小学六年级数学（北师大版）下册第四单元知识清单

小学六年级数学（北师大版）下册第四单元知识清单《正比例图像——画一画》精讲精练一、核心概念建构：从表格到图像的跨越（一）【基础】变量之间关系的三种表达方式在数学学习中，我们研究两个相关联的变量，通常有三种表达方式。文字描述、关系式列表格和图像。本课《画一画》的核心，就是带领大家完成从表格到图像的跨越，正式进入函数图像的直观世界。（二）【重要】正比例关系的代数定义回顾判断两个量是否成正比例，必须同时满足两个条件。1、相关联性一种量变化，另一种量也随着变化。2、比值一定对应的两个数的比值商是一定的。即y/x=k一定。这是正比例关系的核心模型。例如，电影票的单价一定，总价与人数就满足这个关系18。（三）【难点】正比例图像的形成过程描点法正比例图像并不是凭空产生的，它是将表格中每一对对应的数值，看作一个有序数对，并在方格纸上用点表示出来。1、建立坐标系通常用水平横轴表示一个量比如人数，用竖直纵轴表示另一个量比如总价或票费。2、确定数对所对应的点例如，2人对应4元，就在横轴上找到2，纵轴上找到4，它们的交叉点就是24这个点。这不仅是绘图的基础，更是数形结合思想的萌芽17。二、正比例图像的几何特征与本质属性（一）【高频考点】【非常重要】图像是一条直线当你把所有的点都描出来，并用直尺顺次连接后，最重要的发现来了——所有的点都在同一条直线上！这是正比例图像最显著、最核心的几何特征。需要注意的是，这条直线不仅直，而且必然穿过原点00158。（二）【热点】直线上点的意义这条直线上的每一个点，都代表着实际情境中的一个具体状态。1、点的坐标意义点ab表示当第一个量为a时，第二个量对应的值就是b。例如，点510表示当人数为5人时，所付票费为10元1。2、点的轨迹意义直线上的点从左到右移动，反映了两个量同步增大的变化趋势。（三）【难点】从点到线的思维跃迁单个点表示的是静止的对应关系，而整条直线表示的则是动态的变化趋势和规律。它告诉我们，只要符合这个正比例关系，任意一对对应值所代表的点，都逃不出这条直线。这就是规律的图形化呈现。三、正比例图像的实际应用与解题策略（一）【重要】根据图像进行估值（高频考点）这是本课最重要的技能之一，即不需要计算，仅通过观察图像，就能根据一个量的值估计出另一个量的值。1、已知横轴找纵轴估计法比如，已知人数为2.5人票费必须是整数，但人数可以是2.5，题目有时会设计非整数值，想知道对应的票费。具体步骤是先在横轴上找到2.5的位置，过该点作横轴的垂线，与图像所在的直线相交于一点；再过这个交点作纵轴的垂线，垂足在纵轴上所指的数，就是估计的票费值610。2、已知纵轴找横轴估计法比如，已知票费为22元，想知道对应的人数。步骤是先在纵轴上找到22的位置，过该点作纵轴的垂线，与直线相交；再过交点作横轴的垂线，垂足所指的数即为所求的人数6。3、核心要点操作时必须保证作线垂直，读数准确。这种数形结合的解题方法，是小学数学中极其重要的思想。（二）【基础】根据图像进行验证与推断给定任意一个点，判断它是否在这个正比例图像上，本质就是判断该点所表示的两个量是否满足正比例关系。经典例题小明说点也在这条直线上，你认为对吗？11、计算验证法计算200÷100=2，与已知的比值单价2元/人一致，所以在这条直线上。2、图像观察法观察图像的趋势，当横轴数值很大时，纵轴数值也应按比例增大。虽然图像有限，但可以推断出该点位于直线的延长线上。四、进阶思考：并非所有图像都是直线——对比辨析（一）【难点】【拓展】非线性关系图像的初步感知到了高年级，我们必须打破一种思维定势——不是所有相关联的量的图像都是直线。1、周长一定的长方形假设长方形的周长为24厘米，那么长+宽=12厘米。此时，长和宽虽然是相关联的，但它们的和一定，而不是比值一定。在方格纸上描出长和宽对应的点，连接起来，你会发现这是一条下降的线段，而不是一条通过原点的直线49。2、路程一定时，速度与时间当路程一定时，例如从学校到家的距离固定，速度越快，所用的时间越短。速度和时间是相关联的，但它们的乘积路程一定。这是一个反比例关系，它的图像是一条平滑的曲线，而不是直线49。（二）【重要】图像形状的根本决定因素图像是直线还是曲线，取决于两个量之间是“比值一定”还是“乘积一定”或“和一定”。1、比值一定y/x=k→图像是一条经过原点的直线正比例。2、乘积一定x×y=k→图像是一条曲线反比例，将在后续课程学习。3、和一定x+y=k→图像是一条下降的直线线段，不成比例。五、单元整合与知识网络构建（一）《画一画》在单元中的地位在《正比例与反比例》这一单元中，本课起着承上启下的关键作用。1、承上是对《正比例》一课的深化。之前我们通过计算比值来判断，现在我们通过观察图像来识别，让“正比例”这个概念变得更加直观、可视1。2、启下是为学习《反比例》做铺垫。当我们认识了正比例的图像是直线后，再遇到反比例的图像是曲线，就会形成强烈的认知冲突，从而更深刻地理解两种比例关系的本质区别49。（二）【基础】解题步骤口诀做题时，可以遵循以下步骤。1、一判先根据题意或数据，判断两个量是否相关联，且比值是否一定。2、二描在方格纸上，找准横轴和纵轴对应的数值，准确描点。3、三连用直尺将各点顺次连接，观察是否形成一条直线。4、四用在直线上通过画垂线的方法，找出对应点的数值，解决实际问题。六、考点直击与易错点剖析（一）【高频考点】常见题型梳理1、填空题正比例的图像是一条经过原点的直线。5如果3A=bA、b均不为0，那么A与b成正比例，因为b/A=3一定。12、判断题圆的周长和直径成正比例。√因为周长/直径=π一定。36小明跳高的高度和他的身高。×因为两者没有必然的关联，比值不一定。1正方形的边长和面积。×面积/边长=边长，结果不一定，是变量。23、作图与识图题给出乘船人数与船费表格，要求先填表，再描点连线，最后判断80，40是否在线上并说明含义。17（二）【难点】【易错点】典型错误分析1、忽略原点误以为只要是直线就是正比例图像。正比例的直线必须经过原点00。例如，一件商品打八折，应付金额与商品原价的关系，图像是直线，但如果原价含免费赠品导致0元对应0件？实际上原价为0时应付也为0，所以仍过原点。更典型的反例是，用电量与电费基本生活用电可能含基础电费，此时图像是直线但不过原点，不成正比例。2、坐标对应错误在描点时，容易把横纵坐标看反。比如把人数2、票费4的点描成4，2。必须牢记，括号里第一个数对应横轴，第二个数对应纵轴。3、审题不清看到“一个量增加，另一个量也增加”，就盲目判断成正比例。忽略了最关键的“比值一定”。例如，被减数一定，减数和差虽然是同增同减，但它们的和一定，不成比例。减数+差=被减数2。（三）【解题步骤】规范答题示例题目根据下表中的数据，判断路程和时间是否成正比例，并画出图像。时间时12345路程km501001502002501、判断计算路程与时间的比值。50/1=50，100/2=50，150/3=50，比值一定，所以路程和时间成正比例。2、描点。在方格纸上，以横轴为时间，纵轴为路程，依次描出1,50、2,100、3,150、4,200、5,250的点。3、连线。用直尺将各点连接，发现是一条从原点出发的直线。答题完毕。七、跨学科视野与实践拓展（一）科学学科中的正比例图像在科学实验中，正比例图像非常常见。1、弹簧测力计在弹性限度内，弹簧的伸长长度与所挂物体的质量成正比例。描点画图，得到的也是一条直线。如果超过了弹性限度，图像就会弯曲，就不再成正比例了1。2、物体影长在同一时刻，同一地点，不同高度的竹竿，其高度与影长成正比例。这也是一条直线4。（二）综合实践活动设计留心观察生活中的变量关系，尝试画图。1、家庭用电调查记录