统计学与生活之叙述性测度

统计学与生活之叙述性测度统计表、统计图可用来显示及描述统计资料的一般型态或分散的情况。但提供的信息过于简洁，无法精确描述资料的样貌。因此，当我们需要精确并且具体的描述资料的主要特性，或需要从资料中获取精确可靠的信息时，我们便需要进一步利用数字来描述资料的特性。前言(1/2)2例子Ice

monster的老板如何了解营业的概况最近刚公布大学学测的成绩前言(2/2)3本讲大纲位置測度變異性測度其他測度小結12344叙述性测度(1/4)次数分配表及图形只能了解资料的趋势，若要进一步了解资料特征，必须知道样本(或母数)的表征数。表现资料特征的数值称为表征数。表现母体特征的数值称为母数，表现样本特征的数值称为统计量。叙述性测度(2/4)样本n抽样母体N推测母数统计量叙述性测度(3/4)叙述性测度(descriptivemeasure)：根据样本(或母体)资料中的讯息所综合整理出来的特定数值，用来描述某些性质。这些测度是样本(或母体)性质的量化指标，而计算这些测度也是叙述统计的基本工作。叙述性测度(4/4)了解资料的集中和分散程度皆属于叙述统计学的范畴。集中趋势(Centraltendency)：资料数值有趋向某个数值的倾向。最常见的集中趋势包括算术平均数、中位数、众数。离散趋势(TendencyofDispersion)：反映各变量值远离其中心值的程度。最常见的离散趋势包括标准差、变异数、四分位距。因此叙述性测度主要包括位置测度及变异性测度。位置测度位置测度(1/21)位置测度

(locationmeasure)：用来标示样本(或母体)资料整体位置或相对位置(如大小、高低、轻重等)的指标。常见的位置测度有最小值、最大值、中位数、众数以及平均数。位置测度--未分组资料(2/21)

位置测度--未分组资料(3/21)例：数列3,10,23,3,9,105,200中

最小值＝min{3,10,23,3,9,105,200

}=3

最大值＝max{3,10,23,3,9,105,200

}=200由最小值及最大值可以窥知资料的范围。但若单看这两个测度会造成误导。最小值及最大值在测度的计算上，完全忽略了其他的观察值。位置测度--未分组资料(4/21)

位置测度--未分组资料(5/21)

位置测度--未分组资料(6/21)众数(Mode,

M0)：众数是指观察值中发生次数最多的那个数值或是类别。一个样本的众数可能不只一个，但若所有观察值各不相同，样本也可能并无众数。例：数列3,10,23,3,9,105,200中出现次数最多的为3，共出现两次。众数：3位置测度--未分组资料(7/21)

位置测度--未分组资料(8/21)

位置测度--未分组资料(9/21)

根据下表中的考试成绩，其中最大值为92分，最小值为50分。读者也可以验算其样本平均数约为71.7分，样本中位数为73分，样本众数为76分。分数次数分数次数分数次数分数次数502654754831522662766852542673773862603681783871611703792881633725802911641734811921表2-１考试成绩的次数分配位置测度--未分组资料(10/21)资料除了中心位置、分散程度不同外，资料的分布可能为不对称，称为偏态资料，而依偏态方向可分为对称分配、左偏分配及右偏分配。左偏分配：尾巴向左延伸

对称分配右偏分配：尾巴向右延伸图2-1(a)图2-1(b)图2-1(c)位置测度--未分组资料(11/21)众数、中位数、平均数之间有何关系？对称分配，则平均数=中位数=众数平均数=中位数=众数位置测度--未分组资料(12/21)右偏分配，则众数<中位数<平均数众数<中位数<平均数位置测度--未分组资料(13/21)平均数<中位数<众数左偏分配，则平均数<中位数<众数位置测度--未分组资料(14/21)

位置测度--未分组资料(15/21)

位置测度--未分组资料(16/21)

统计测量数优点缺点中位数1.适用于有极端值的资料2.适用于偏态资料3.可做无母数统计推论1.对观察值敏感性低2.不易进行母数统计推论众数1.适用于有极端值的资料2.适用于偏态资料3.适用于质的资料1.可能不只一个或不存在2.敏感性低3.不能做统计推论算术平均数1.资料的重心。资料无极端值或偏态时，具代表性。2.考虑所有观察值，敏感度高3.适合统计推论的工作1.若有极端值存在，则不具代表性2.资料如为偏态，则代表性较差几何平均数1.适合等比资料2.敏感度高1.不适合一般资料2.不适合作统计推论表2-2未分组资料位置测度统整与其优缺点比较位置测度--分组资料(17/21)

位置测度--分组资料(18/21)中位数

(Md)在分组资料中，可利用累加次数去决定中位数所在组数及位置，再利用内插法得到的中位数位置测度--分组资料(19/21)样本中位数fmed：中位数所在那一组之次数W：中位数所在那一组之组距

位置测度--分组资料(20/21)分组20≤X<306251506375030≤X<401835630242205040≤X<501145495352227550≤X<601155605463327560≤X<70365195491267570≤X<8017575505625

表2-3分组资料次数分配表位置测度--小Q儿(21/21)请大家回想一下算数平均数、几何平均数、中位数以及种树有什么优缺点？若将表2-1中，全班同学成绩均加5分，对最大值、最小值、样本平均数、样本中位数、样本众数之位置测度有何影响？大家重算一下表2-3的例子得到的答案是否跟讲义上的结果相同？变异性测度变异性测度(1/17)这三班成绩的最大值均为90分，最小值均为70分，平均分数均为80分，从位置测度来看，这三班的成绩不分轩轾，但是其次数分配显示这三班表现并不相同：甲、丙班的成绩有两极化的现象，而乙班的水平则较整齐划一。因此，位置测度不足以描述资料的变异性。分数甲班次数乙班次数丙班次数70501498009829050149平均808080表2-4甲、乙、丙三班统计学期中考成绩次数分配变异性测度

(2/17)除了位置测度，变异性测度(variationmeasure)也是一种常用的叙述性测度，用来衡量资料观察值之间的变异(或分散)程度。常见的变异性测度有全距、变异数、标准差以及变异系数。变异性测度--未分组资料(3/17)全距(Range,R)一个简易的变异性测度为全距(range)，也就是最大值与最小值的差距。全距描述的是资料最大可能的变异程度，然而全距却完全忽略了最大值与最小值以外其他观察值的变异程度。缺点：资料单位不同，不能比较、受极端值影响。变异性测度--未分组资料(4/17)

变异性测度--未分组资料(5/17)这种差距平方和可显示资料的变异程度，观察值与平均数之间差距平方和除上自由度，称作变异数，变异数所能描述的就是观察值在平均数周围的分散状况。

变异性测度--未分组资料(6/17)变异数性质：当所有观察值都相等时，这组资料无任何变异性，所以差距平方和为0同一组资料单位不同，变异数亦不相同若资料的衡量单位相同时变异数可作为比较两组资料分散程度的标准变异数在计算时完整的考虑到每一个观察值对均数的差距

变异性测度--未分组资料(7/17)

变异性测度--未分组资料(8/17)

变异性测度--未分组资料(9/17)

变异性测度--未分组资料(10/17)例：小宏是个风险爱好者，最近想要投资股票，基金经理人推荐两档股票给小宏，下表为两档股票投资报酬率的平均数与标准差，小宏学过统计学，想要自己算算看，哪档股票投资风险较高？假设可用变异系数作为风险衡量的指标之一，变异系数越大，代表风险越高。变异性测度--未分组资料(11/17)股票类别平均数(%)报酬标准差(%)风险A股票4.323.28B股票13.537.26表2-5股票报酬之平均数与标准差

变异性测度--分组资料(12/17)变异测度分组资料的变异数是各组组中点与均数差的平方乘上对应次数的总和，除以自由度母体变异数样本变异数

变异性测度--分组资料(13/17)分组20≤X<30625150375030≤X<4018356302205040≤X<5011454952227550≤X<6011556053327560≤X<703651951267570≤X<80175755625

表2-6母体分组资料次数分配表变异性测度--标准差之应用(14/17)

变异性测度--标准差之应用(15/17)变异性测度--标准差之应用(16/17)例：已知汽油燃料使用率服从钟形曲线，母体均数为16.85哩/加仑，标准差为4.7哩/加仑，试问当资料数占总母体数为下列比例时，资料之区间为何？

(1)68%(2)95%(3)99.7%

Ans：12.15-21.557.45-26.252.75-30.95变异性测度--小Q儿(17/17)请大家算算看表2-6的例子，看看是否跟讲义的答案一样？同学们想想看为何母体变异数的自由度是Ｎ，可是样本变异数的自由度却是n-1呢？其他测度其他测度(1/15)

其他测度(2/15)

其他测度(3/15)

Q3

25%25%25%25%其他测度(4/15)

其他测度(5/15)顶标前标均标后标底标国文131311108英文1412964数学1210743社会14131197自然1311965总级分6357473628表2-7

104学年度学科能力测验-总级分与各科成绩标准一览表104年度学测级分之IQR=前标-后标=57-36=21其他测度(6/15)十分位数

(Decile)将资料排序后利用9个数值将资料分成10等分。表示为C1

,

C2

,

…

C9

。十分位数C1

,

C2

,

…

C9

若用百分位数方式表达，C1可表示为P10

，C2

可表示为

P20，依此类推，

C9

就是

P90

。其他测度(7/15)

例：根据统计资料，104年我省地区各县市家庭收支所得收入资料如下，试问我省地区所得收入前10%高的县市为何?前10%高的家庭收支所得收入为多少?

新北市台北市桃园市台中市台南市高雄市宜兰县新竹县苗栗县彰化县1,171,9781,581,8991,307,1581,169,1831,007,0931,145,8951,160,3201,283,9951,008,241926,717南投县云林县嘉义县屏东县台东县花莲县澎湖县基隆市新竹市嘉义市878,760876,670890,742869,818746,981924,706792,6961,072,4331,427,5721,106,004表2-8

104我省地区家庭收入

单位：元其他测度(8/15)

台东县澎湖县屏东县云林县南投县嘉义县花莲县彰化县台南市苗栗县746,981792,696869,818876,670878,760890,742924,706926,7171,007,0931,008,241基隆市嘉义市高雄市宜兰县台中市新北市新竹县桃园市新竹市台北市1,072,4331,106,0041,145,8951,160,3201,169,1831,171,9781,283,9951,307,1581,427,5721,581,899表2-9

104我省地区家庭收入(排序后) 单位：元

其他测度--盒须图(Box

Plots)

(9/15)在准备Box

Plots必须利用最小值第1个四分位数(Q1)中位数(Md或Q2)第3个四分位数(Q3)最大值用途判断资料界外值呈现资料分布情况58其他测度--盒须图(Box

Plots)

(10/15)1.5

IQR1.5

IQRMinMaxQ1Q2Q3IQR界外值其他测度--盒须图(Box

Plots)

(11/15)对称分配MinMaxQ1MdQ360其他测度--盒须图(Box

Plots)(12/15)右偏分配