2025-2026学年湖南省株洲市第十三中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年湖南省株洲市第十三中学高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.复数z满足z（5+12i）=13i,则的虚部为（）A. B. C. D.2.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且B=60°，sinA=2sinC，，则△ABC的面积为（）A. B. C. D.3.若m,n为两条不同的直线，α为一个平面，则下列结论正确的是（）A.若m⊥n,m∥α，则n⊥α B.若m∥α，n⊥α，则m⊥n

C.若m∥n,m∥α，则n∥α D.若m∥α，n∥α，则m∥n4.如图，已知抛物线P：y2=2x,过（1，0）作直线MN交抛物线于M，N，连接OM，ON，将△OMN绕y轴旋转一周得到旋转体C，则C的体积最小值为（）A.

B.

C.

D.

5.已知向量满足，且与的夹角为，则=（）A.6 B.10 C.15 D.216.已知甲、乙两名射手独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.5.现已知目标被击中，则该目标是甲击中的概率为（）A.0.6 B.0.8 C.0.75 D.0.57.如图，O是锐角三角形ABC的外心，角A，B，C所对的边分别为a,b,c且，若，则m=（）A.1

B.

C.

D.28.2022年，我国彩电、智能手机、计算机等产量继续排名全球第一，这标志着我国消费电子产业已经实现从“跟随”到“引领”的转变，开启了高质量发展的新时代.如图是2022年3月至12月我国彩电月度产量及增长情况统计图（单位：万台，%），则关于这10个月的统计数据，下列说法正确的是（）（注：同比，即和去年同期相比）

A.这10个月我国彩电月度产量的中位数为1726万台

B.这10个月我国彩电月度平均产量不超过1600万台

C.自2022年9月起，各月我国彩电月度产量均同比下降

D.这10个月我国彩电月度产量同比增长率的极差不超过0.4二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知，则下列结论正确的是（）A.的取值范围为[0，12]

B.若，则的取值范围为[0，10]

C.若且，则λ+μ最大值为

D.若，则的最小值为-1610.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是奇数”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是偶数”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是奇数”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是偶数”，则（）A.乙发生的概率为 B.丙发生的概率为

C.甲与丁相互独立 D.丙与丁互为对立事件11.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC、CC1的中点，则（）A.A1D⊥AF

B.直线AF与直线BD1相交

C.三棱锥A-BCF外接球的表面积为9π

D.平面AEF截正方体所得的截面面积为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知2+i是关于x的方程ax2+x+b=0（a,b∈R）的一个根，则a+b=

.13.在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=m（m为正常数），E为BC边的中点，F是对角线AC上的动点（含端点），若的取值范围为[-1，2]，则m=______．14.若满足，AC=6，BC=k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组[20，25）.第2组[25，30）.第3组[30，35）.第4组[35，40）.第5组[40，45].

（1）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）的人数；

（2）若在抽出的第2组.第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人.求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率.16.(本小题15分)

已知向量，，.

（1）若，求x的值；

（2）若，求的值.17.(本小题15分)

如图所示，四棱锥P-ABCD中，底面CD∥AB，AC与BD交于点O，2CD=AB=且∠DAB=90°，PA⊥BC，点E为线段PA上靠近P的三等分点.

（1）证明：PC∥平面BDE；

（2）求点A到平面PBC的距离.18.(本小题17分)

如图，在△ABC中，AB=2，BC=1，在平面ABC内以线段AC为斜边作等腰直角△ACD（点B和点D在线段AC两侧）.记∠ABC=α，∠BAC=β.

（1）证明：AC•cosβ=2-cosα；

（2）当角α在（0，π）变化时，

（ⅰ）求△ABD边AB上高的取值范围；

（ⅱ）若B，C，D三点不共线，求∠ADB正切值的取值范围.19.(本小题17分)

已知f（x）=sinωx+1（ω＞0），存在x1，x2∈R，使得[f（x1）+1][f（x2）-3]=-9成立，且|x1-x2|的最小值为π.

（1）求ω的值；

（2）若函数，

（i）求函数g（x）的值域；

（ii）若函数，求h（x）的最小值.

1.【答案】D

2.【答案】D

3.【答案】B

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】ABD

10.【答案】BCD

11.【答案】CD

12.【答案】

13.【答案】1

14.【答案】（0，6]

15.【答案】（1）x=0.06，150人

（2）

16.【答案】x=1；

．

17.【答案】解：（1）连接OE，由于CD∥AB，所以△AOB∽△COD，且2CD=AB，

所以2CO=AO，又点E为线段PA上靠近P的三等分点，

所以，所以EO∥PC．

又OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，

所以PC∥平面BDE．

（2）由题知2CD=AB=2AD=2且∠DAB=90°，CD∥AB，得，

所以∠DAC=∠DCA=∠CAB=45°，又AB=2，

所以由余弦定理得：，

所以，所以AC2+BC2=AB2，所以AC⊥BC．

PA⊥BC，PA∩AC=A，PA，AC⊂面PAC，

所以BC⊥面PAC，

因为PC⊂面PAC，

所以BC⊥PC．

又知，设A到面PBC的距离为h,

所以VB-PAC=VA-PBC，

即，

解得，

即点A到平面PBC的距离为．

18.【答案】证明：在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=α，∠BAC=