3，9），所以X的分布列为P（X＝k）=C3k所以X的期望为EX=3×3（Ⅲ）因为频率分布直方图向左拖尾，所以测试评分的均值a小于评分的中位数b．【点评】本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题．18．（13分）已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝3an，数列{bn}满足b1＝1，且{an+bn}是公差为2的等差数列．（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）求{bn}的前n项和Sn．【分析】（Ⅰ）利用等差数列以及等差数列的通项公式，转化求{an}和{bn}的通项公式；（Ⅱ）利用拆项法求{bn}的前n项和Sn．即可．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）由a1＝1，an+1＝3an，{an}是首项为1，公比为3的等比数列．……（1分）所以an因为a1+b1＝2，……（3分）所以{an+bn}是首项为2，公差为2的等差数列．可得an+bn＝2+（n﹣1）×2＝2n．……（5分）所以bn（Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn数列{bn}的前BC项和为Sn＝b1+b2+b3+……+bn＝（2×1﹣30）+（2×2﹣31）+（2×3﹣32）+……+（2×n﹣3n﹣1）……（1分）＝2×（1+2+3+…+n）﹣（30+31+32+…3n﹣1）……（2分）=2×n(n+1)2−【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，是基本知识的考查．19．（15分）学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖．（每次游戏结束后将球放回原箱）（Ⅰ）求在1次游戏中，（ⅰ）摸出3个白球的概率；（ⅱ）获奖的概率；（Ⅱ）求在2次游戏中获奖次数X的分布列及数学期望E（X）．【分析】（I）（i）甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，事件数是C52C3C32C21C21；由古典概型公式，代入数据得到结果，（ii）获奖包含摸出2个白球和摸出3个白球，且它们互斥，根据（【解答】解：（Ⅰ）（i）设“在一次游戏中摸出i个白球”为事件Ai（i＝，0，1，2，3），则P（A3）=C32（ii）设“在一次游戏中获奖”为事件B，则B＝A2∪A3，又P（A2））=C32C5且A2、A3互斥，所以P（B）＝P（A2）+P（A3）=1（Ⅱ）由题意可知X的所有可能取值为0，1，2．P（X＝0）＝（1−710）2P（X＝1）=C21710P（X＝2）＝（710）2=所以X的分布列是X012p92149X的数学期望E（X）＝0×9【点评】此题是个中档题．本题考查古典概型及共概率计算公式，离散型随机变量的分布列数学期望、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．20．（15分）已知函数f（x）＝ln（1﹣x）．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x∈（﹣∞，0）时，f(x)＞−1（Ⅲ）设实数k使得f（x）＞kx2﹣x对x∈（﹣∞，0）恒成立，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，求出切线的斜率f'（0），再求出切线方程即可；（Ⅱ）设F(x)=f(x)+x22+x=ln(1−x)+x2（Ⅲ）对k分类，结合实数k使得f（x）＞kx2﹣x对x∈（﹣∞，0）恒成立，求出k的取值范围即可．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＝ln（1﹣x），得f′(x)=1则f′(0)=10−1=−1，又f所以切线方程为y＝﹣x；（Ⅱ）证明：令F(x)=f(x)+x则F′(x)=1由x＜0，可得F′（x）＜0，故F（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以F（x）＞F（0）＝0，即当x∈（﹣∞，0）时，f(x)＞−x（Ⅲ）当k≤−12时，由（Ⅱ）知，当x∈（﹣∞，0）时，f(x)＞−x所以当k≤−12时，f（x）＞kx2﹣x对x当k＞−12时，令h（x）＝ln（1﹣x）﹣kx2+则ℎ′(x)=1当k≥0时，因为x∈（﹣∞，0），所以h′（x）＞0，h（x）在（﹣∞，0）上单调递增，h（x）＜h（0）＝0，不合题意，当−12＜k＜0时，由h′（x当x∈(