2026年暑假小升初数学衔接专题09整式（精讲）

第1页（共8页）预备预备新初一数学专题09整式1．理解整式的概念，能说出单项式、多项式、整式之间的联系．2．能正确识别单项式、多项式，能准确指出单项式的系数、次数，多项式的次数、项．3．能分析具体问题中的数量关系，并能用整式表示，逐步建立数学符号意识，提升抽象能力．1．单项式（1）单项式的概念：由数或字母的积组成的代数式叫作单项式．单独的一个数或一个字母也是单项式．（2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫作这个单项式的系数．（3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数．如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式．（4）对于一个非零的数，规定它的次数为0．2．多项式（1）多项式的概念：几个单项式的和叫作多项式．（2）多项式中每个单项式叫作这个多项式的项．多项式中不含字母的项叫作常数项．多项式里，次数最高的项的次数，叫作这个多项式的次数．3．整式单项式和多项式统称为整式．题型01单项式的定义、系数、次数1．单项式的定义：由数字与字母或字母与字母的相乘组成的代数式叫做单项式．单独一个数或字母也是单项式．例如：式子100t，0.8p，mn，a2h，–n，它们都是数或字母的积，它们都是单项式．2．单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数．例如：单项式100t，a2h，–n的系数分别是100，1，–1．3．单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做单项式的次数．如果一个单项式的次数是n，那么称这个单项式是n次单项式．例如：在单项式100t中，字母t的指数是1，所以单项式100t的次数是1；在单项式a2h中，字母a与h的指数的和是3，所以单项式a2h的次数是3．4．单项式中不含加减运算，只含乘法和数字作分母的除法运算，分母中有字母的不是单项式．5．单项式是一种特殊的式子，它包含三种类型，即数与字母的积、字母与字母的积、单独的一个数或字母．学以致用学以致用【例1】（2026•朝阳区校级二模）一个单项式的系数是2，次数是3，则下列符合条件的单项式是（）A．m32 B．2m2 C．2m3 D【答案】C【解答】解：A、选项单项式系数为12，次数为3，不符合系数为2B、选项单项式系数为2，次数为2，不符合次数为3的要求，不符合题意；C、选项单项式系数为2，次数为3，符合题意；D、选项单项式系数为13，次数为2故选：C．【例2】（2025秋•三水区期末）单项式4a2b的系数和次数分别是（）A．4，2 B．4，3 C．2，4 D．3，4【答案】B．【解答】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式4a2b的系数与次数分别是4，3．故选：B．【例3】（2025秋•浠水县期末）单项式-2A．﹣2，3 B．﹣2，2 C．-23，3 D．-【答案】C【解答】解：根据单项式系数和次数的定义，单项式的系数为-23，次数是故选：C．题型02多项式的项、项数、次数1．（1）多项式的定义几个单项式的和叫作多项式．其中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．例如：多项式v–2.5的项是v与–2.5，其中–2.5是常数项．（2）多项式的项多项式中，每个单项式叫作多项式的项，不含字母的项叫作常数项．例如：多项式x2+2x+18一共有三项，常数项为18．（3）多项式的次数多项式里，次数最高项的次数，叫作这个多项式的次数．例如：多项式x2+2x+18中次数最高项是二次项x2，则这个多项式的次数是2．多项式x2+2x+18是二次三项式．2．注意（1）多项式的每一项都包括它前面的符号．（2）多项式的次数不是所有的项的次数和，而是次数最高项的次数．学以致用学以致用【例4】（2025秋•仁化县期末）多项式2m2n﹣mn的项数及次数分别是（）A．2，3 B．4，3 C．3，4 D．3，2【答案】A【解答】解：根据多项式的项数与次数的定义可知：多项式2m2n﹣mn项数为2；其中最高次项为2m2n，它的次数为2+1＝3，故多项式的次数为3；故选：A．【例5】（2026•浦东新区二模）在多项式12A．3 B．﹣3 C．3y D．﹣3y【答案】D【解答】解：在多项式12x2-3y-4故选：D．【例6】（2026•南沙区一模）多项式x+xy+1的次数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解答】解：多项式x+xy+1的次数是1+1＝2，故选：B．题型03整式的识别1．单项式和多项式统称为整式．有些代数式不是整式，比如分式．2．整式是有理式的一部分，判断一个有理式是否为整式时要注意：（1）单项式和多项式都是整式．（2）整式中不含等号或不等号，如2x+1=7，3x<6都不是整式．（3）分母中含有字母的式子一定不是整式，如，都不是整式．学以致用学以致用【例7】（2025秋•威信县月考）下列各式中，整式的个数为（）①xyπ；②2a+3b；③53；④1x；⑤x+2y5；⑥2A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C．【解答】解：式子xyπ，2a+3b，53，式子1x式子2x＝1是等式，不是整式．故整式有4个．故选：C．【例8】（2025秋•巨野县期末）式子：x3-y2+1，1x，a﹣3A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：整式有：：x3﹣y2+1，a﹣3，﹣5xy，0，共4个，故选：C．【例9】（2025秋•恩施市期末）在代数式1x，a2b，0，﹣3m+n，x-yA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C．【解答】解：式子a2b，0，﹣3m+n，x-y2式子1x，3故整式有4个．故选：C．题型04规律探究问题解与整式有关的规律探究题的方法解决此类问题的关键是找出系数的变化规律和次数的变化规律可从系数的符号、系数的绝对值、字母的指数三个方面与序数之间的关系进行探寻．学以致用学以致用【例10】（2024秋•鼓楼区校级期中）观察下面的一列单项式：-x2，x2，﹣2x3，4x4，﹣8x5，…，根据其中的规律，得出第A．﹣32x7 B．32x7 C．﹣64x7 D．64x7【答案】A【解答】解：这一列单项式中的每个单项式乘以﹣2x，得到它后面的单项式，于是得到第6个单项式为：16x6，∴第7个单项式为：﹣32x7，故选：A．【例11】（2025秋•临翔区期中）观察下列单项式：﹣x，3x2，﹣5x3，7x4按此规律，第n个单项式表示为（﹣1）n（2n﹣1）xn．【答案】（﹣1）n（2n﹣1）xn【解答】解：第n个单项式为：（﹣1）n（2n﹣1）xn．故答案为：（﹣1）n（2n﹣1）xn．【例12】（2024秋•望城区期末）按一定规律排列的单项式：﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，则第9个单项式是﹣19a8．【答案】﹣19a8．【解答】解：∵﹣3，5a，﹣7a2，9a3，⋯，∴符号的排列规律为：奇数个数的符号为“﹣”，偶数个数的符合为“+”，系数的排列规律为：3，5，7，9，⋯，2n+1，指数的排列规律为：0，1，2，3，⋯，n﹣1，∴9个单项式中奇数个数的符号为“﹣”，系数为2n+1＝2×9+1＝19，指数为n﹣1＝9﹣1＝8，故第9个单项式是：﹣19a8．故答案为：﹣19a8．题型05多项式不含某一项在处理多项式问题时，如果多项式中不含某一项，例如不含一次项或二次项等，这意味着该项的系数必须为0．这是因为任何非零系数的项都会在多项式展开后出现相应的项，而题目要求不含该项，因此只能通过设置该项的系数为0来满足条件．在处理具体问题时，可以通过以下步骤进行：（1）首先识别出需要消除的项，即不含的项；（2）根据多项式的形式，设置该项的系数为0；（3）通过解方程或简化表达式来找到满足条件的系数或变量值．学以致用学以致用【例13】（2025秋•鼓楼区校级期末）若关于x的多项式（a﹣3）x3+4x2+（4﹣b）x+3中不含三次项和一次项，则ab＝（）A．7 B．12 C．64 D．81【答案】D【解答】解：根据题意可知，a﹣3＝0，解得：a＝3．∵多项式不含一次项，∴4﹣b＝0，∴b＝4．∴ab＝34＝81．故选：D．【例14】（2025秋•雷州市校级期中）已知多项式（m+1）x2+2nx﹣1中不含有x2项，则m的值为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：∵多项式（m+1）x2+2nx﹣1不含x2项，∴m+1＝0，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．【例15】（2025秋•烟台期末）若关于x的多项式﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，求m2﹣n的值．【答案】7．【解答】解：∵﹣5x3﹣（m+2）x2+（n+3）x﹣1不含二次项和一次项，∴﹣（m+2）＝0，n+3＝0，解得：m＝﹣2，n＝﹣3，∴m2﹣n＝（﹣2）2﹣（﹣3）＝4+3＝7．题型06多项式按升幂、降幂排列1．升幂排列是指将多项式的各项按照某个字母的指数从小到大（或从低到高）的顺序进行排列；降幂排列是指将多项式的各项按照某个字母的指数从大到小的顺序进行排列．2．多项式按升幂、降幂排列注意要求是按照哪个字母升幂、降幂排列．学以致用学以致用【例16】（2026春•顺义区校级期中）以下各组多项式按字母a降幂排列的是（）A．3a﹣7a2+2﹣a3 B．﹣7a2+3a+2﹣a3 C．﹣a3+3a+2﹣7a2 D．﹣a3﹣7a2+3a+2【答案】D【解答】解：多项式按字母a降幂排列的是﹣a3﹣7a2+3a+2．故选：D．【例17】（2025秋•德化县期末）把多项式﹣3xy2+5x2y﹣y4﹣2按照y的升幂排列为（）A．5x2y﹣3xy2﹣y4﹣2 B．﹣2+5x2y+3xy2﹣y4 C．﹣2+5x2y﹣3xy2﹣y4 D．﹣y4﹣3xy2+5x2y﹣2【答案】C【解答】解：由题意得：多项式﹣3xy2+5x2y﹣y4﹣2按照y升幂排列为﹣