福建省泉州市四校2025-2026学年高一数学下学期期中联考试题含解析

福建泉州市四校2025-2026学年高一数学下学期期中联考试题

一、单选题

2

1．已知z，则z（）

1i

A．2B．3C．2D．5

2．已知m，n是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列正确的是（）

A．若m，n∥，则m∥nB．若，，则∥

C．若m，n，则m∥nD．若m，m，则∥

3．一个圆台的母线长为13，上、下底面的半径分别为2，5，则圆台的体积为（）

A．26πB．32πC．78πD．86π

4．在ABC中，A45，AC4，AB32，则BC边上的高为（）

4610

A．10B．10C．210D．

55

5．如图，正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，若直线BC1与直线AC所成的角为60，则直线AB1与平面

ACC1A1所成的角为（）

A．30B．45C．60D．90

π1

6．如图，在ABC中，BAC，AD2DB，P为CD上一点，且满足APmACAB，若AC3，

42

AB22，则APCD值为（）

17

A．B．21

124

1319

C．D．

1212

7．已知四面体PABC的各顶点均在球O的球面上，PA平面ABC，PA3，ABBC，三角形ABC的外

接圆半径是3，则球O的表面积为（）

2883

A．B．18C．21D．

33

8．如图，在ABC中，AB4，AC3，BAC60，D是BC的中点，CEAB，AD与CE交于点F.则cosCFD

（）

57

A．257B．C．111D．3111

19197474

二、多选题

3i11i

9．已知复数z（i为虚数单位），则下列说法正确的是（）

i2026

A．z的虚部为4

B．z25

C．z的共轭复数z24i

D．复数z在复平面内对应的点位于第四象限

10．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则下列四个结论正确的是（）

A．直线A1C1与BD1为异面直线

B．A1C1//平面ACD1

8

C．三棱锥DABC的体积为

13

D．平面过点B且//平面ACD1，则平面截正方体ABCDA1B1C1D1所得截面的图形的周长为62

11．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosCccosBa2，则下列命题正确的是（）

A．若BC3A，则ABC的外接圆的面积为π

π23

B．若A且ABC有两解，则b的取值范围为1,

33

C．若C2A且ABC为锐角三角形，则c的取值范围为2,3

31

D．若A2C且sinB2sinC，O为ABC的内心，则AOB的面积为

12

三、填空题

12．已知a2，b3，a与b夹角为135，则a在b方向上的投影向量为_________．（用b表示）

13．在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA14AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为_____.

1

14．如图，已知圆锥的母线长为2，高为3，O为底面圆心，且OAOC，E为线段PA上靠近点P的

2

四等分点，则在此圆锥的侧面上，从E到C的最短路径长度为__________.

四、解答题

15．已知向量a(2,1),b(1,x)．

（Ⅰ）若a(ab)，求|b|的值；

（Ⅱ）若a2b(4,7)，求向量a与b夹角的大小．

16．设复数z1mimR.

(1)若2iz是实数，求m的值；

1i

(2)若是纯虚数，求复数z的共轭复数z.

z

17．已知a,b,c分别为ABC的内角A,B,C所对的边，a2且3asinCacosCbc.

(1)求A；

(2)已知D是边BC的中点，求AD的最大值.

ππ

18．如图，在三棱锥PABC中，E，F分别为棱AB，AC的中点，PAPC，PAC，BC2，ABC，

43

BCAC．

(1)若平面PAC平面ABC，求证：EFPF；

(2)在（1）的条件下，求直线PB与平面PAC所成角的正弦值；

(3)若PAPB，D为线段PF上一动点，求CDED的最小值．

19．离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散

1

曲率为1QPQQPQQPQQPQ，其中Qi1,2,,k,k3为多面体M的

P2π1223k1kk1i

所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…，平面Qk1PQk和平面QkPQ1为多面体M的所有以P

为公共点的面．已知三棱锥PABC如图所示．

(1)求三棱锥PABC在各个顶点处的离散曲率的和；

3

(2)若PA平面ABC,ACBC,ACBC4，三棱锥PABC在顶点C处的离散曲率为，求点A到平面

8

PBC的距离．

参考答案

1．A

221i

【详解】因为z1i，

1i1i1i

所以z12122.

2．C

【详解】对于A，若m，n∥，则m与n可能相交、平行或异面，故A错误；

在B中，若，，则α与β可能相交或平行，故B错误；

在C中，若m，n，则由线面垂直的性质定理得m∥n，故C正确；

在D中，若m，m，则α与β可能相交或平行，故D错误．

3．A

【详解】取上下底面的圆心，则OO即为圆台的高h，如图所示，

在ACB中，AB13,BC523，

根据勾股定理可得ACOOh13322.

11

所以圆台的体积为VπhR2Rrr2π22541026π.

33

故选：A.

4．D

【详解】在ABC中，A45，AC4，AB32，

2

由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosA1816232410，

2

11

则BC10．设BC边上的高为h，由等面积法可得ABACsinABCh，

22

ABACsinA610

则h．

BC5

5．A

∥

【详解】连接B1D1与A1C1交于点O1，ACA1C1，所以A1C1B即为直线BC1与直线AC所成的角，即

A1C1B60．该几何体为正四棱柱，ABA1A2，可得A1BBC1，所以A1BBC1A1C122．

连接AO1，易得B1O1A1C1,B1O1A1A,A1C1A1AA1，A1C1平面ACC1A1，A1A平面ACC1A1，所以B1O1

平面ACC1A1，

所以B1AO1即为直线AB1与平面ACC1A1所成的角，B1O12,AB122，所以B1AO130．

故选：A.

6．D

13

【详解】由条件可知，APmACABmACAD，

24

3111

则m1，即m，则APACAB，

4442

2

CDADACABAC，

3

11212121

所以APCDACABABACABACABAC，

423343

111219

89322.

343212

故选：D

7．C

【详解】PC的中点为M，

因为PA平面ABC，BC平面ABC，

所以PABC，又ABBC，ABPAA，AB,PA平面PAB，

所以BC平面PAB，又PB平面PAB，

所以BCPB，故PBC为直角三角形，且PC为斜边，

所以MBMCMP，

因为PA平面ABC，AC平面ABC，

所以PAAC，故PAC为直角三角形，且PC为斜边，

所以MAMCMP，所以MAMBMCMP，

所以四面体PABC的外接球的球心为M，故点M与点O重合，

2

由已知AC23，PA3，所以PC233221，

121

所以球O的半径rOCPC，

22

所以球O的表面积S4πr221π.

8．D

33

【详解】由CEAB，则CEACsinBAC3sin60，

2

33

且AEACcosBAC3cos60，得AEAB，

28

1

又D是BC的中点，即AD是中线，则ADABAC，

2

21221223737

则ADAB2ABACAC4243cos603，得AD，

4442

1

所以ADCEABACAEAC

2

13

ABACABAC

28

15322

ABACABAC

288

15322

43cos6043

288

27

8

27

ADEC83111

cosCFDcosAD,EC

373374

ADEC

22

故选：D．

9．AB

3i11i24i

【详解】由z24i，

i20261

对于A，所以z的虚部为4，故A正确；

22

对于B，所以z2425，故B正确；

对于C，所以z的共轭复数z24i，故C错误；

对于D，所以复数z在复平面内对应的点的坐标为2,4，位于第三象限，故D错误．

10．ABD

【详解】对于A，因为AD1平面ADD1A1，A1C1平面ADD1A1A1，A1AD1，所以直线A1C1与BD1为异

面直线，A正确；

∥

对于B，因为在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1C1AC，A1C1平面ACD1，AC平面ACD1，所以A1C1//平

面ACD1，B正确；

对于C，则由正方体的性质可得ABC为等腰直角三角形，所以ABC的面积为2，故三棱锥D1ABC的体

4

积为，C错误；

3

，，△

对于D，连接BA1A1C1BC1,则平面BA1C1即为平面，截面图形BA1C1为等边三角形，所以平面截正方体

ABCDA1B1C1D1所得截面的图形的周长为62，D正确.

11．BCD

【详解】因为bcosCccosBa2，所以由正弦定理，得sinBcosCsinCcosBasinA，

即sin(B+C)=asinA，

因为ABCπ，所以sin(B+C)=sinA，且sinA0，所以a1.

πa

选项A：若BC3A，则A，所以ABC的外接圆的直径2R2，

4sinA

2

所以R，

2

2

所以的外接圆的面积为2π，故选项A错误；

ABCπ

22

abasinB2

选项B：由正弦定理可得bsinB，

sinAsinBsinA3

3bππ2

故sinB，因为ABC有两解，且A，所以B,π，

2333

33b23

故1，即b的取值范围为1,，故选项B正确；

223

ac

选项C：由正弦定理，得，即c2acosA，

sinAsin2A

因为a1，所以c2cosA，

ππ

0A0A

22

ππππ

因为ABC为锐角三角形，所以0B，即0π3A，所以A，

2264

ππ

0C02A

22

所以c2cosA2,3，故选项C正确；

选项D：因为sinB2sinC，由正弦定理得b2c，

因为A2C，所以sinB=sin(A+C)=sin3C，

bc2cc

所以由正弦定理，得，即sin3C2sinC，

sinBsinCsin3CsinC

所以sin2CcosCcos2CsinC2sinC，

即2sinCcos2C2cos2CsinCsinC2sinC，所以2cos2C2cos2C3，

3

所以cos2C，

4

ππππ

又因为A2C，所以C0,，故C，A，解得B，

2632

a2°3

因为a1，所以b=°=,c=atan30=，

cos3033

133

即ABC是直角三角形，所以内切圆的半径为racb，

26

1133331

所以AOB的面积为Scr，故选项D正确.

223261

故选：BCD.

2

12．b

3

b2b2

【详解】由题意可知，a在b方向上的投影向量为acos1352b.

b233

2

故答案为：b.

3

16

13．

17

【详解】连接A1C,BC1，

正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，

有AB//C1D1且ABC1D1，四边形ABC1D1为平行四边形，

则有BC1//AD1，

则A1BC1就是异面直线A1B与AD1所成的角．

=

设ABa，则BC1A1B17a,A1C12a，

BC2AB2AC217a217a22a216

cosABC1111

中，由余弦定理得112．

A1BC12BC1A1B217a17

16

故答案为：

17

1

14．13/13

22

2

【详解】圆锥的底面半径为2231，

1

由于OAOC11cosAOC0，

2

2π2π2π

所以AOC为钝角，且AOC，所以AC1.

333

圆锥的侧面展开图如图，

2π

沿母线PA展开的圆锥的侧面展开图中弧AC所对的圆心角为π，

APC3

23

连接EC，可得从E到C的最短路径长度为：

2

22121π13

ECPEPC2PEPCcosAPC222cos.

2232

故答案为：13

2

15．（Ⅰ）52；（Ⅱ）．

4

【详解】解：（Ⅰ）因为a(2,1),b(1,x)，所以ab(3,1x)，

由a(ab)，可得a(ab)0，

即61x0，解得x7，即b(1,7)，

所以|b|127252；

（Ⅱ）依题意a2b(4,2x1)(4,7)，

可得x3，即b(1,3)，

ab232

所以cosa,b，

|a||b|5102

因为a,b[0,]，

所以a与b的夹角大小是．

4

16．(1)1

2

(2)z1i

【详解】（1）由题知2iz2i1mi2m2m1i

1

若2iz是实数，则2m10，解得m；

2

1i1i1i1mi1m1mi

（2）由题知

z1mi1mi1mi1m2

1i1m0

若是纯虚数，则，解得m1，所以z1i,z1i.

z1m0

π

17．(1)A

3

(2)3

【详解】（1）因为3asinCacosCbc，

由正弦定理得：3sinAsinCsinAcosCsinBsinC，

因为sinBsinACsinAcosCcosAsinC，

所以3sinAsinCcosAsinCsinC，

因为C0,π，所以sinC0，所以3sinAcosA1，

ππ1

所以2sinA1，即sinA，

662

ππ5ππππ

因为A0,π，所以A，所以A，所以A．

666663

b2c2a21

（2）因为cosA，a2，所以b2c24bc，

2bc2

1

因为D是BC的中点，所以ADABAC，

2

2122

所以ADABAC2ABAC

4

111

c2b22bccosAb2c2bc2bc4，

444

因为b2c22bc，所以4bc2bc，即bc4，

211

所以AD(2bc4)(244)3，

44

当且仅当bc时，等号成立．所以AD的最大值为3．

18．(1)证明见详解

(2)10

5

(3)422

【详解】（1）由PAPC，F为AC的中点，

则PFAC，

又平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，

则PF平面ABC，

又EF平面ABC，

所以EFPF．

（2）由BCAC，平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，

则BC平面PAC，所以BPC是直线PB与平面PAC所成的角，

在Rt△ABC中，

π

由BC2，ABC，

3

π

则AC2tan23，AB2BC4，

3

π

又PAC，PAPC，

4

π

则由余弦定理有PC2PA2AC22PAACcos，

4

2

即PC2PC2122PC23，解得PC6，

2

又BC平面PAC，PC平面PAC，则BCPC，

所以PBPC2BC26410，

BC210

所以sinBPC，

PB105

10

故直线PB与平面PAC所成角的正弦值为．

5

（3）如图，连接PE．

当PAPB时，由E为AB的中点，则PEAB，

1

由（2）知，AB4，PCPA6，则AEAB2，

2

所以PEPA2AE2642，

1

又F是AC的中点，则EFBC1，

2