一元二次方程的根与系数的关系课件2026-2027学年人教版九年级数学上册

25.2.4一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）人教版九年级数学上册学习目标12了解一元二次方程的根与系数的关系，能进行简单应用．在探究一元二次方程根与系数的关系的过程中，发展代数推理能力.课前复习：旧知回顾01标准形式ax²+bx+c=0其中a、b、c为常数，且二次项系数a≠0，02求根公式

03根的判别式ΔΔ>0：方程有两个不相等的实数根。Δ=0：方程有两个相等的实数根（即一个实数根）。Δ<0：方程没有实数根探究与应用

活动1了解一元二次方程的根与系数的关系观察思考解:整体上看,两个根分别是“m+n”和“m-n”的形式,而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子相加可以消去“n”,相乘可以去掉“n”中的根号,从而使形式简洁.问题2

一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中,它的两个根x1,x2的和、积与其系数有怎样的关系呢?

2合作探究思考

观察求根公式，它有什么特点?由此考虑一元二次方程的两个根与系数的关系，你能获得什么启发?

相同部分相反部分

整体上看，两个根分别是“m+n”和“m−n”的形式，而且式子“n”中含有根号.这种形式的式子

可以消去“n”，

可以去掉“n”中的根号，从而使形式简洁.相加相乘2合作探究

课堂探究：计算与观察请同学们快速解下列方程，并计算两根之和与两根之积，尝试从计算结果中发现系数与根的内在联系。

猜想规律：从特殊到一般一元二次方程系数a系数b系数c两根和两根积-6x-15=01-6-156-153+7x-9=0\)37-9-3

问题3

如何验证问题2的结论?

若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1,x2,则x1+x2=_________,x1x2=

.

概括新知

一元二次方程概念相关概念解法应用只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2的方程.使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根.直接开平方法降次配方法公式法因式分解法一元二次方程ax2+bx+c=0，若左边可以分解因式为

a(x−x1)(x−x2)=0，则该方程的两个根为x1，x2.2合作探究2合作探究一元二次方程ax2+bx+c=0，若左边可以分解因式为

a(x−x1)(x−x2)=0，则该方程的两个根为x1，x2.思考

观察等式①②，你能获得推导一元二次方程根与系数的关系的新方法吗?①②由①②得

ax2+bx+c=a(x−x1)(x−x2)，此法可用于推导一元n次方程根与系数的关系.

ax2+bx+c=ax2−a(x1+x2)x+ax1x2.由此可得

−a(x1+x2)=b，ax1x2=c.

新知讲授：韦达定理01.定理

前提一：方程需为标准形式

前提二：方程要有实数根

严谨证明（一）：求根公式推导法回顾已知：一元二次方程的求根公式

(教材典题)根据一元二次方程的根与系数的关系,求下列方程两个根x1,x2的和与积:(1)x2-6x-15=0;

理解应用例1解:(1)x1+x2=-(-6)=6,x1x2=-15.(2)3x2+7x-9=0;

(3)5x-1=4x2.

3典例分析例5根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2−6x−15=0；(2)3x2+7x−9=0；(3)5x−1=4x2.

3典例分析中考演练（2026黑龙江绥化）已知x1，x2是一元二次方程x2+2x−9=0的两个根，则x1+x2−2x1x2的值为（

）A．16 B．−16 C．20 D．−20A推导过程：证明两根之和

结论得证！一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数。推导过程：证明两根之积

通过平方差公式消去根号，是推导该结论的关键技巧。

防

易错

(教材补充例题)已知关于x的一元二次方程x2-2mx+2m-2=0(m为常数).(1)若方程的一个根为0,求m的值和方程的另一个根;解:(1)设方程的另一个根为t.由一元二次方程的根与系数的关系知0+t=2m,0·t=2m-2,解得m=1,t=2,∴方程的另一个根是2.活动2利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题例2(2)求证:无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.解:(2)证明:Δ=b2-4ac=(-2m)2-4(2m-2)=4m2-8m+8=4(m-1)2+4.∵无论m为何值,都有4(m-1)2≥0,∴4(m-1)2+4>0,即Δ>0,∴无论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根.4巩固练习1.不解方程，求下列方程两个根x1，x2的和与积：(1)x2−3x=15；

(2)3x2+2=1−4x；(3)5x2−1=4x²−x；

(4)2x2−x+2=3x+1.

快

速

核

对

答

案4巩固练习2.已知方程5x2+kx−6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

证明（二）：因式分解法

综上，通过因式分解与系数比较，韦达定理结论得证！

例