2026年数列练习题及答案

2026年数列练习题及答案1.某工厂2023年的产量为1200吨，计划每年比上一年增产50吨。求2030年的产量及2023到2030年的总产量。答案：2023年为第1年，2030年为第8年。等差数列首项a₁=1200，公差d=50。第8项a₈=a₁+(8-1)d=1200+7×50=1550吨。前8项和S₈=8×(a₁+a₈)/2=8×(1200+1550)/2=4×2750=11000吨。2.已知等差数列{aₙ}中，a₃+a₇=32，a₅+a₉=56，求通项公式。答案：设公差为d，则a₃=a₁+2d，a₇=a₁+6d，故a₃+a₇=2a₁+8d=32；同理a₅+a₉=2a₁+12d=56。联立方程：2a₁+8d=322a₁+12d=56相减得4d=24，d=6，代入得a₁=32-8×6/2=32-24=8。通项公式aₙ=8+(n-1)×6=6n+2。3.已知等差数列{aₙ}的首项a₁=20，公差d=-3，求前n项和Sₙ的最大值及此时n的值。答案：Sₙ=na₁+n(n-1)d/2=20n-3n(n-1)/2=(-3n²+43n)/2。这是开口向下的二次函数，顶点横坐标n=43/(2×3)=43/6≈7.17。因n为正整数，比较n=7和n=8时的Sₙ：S₇=(-3×49+43×7)/2=(-147+301)/2=154/2=77S₈=(-3×64+43×8)/2=(-192+344)/2=152/2=76故最大值为77，当n=7时取得。4.某环保项目第一年投入资金80万元，以后每年投入资金是上一年的1.2倍。求第5年的投入资金及前5年的总投入。答案：等比数列首项b₁=80，公比q=1.2。第5项b₅=80×1.2⁴=80×2.0736=165.888万元。前5项和S₅=80×(1.2⁵-1)/(1.2-1)=80×(2.48832-1)/0.2=80×1.48832/0.2=80×7.4416=595.328万元。5.已知等比数列{bₙ}中，b₂=6，b₅=162，求b₈及前6项和S₆。答案：设公比为q，则b₅=b₂×q³，即162=6×q³，q³=27，q=3。b₁=b₂/q=6/3=2。b₈=b₁×q⁷=2×3⁷=2×2187=4374。S₆=2×(3⁶-1)/(3-1)=2×(729-1)/2=728。6.已知等比数列{cₙ}中，c₁=2，公比q=3，设dₙ=log₃cₙ，证明{dₙ}是等差数列并求其前n项和Tₙ。答案：cₙ=2×3ⁿ⁻¹，故dₙ=log₃(2×3ⁿ⁻¹)=log₃2+(n-1)。dₙ₊₁-dₙ=[log₃2+n]-[log₃2+(n-1)]=1（常数），故{dₙ}是首项d₁=log₃2，公差1的等差数列。Tₙ=n×d₁+n(n-1)×1/2=nlog₃2+n(n-1)/2。7.已知数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3，求通项公式。答案：递推式变形为aₙ₊₁+3=2(aₙ+3)，设bₙ=aₙ+3，则b₁=4，{bₙ}是公比2的等比数列，bₙ=4×2ⁿ⁻¹=2ⁿ⁺¹。故aₙ=2ⁿ⁺¹-3。8.已知数列{bₙ}满足b₁=2，bₙ₊₁=3bₙ/(bₙ+3)，求通项公式。答案：取倒数得1/bₙ₊₁=(bₙ+3)/(3bₙ)=1/3+1/bₙ，即1/bₙ₊₁-1/bₙ=1/3。{1/bₙ}是首项1/2，公差1/3的等差数列，1/bₙ=1/2+(n-1)×1/3=(3+2n-2)/6=(2n+1)/6，故bₙ=6/(2n+1)。9.已知数列{cₙ}满足c₁=1，c₂=3，cₙ₊₂=2cₙ₊₁+cₙ，求c₅和通项公式（提示：特征方程法）。答案：特征方程r²-2r-1=0，解得r=1±√2。设通项cₙ=A(1+√2)ⁿ+B(1-√2)ⁿ。代入n=1,2：A(1+√2)+B(1-√2)=1A(1+√2)²+B(1-√2)²=3计算(1+√2)²=3+2√2，(1-√2)²=3-2√2，得：A(3+2√2)+B(3-2√2)=3联立解得A=B=1/2。故cₙ=[(1+√2)ⁿ+(1-√2)ⁿ]/2。c₅=[(1+√2)⁵+(1-√2)⁵]/2，计算得(1+√2)⁵=17+12√2，(1-√2)⁵=17-12√2，故c₅=(34)/2=17。10.求数列{2ⁿ+3n}的前n项和Sₙ。答案：分组求和，Sₙ=Σ2ⁿ+Σ3n=2(2ⁿ-1)/(2-1)+3n(n+1)/2=2ⁿ⁺¹-2+(3n²+3n)/2。11.求数列{1/[n(n+2)]}的前n项和Tₙ。答案：裂项1/[n(n+2)]=1/2(1/n-1/(n+2))，故Tₙ=1/2[(1-1/3)+(1/2-1/4)+(1/3-1/5)+…+(1/n-1/(n+2))]=1/2[1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)]=(3/2(2n+3)/[(n+1)(n+2)])/2=3/4(2n+3)/[2(n+1)(n+2)]。12.求数列{n·2ⁿ}的前n项和Uₙ。答案：Uₙ=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，2Uₙ=1×2²+2×2³+…+(n-1)×2ⁿ+n×2ⁿ⁺¹。相减得-Uₙ=2+2²+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹=2(2ⁿ-1)/(2-1)-n×2ⁿ⁺¹=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹=(1-n)2ⁿ⁺¹-2，故Uₙ=(n-1)2ⁿ⁺¹+2。13.已知数列{aₙ}的前n项和Sₙ=3n²-2n+1，求通项公式。答案：当n=1时，a₁=S₁=3-2+1=2；当n≥2时，aₙ=Sₙ-Sₙ₋₁=3n²-2n+1-[3(n-1)²-2(n-1)+1]=3n²-2n+1-(3n²-6n+3-2n+2+1)=3n²-2n+1-3n²+8n-6=6n-5。故通项aₙ=｛2（n=1）；6n-5（n≥2）｝。14.已知a₁=1，aₙ-aₙ₋₁=2ⁿ（n≥2），求aₙ。答案：累加法，aₙ=a₁+Σ（k=2到n）(aₖ-aₖ₋₁)=1+Σ（k=2到n）2ᵏ=1+2²+2³+…+2ⁿ=1+2²(2ⁿ⁻¹-1)/(2-1)=1+4(2ⁿ⁻¹-1)=1+2ⁿ⁺¹-4=2ⁿ⁺¹-3（n≥2）。当n=1时，2²-3=1=a₁，故通项aₙ=2ⁿ⁺¹-3。15.已知无穷等比数列首项为4，公比q=1/2，求所有项的和。答案：和S=a₁/(1-q)=4/(1-1/2)=8。16.求limₙ→∞(3n²+2n-1)/(5n²-n+4)。答案：分子分母同除以n²，得lim(3+2/n-1/n²)/(5-1/n+4/n²)=3/5。17.某城市2023年人口为100万，预计每年人口增长率为1.5%，但每年有0.5万人口迁出，设2023年为第1年，求第n年的人口数量aₙ的表达式，并计算2033年（第11年）的人口数量（结果保留两位小数）。答案：递推关系aₙ=1.015aₙ₋₁-0.5（n≥2），a₁=100。变形为aₙ+k=1.015(aₙ₋₁+k)，解得k=-0.5/(1-1.015)=100/3≈33.3333。故{aₙ-100/3}是首项100-100/3=200/3，公比1.015的等比数列，aₙ=200/3×1.015ⁿ⁻¹+100/3。2033年n=11，a₁₁=200/3×1.015¹⁰+100/3≈200/3×1.1605+100/3≈(232.1+100)/3≈332.1/3≈110.70万。18.某企业研发一种新产品，第一年投入研发费用500万元，从第二年起，每年研发费用比上一年增加100万元；第一年销售收入200万元，以后每年销售收入是上一年的1.5倍。设第n年的利润为当年销售收入减去研发费用，求第n年利润bₙ的表达式，并求前5年总利润。答案：研发费用数列{cₙ}：c₁=500，cₙ=500+100(n-1)=100n+400（n≥1）。销售收入数列{dₙ}：d₁=200，dₙ=200×1.5ⁿ⁻¹（n≥1）。利润bₙ=dₙ-cₙ=200×1.5ⁿ⁻¹-(100n+400)。前5年总利润=Σ（n=1到5）bₙ=Σdₙ-Σcₙ=200×(1.5⁵-1)/(1.5-1)-[5×500+100×(1+2+3+4)]=200×(7.59375-1)/0.5-[2500+100×10]=200×13.1875-3500=2637.5-3500=-862.5万元。19.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ²-2aₙ+3，证明aₙ≥n+1对所有n∈N成立。19.已知数列{aₙ}满足a₁=2，aₙ₊₁=aₙ²-2aₙ+3，证明aₙ≥n+1对所有n∈N成立。答案：数学归纳法。n=1时，a₁=2≥1+1=2，成立。假设n=k时aₖ≥k+1，n=k+1时，aₖ₊₁=aₖ²-2aₖ+3=(aₖ-1)²+2≥(k+1-1)²+2=k²+2。需证k²+2≥(k+1)+1=k+2，即k²≥k，k≥1时成立。故aₖ₊₁≥k+2，归纳成立。20.已知函数f(x)=x²-4x+5，数列{aₙ}满足a₁=1，aₙ₊₁