广西壮族自治区崇左市2025-2026学年高二下学期7月期末数学试卷（含解析）

广西崇左市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．2．若等比数列满足，，则公比（

）A． B． C． D．3．若，则（

）A． B． C． D．4．设函数，若，则（

）A． B． C． D．5．曲线在点处的切线方程为（

）A． B． C． D．6．已知向量，满足，，，则（

）A． B． C． D．7．在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．8．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知一组数据，，，，的平均数，方差，则（

）A．每个数据都加2后，新数据的平均数为7B．每个数据都加2后，新数据的方差为4C．每个数据都乘以3后，新数据的平均数为15D．每个数据都乘以3后，新数据的方差为1810．设函数，则（

）A． B．是偶函数C．的定义域为 D．在处取得极小值11．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点（位于第一象限）在上，在点处的切线恰好为的角平分线，则（

）A．的渐近线方程为B．当时，C．当与轴交于点时，D．当的斜率为2时，点到轴的距离为三、填空题12．若函数的最大值为，则______；的最小正周期为______．13．用1，2，…，9这9个数字可以组成______个恰有两个相同数字的四位数（例如1219）．14．数列满足，且，，则______．四、解答题15．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为的中点．(1)证明：平面．(2)证明：平面．(3)求点到平面的距离．16．已知的周长为15，，且．(1)求；(2)求的面积；(3)求的内切圆的直径．17．已知椭圆：的离心率为，左顶点为．点，点M在C上，且线段的中点在y轴正半轴上．设直线与C的另一个交点为H．(1)求C的方程；(2)求直线的斜率及点H的坐标．18．某蜂产品检测中心对甲、乙、丙三个养蜂场的A，B两类花粉样本进行品质抽检，已知A类花粉样本中有3份来自甲养蜂场，7份来自乙养蜂场，5份来自丙养蜂场；B类花粉样本中有7份来自甲养蜂场，8份来自乙养蜂场，10份来自丙养蜂场．先从三个养蜂场中等可能性地选取一个养蜂场，再从该养蜂场的花粉样本中不放回地抽取两次，每次抽取一份．(1)求第一次抽到A类花粉的概率；(2)记X为抽到的A类花粉份数，求X的分布列与期望；(3)在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．19．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)若对任意，都有，求的取值范围；(3)当时，设是函数的两个非0零点，且，证明：.

参考答案1．A【详解】由题意得，则.2．A【详解】因为是等比数列，所以，即.所以.3．A【详解】由得或.因为，所以.所以.4．D【详解】由是开口向上的二次函数，且对称轴为，又，若，且，即，又二次函数不存在三个不同自变量对应相同的函数值，故该情况不符合条件；若，且，所以对称轴为，解得．综上，．5．C【详解】由可得：.则曲线在点处的切线斜率，所以曲线在点处的切线方程为，整理得.6．B【详解】由，，可得，，两式相加得，，即，又，代入解得.7．C【详解】因为平面，，将三棱锥放入长方体中，如图，所以三棱锥的外接球和长方体的外接球相同，由，，所以，所以，所以该三棱锥的外接球的表面积为.8．D【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，，又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中，所以，解得，又为圆的直径，所以．

9．ACD【详解】由题意得，即，，对于AB，记新数据为，则，，故A正确，B错误，对于CD，记新数据为，，，故CD正确.10．ABD【详解】选项A：代入得，故A正确；选项B：定义域为，化简，满足偶函数定义,故B正确；选项C：恒成立，因此，定义域为全体实数，故C错误；选项D：求导得，时，单调递减；时，单调递增，因此处取极小值，故D正确.11．BC【详解】，因为，所以其渐近线方程为，故A错误；因为，，所以，故B正确；由得，则由角平分线定理得，因为，所以，在中利用余弦定理得，则，故C正确；设，与联立得，则，得，因为点位于第一象限，所以，此时，则点到轴的距离为，故D错误.12．2【详解】由正弦函数的性质可得函数的最大值为2；的最小正周期为.13．【详解】第一步从中选出1个作为重复数字，有种;第二步从剩下8个数字中选择2个数字共有种;第三步，对4个数字进行排列，先从4个位置中选2个位置给重复的数字共有种;再将剩下两个数字进行全排列共有种;根据分步计数原理的乘法原理可得共有14．194【详解】因为，，则，两式作差后可得，即中所有下标模3余0,1,2的子列均为公差为6的等差数列，又，可得，即，所以15．(1)因为平面，平面，所以，因为底面为矩形，所以，因为平面，所以平面；(2)因为为的中点，，所以，因为平面，平面，所以，因为平面，所以平面；(3)【详解】（1）略（2）略（3）因为平面，平面，所以平面，则点到平面的距离等于点到平面的距离，又，由（2）点到平面的距离为，所以点到平面的距离为．16．(1)(2)(3)【详解】（1）由及正弦定理得，又，解得，，，故．（2）．（3）内切圆半径，直径．17．(1)(2)斜率为，点的坐标为【详解】（1）因为椭圆：的离心率为，左顶点为，所以，解得：，所以椭圆C的方程为：.（2）

设点的坐标为，因为点，则线段的中点的坐标为.因为线段的中点在y轴正半轴上，所以，解得.又因为点M在椭圆C上，所以，则，即点的坐标为，所以直线的斜率为，直线的方程为，即.联立椭圆C和直线的方程，整理得：，解得：或.结合题目要求可知点H的横坐标为.将代入直线的方程可得，所以点的坐标为.18．(1)(2)012期望为(3)【详解】（1）设“第次抽到的是类花粉”，“第次抽到的是类花粉”，记甲、乙、丙三个养蜂场分别为第1个养蜂场、第2个养蜂场、第3个养蜂场，“选取到第个养蜂场”，．则，，由题意得第一次抽到的是类花粉的概率为．（2）的所有可能取值为0，1，2，，，，的分布列为012所以．（3）从甲养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从乙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为；从丙养蜂场的抽检样本中不放回地抽取两次，每次抽到类花粉的概率均为.所以，，则，所以在第二次抽到B类花粉的条件下，求第一次抽到A类花粉的概率．19．(1)当时，在上单调递增；当时，递减区间为，递增区间为(2)(3)当时，，，设，则，所以在上单调递减，在上单调递增．因为，，，，，，所以存在，使得，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，由于，所以的两个零点满足，因为，所以，因为，所以，所以，得证．【详解】（1）对函数求导可得，当时，恒成立，所以在上单调递增；当时，令，解