初中数学九年级上册第四章《图形的相似》知识清单

初中数学九年级上册第四章《图形的相似》知识清单一、图形的相似：基础概念与核心性质（一）相似图形与相似多边形【基础】【必考】在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形。这个概念强调的是图形的“形状”，而对其大小和位置没有要求。也就是说，两个图形只要形状一致，无论它们是放大、缩小还是保持原样，它们都是相似图形。全等图形是相似图形的特例，即形状相同且大小也相等，相似比为1:1。如果两个边数相同的多边形满足对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。这两个条件必须同时成立，缺一不可。例如，所有的正方形都是相似多边形，因为它们的角都是直角，且边长对应成比例；所有的等边三角形也都是相似多边形。但矩形不一定都是相似的，因为虽然它们的角都相等，但长宽之比可能不同，导致对应边不成比例。相似多边形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。用符号语言表示，若五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'相似，记作五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'。注意，表示相似多边形时，通常将对应顶点的字母写在对应的位置上。（二）相似多边形的性质【核心】【高频考点】1、对应角相等：这是相似多边形最重要的角的关系。例如，在相似的多边形中，∠A=∠A',∠B=∠B'，以此类推。2、对应边成比例：所有对应边的比值都相等，且等于相似比。即AB/A'B'=BC/B'C'=CD/C'D'=…=k（k为相似比）。3、周长比等于相似比：相似多边形的周长之比等于它们的相似比。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的周长之比也为k。4、面积比等于相似比的平方：这是相似多边形最重要的量化的性质。若两个相似多边形的相似比为k，则它们的面积之比为k²。这一点极易与周长比混淆，是考试中的【易错点】。例如，将一个图形放大为原来的2倍，则其面积变为原来的4倍。二、成比例线段与比例的基本性质【基础】【运算基石】（一）线段的比【基础】两条线段长度的比叫做这两条线段的比。在求两条线段的比时，两条线段的长度单位必须统一。线段的比是一个没有单位的正数。（二）成比例线段【基础】在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a:b=c:d（或a/b=c/d），那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时，d叫做a，b，c的第四比例项。特别注意，若a:b=b:c，则线段b叫做线段a和c的比例中项。（三）比例的性质【核心】【必考运算】1、基本性质：如果a/b=c/d，那么ad=bc（交叉相乘相等）。反之，如果ad=bc（a，b，c，d都不为0），那么a/b=c/d。这是比例变形的基础。2、合比性质：如果a/b=c/d，那么(a+b)/b=(c+d)/d。3、分比性质：如果a/b=c/d，那么(ab)/b=(cd)/d（通常与合比性质结合使用）。............a/b=c/d=............+d+...+n≠0)，那么(a+c+...+m)/(b+d+...+n)=a/b。这条性质常用于解决连等式问题，是解题的【技巧点】。5、分割【难点】【文化考点】：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC），如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C分割，点C叫做线段AB的分割点，AC与AB的比叫做比，其值为(√51)/2≈0.618。一条线段有两个分割点。分割在建筑、艺术、美学等领域有着广泛的应用。三、平行线分线段成比例定理及推论【核心】【工具性定理】（一）平行线分线段成比例定理【重要】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。如图，直线l1∥l2∥l3，直线m、n分别被这三条平行线截于点A、B、C和点D、E、F。则有以下基本比例式：1、AB/BC=DE/EF（上比下）2、AB/AC=DE/DF（上比全）3、BC/AC=EF/DF（下比全）【特别提示】在应用该定理时，关键是找准“对应线段”，即被截的两条直线上位置相对应的部分。（二）平行线分线段成比例定理的推论【核心】【高频考点】平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。这是相似三角形判定（预备定理）的基础。具体图形语言：在△ABC中，若DE∥BC，则：1、AD/DB=AE/EC（基本形式）2、AD/AB=AE/AC=DE/BC（延伸形式，可用于求三角形相似比）（三）三角形重心的性质【拓展】【了解】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。这一性质可以通过平行线分线段成比例定理来证明。四、相似三角形的判定【重中之重】【中考压轴基础】（一）相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）。全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形。（二）相似三角形的判定定理（★★★）1、预备定理（平行线法）：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是所有判定定理的基础。2、判定定理1（AA）：两角分别相等的两个三角形相似。【高频考点】这是最常用的判定方法，因为只需要找两个角相等即可。例如，在两个三角形中，若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'。3、判定定理2（SAS）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。【易错点】必须是夹角相等，而不能是其中一边的对角。例如，在△ABC和△A'B'C'中，若AB/A'B'=AC/A'C'，且∠A=∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。4、判定定理3（SSS）：三边成比例的两个三角形相似。这是最严格的判定方法，条件充分但有时计算量较大。5、直角三角形相似的判定定理（HL）：斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。这是在直角三角形背景下，对SAS和SSS的简化。（三）相似三角形的判定思路总结【解题策略】1、有平行线时，优先考虑“平行线法”判定相似。2、已知一对等角时，可以再找另一对等角（AA），或找夹这个角的两边对应成比例（SAS）。3、已知两边成比例时，可以找其夹角相等（SAS），或找第三边也成比例（SSS）。4、在网格或坐标系中，常通过计算线段长度来判断三边是否成比例（SSS）。五、相似三角形的性质【核心】【定量计算依据】（一）相似三角形的基本性质【基础】1、相似三角形的对应角相等。2、相似三角形的对应边成比例。（二）相似三角形的重要性质定理【高频考点】【★★★★★】1、对应线段之比：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。2、周长之比：相似三角形的周长比等于相似比。3、面积之比：相似三角形的面积比等于相似比的平方。这是最易出错的性质，务必记住是“平方”。例如，若相似比为2:3，则面积比为4:9。（三）相似三角形的性质与判定的综合应用【难点】在解决复杂几何题时，常常需要交替使用判定定理和性质定理。先判定两个三角形相似，然后利用其性质得到对应角相等或对应边成比例，为下一步的推理或计算提供条件。特别是在涉及线段乘积式（如AB·AC=AD·AE）的证明中，通常需要将其转化为比例式，然后通过寻找相似三角形来证明。六、相似多边形的性质拓展与应用（一）相似多边形中的对应三角形【技巧点】相似多边形中，对应顶点与对角线构成的三角形也是相似的，且相似比等于原多边形的相似比。这一性质在处理多边形内部线段长度时非常有用。（二）相似多边形的应用主要应用于解决实际问题，例如：1、绘图与缩放：将原图按一定比例放大或缩小，得到新图形。2、测量问题：通过相似三角形来间接测量无法直接到达或测量的距离（如河宽、楼高）。七、利用相似三角形测高与测距【实际应用】【核心素养】（一）测量旗杆高度（或建筑物高度）【高频考点】1、阳光法（影子法）：在同一时刻，太阳光可以看作是平行光，因此物体与它的影子构成的三角形是相似的。即，人的身高/人的影长=旗杆的高度/旗杆的影长。2、标杆法：利用一根标杆，通过观测者的眼睛、标杆顶端、旗杆顶端三点共线，构造出两个相似三角形，通过测量观测者与标杆、标杆与旗杆的距离以及标杆高度来计算旗杆高度。3、镜子法（反射法）：利用平面镜的反射原理，根据入射角等于反射角，构造两个相似直角三角形。观测者看到镜子中的顶端时，镜子所在点、观测者眼睛、物体顶端构成的三角形与镜子所在点、观测者脚底、物体底端构成的三角形相似。（二）测量河宽在河的一侧选定一个参照点，通过对岸的目标点与河岸上的点构成三角形，并利用相似三角形的性质，通过测量易于到达的线段长度来计算河宽。八、图形的位似【特殊相似】【中考考点】（一）位似图形的定义【基础】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又叫做位似比。位似是相似的一种特殊形式，它除了满足相似的一切性质外，还有自己独特的性质。（二）位似图形的性质【核心】1、位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。2、位似图形中任意一对对应边平行或在同一条直线上。3、位似图形的对应角相等。（三）位似图形的画法与坐标系中的位似变换【作图与计算】1、画法步骤：确定位似中心→连接位似中心和原图的关键点并延长→根据位似比确定对应点的位置（在位似中心同侧或异侧）→连接新得到的对应点，得到图形。2、坐标变化规律：在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（kx,ky）。这是中考中常见的【题型】，解题时务必注意有两种情况（同侧或异侧，即位似中心在图形之间或一侧）。（四）位似与相似的区别与联系联系：位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。区别：相似只要求形状相同，而位似还要求所有对应点的连线交于一点（即具有位置上的特殊性）。九、常见考点、考向与解题策略（一）【高频考点】比例线段与分割常以填空题、选择题形式出现，考查比例的性质运用，尤其是等比性质和合比性质。分割多作为阅读理解或文化背景题出现。（二）【必考点】平行线分线段成比例常以选择题或填空题形式出现，结合三角形、平行四边形等图形，考查基本比例式的识别和简单计算。（三）【重中之重】相似三角形的判定与性质的综合应用这是本单元的绝对核心，通常出现在解答题中，尤其是中考的第2325题（各地区题号略有差异）。考查方式包括：1、条件开放题：补充条件使两个三角形相似。2、结论探究题：探索图形在运动变化过程中，是否存在相似三角形，并求出相应线段长度或函数关系。3、证明题：证明线段比例式或等积式。【解题步骤】第一步：审题，明确已知条件和待证结论。第二步：分析图形，找出可能相似的三角形，通常从“A型”、“X型”、“母子型”等基本图形入手。第三步：根据已知条件（如平行线、公共角、对顶角、垂直等），寻找判定相似所需的条件（AA，SAS，SSS）。第四步：利用相似三角形的性质（对应边成比例）建立方程或比例关系。第五步：求解并检验答案的合理性。（四）【难点】动态几何问题中的相似在动点问题中，利用相似三角形建立函数解析式，或探究等腰三角形、直角三角形存在的条件。这是中考压轴题的常见形式，要求学生对分类讨论思想、方程思想有深