2022学年上海曹杨二中高二（上）期末数学试卷含答案

上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试题，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）4.若直线l的一个法向量为则过原点的直线l的方程为.5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中OB=OC=1，则三角形7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为ABC-ABCABC-ABC+y2时，圆C被直线l截得弦长的最小值为.三棱锥M−PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为.12.如图，已知F是椭圆的左焦点，A为椭圆的下顶点，点P是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆N，射线ON与圆N交于点Q，则AQ的取值范围为.二、选择题共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）P4在同一个平面上”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件14.若点O和点F分别为椭圆+y2=1中心和右焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP.FP的最2y2，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是()A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题D.p、q都是假命题16.四面体ABCD的所有棱长都为1，棱AB平面α,则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是()三、解答题共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问17.已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上.（2）若直线l经过点P(−1,3)且与圆C相切，求直线l的方程.CD中点.（1）求证：直线EF//平面ABD；（2）若直线CD与平面ABC所成的角为45°,直线CD与平面ABD所成角为30°,求二面角B−AD−C的大小.19.如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头Q到海岸线OM、ON的距离分别建立如图所示的直角坐标系.码头Q在第一象限，且三个码头A、B、Q均在一条航线上.（2）海中有一处景点P（设点P在平面xOy内，PQ丄OM，且PQ=6km游轮无法靠近.求游轮在水上沿旅游线AB航行时离景点P最近的点C的坐标.（2）设E为棱AB中点，在棱CC1上是否存在一点F，使得BF//平面DEC1，若存在，求的（3）求直线AB与平面DEC1所成角取值范围.21.已知椭圆过动点M(0,m)(m>0)的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B.设A(x1,y1)、B(x2,y2).（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k，证明：k（3）求直线AB倾斜角的最小值.上海市曹杨第二中学2022学年度第一学期高二年级总结性评价数学试卷试卷共4页1张考生注意：1、答卷前，考生务必将姓名、班级、学号等在指定位置填写清楚.2、本试卷共有21道试题，满分150分，评价时间120分钟.请同学们将选择题答案直接点击在智学网上，非选择题用黑色水笔将答案写在答题卷上，并按要求拍照上传至智学网相关位置.一、填空题共12题，满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分）【答案】τ【解析】【分析】根据球体积公式计算.故答案为：τ. 【解析】【分析】设正四面体为A−BCD，过A作AO丄底面BCD，可知O为底面正三角形的中心，然后求解直角三角形得答案.【详解】如图，设正四面体为A−BCD，过A作AO丄底面BCD，垂足为O，'.'四面体为正四面体，:O为底面正三角形的中心，连接CO并延长交BD于G，则G为BD中点，:CO= :该正四面体的高为. 【解析】【分析】根据两平行直线间的距离公式求得正确答案. 【解析】分析】根据直线法向量，可设出直线方程，由直线过原点，求出未知系数.故所求直线方程为−x+3y=0，即x−3y=0. 5.如图是用斜二测画法画出的水平放置的正三角形ABC的直观图，其中O,B,=O,C,=1，则三角形【答案】 4【解析】【答案】2π【解析】7.一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的离心率为【解析】【分析】 2【点睛】本题主要考查离心率的求法，根据题意找到关系式为解题的关键，属于简单题.【答案】[0,π][3π,π)44【解析】所以直线的斜率k=−cosθ,所以β∈[0,π][3π,π).44故答案为：[0,π][3π,π)44 【解析】【分析】先计算两个底面的面积，再由体积公式计算即可. 2421(3)71(3)7+y2=16，直线l:(a−b)x+(b−2a)y−a=0（a、b不同时为0当a、b变化时，圆被直线截得的弦长的最小值为 【解析】为最小值，即可求出答案.【详解】把直线l:(a−b)x+(b−2a)y−a=0化为a(x−2y−1)+b(−x+y)=0，故答案为：2.三棱锥M−PQN的顶点在同一个球面上，则该球的表面积为.【解析】【分析】由正方体性质确定三棱锥M−NPQ的性质，从而确定其外接球球心O所在位置，然后由直角梯形和直角三角形求出半径得表面积.【详解】如图，取中点K，A1DAD1=H，由正方体性质知HK丄平面BCC1B1，由已知△NPQ是等腰直角三角形，是斜边，则三棱锥M−NPQ的外接球球心O在HK上，连接OM,OP，故答案为：8π.【点睛】关键点点睛：本题考查求三棱锥外接球的表面积，解题关键是找到外接球的球心，一般外接球球心必在过三棱锥各面外心且与此面垂直的直线上．确定球心位置后通过直角梯形与直角三角形求得半径.12.如图，已知F是椭圆的左焦点，为椭圆的下顶点，点是椭圆上任意一点，以PF为直径作圆，射线ON与圆交于点，则AQ的取值范围为.【解析】【分析】由题意求得点轨迹，根据轨迹判断计算AQ的取值范围.【详解】F,为椭圆右焦点，连接PF,，如图所示：O,N分别为FF,,FP的中点为直径，所以点轨迹是以O为圆心2为半径的圆在圆内，所以AQ的最小值为2−,最大值为2+，即AQ的取值范围为二、选择题共4题，满分18分，前2题每题4分，后2题每题5分）P4在同一个平面上”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件【答案】A【解析】PPP【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论14.若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则OP.FP的最【答案】B【解析】【详解】试题分析：设点p(x,)，所以，由此可得OP.FP=(x,y).(x−1,y)考点：向量数量积以及二次函数最值.2y2，命题p：曲线C仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q：曲线C上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是()A.p、q都是真命题B.p是真命题，q是假命题C.p是假命题，q是真命题D.p、q都是假命题【答案】A【解析】的真假性.所以x2+y2≤4，圆x2+y2=4上以及内部横坐16.四面体ABCD的所有棱长都为1，棱平面α,则四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是()【答案】D【解析】丄α时面积最小、平面ABDIlα时面积最大，结合正投影性质即可求面积.【详解】四面体ABCD的所有棱长都为1，则为正四面体，由正四面体的性质可知AB丄CD,正四面体的侧面上的高为he=·i1-2正四面体的高h=2骣2骣2 =.∵棱平面α,设A、B、C、D在平面α内的射影依次为A1、B1、CD1在A1B1两侧时，构成的图形即为四边形A1C1B1D1，此时A1B1^C1D1，h<C1D1BC①当平面ABD^α时，C1E=h=②当平面ABDα时，C1E=h¢=③当CD丄α时，C1E为CD到面α距离，即C1E=E?,.综上，四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是三、解答题：（共5题，满分78分，前3题每题14分，其中第1问6分，第2问8分；后2题每题18分，其中第1问4分，第2问6分，第3问17.已知圆C经过A(3,2)、B(1,6)两点，且圆心在直线y=2x上.（2）若直线经过点P(−1,3)且与圆C相切，求直线的方程.【解析】【详解】试题分析1）根据圆心在弦的垂直平分线上，先求出弦的垂直平分线的方程与y=2x联立可求得圆心坐标，再用两点间的距离公式求得半径，进而求得圆的方程2）当直线斜率不存在时，与圆相切，方程为x=−1；当直线斜率存在时，设斜率为，写出其点斜式方程，利用圆心到直线的距离等于解方程组得即圆心的坐标为(2,4)，（2）若直线斜率不存在，则直线方程是x=−1，与圆相离，不合题意；若直线斜率(x+1)，即kx−y+k+3=0，因为直线与圆相切，所以有CD的中点.（1）求证：直线EF//平面ABD；（2）若直线CD与平面ABC所成的角为45°,直线CD与平面ABD所成角为30°,求二面角B−AD−C的大小.（2）45。【解析】【分析】（1）根据EF//BD即可证明；（2）证明AD丄平面ABC，BC丄平面ABD，进而结合已知条件证明△ABC为等腰直角三角形，证明：因为E、F分别为棱BC、CD的中点.所以，在△BCD中，EF//BD，因为EF丈平面ABD，BD平面ABD，所以，直线EFP平面ABD解：因为平面ACD丄平面ABC，平面ACD平面ABC=AC，AD平面ACDAD丄AC,所以AD丄平面ABC，所以，上DCA是直线CD与平面ABC所成的角，因为直线CD与平面ABC所成的角为45°,所以AD=AC因为AD丄平面ABC，AB,BC平面ABC，所以AD丄BC，AD丄AB，因为AB丄BC，AB∩AD=A，AB,AD平面ABD，所以BC丄平面ABD，所以，上BDC是直线CD与平面ABD所成角，因为直线CD与平面ABD所成角为30°,所以CD,BD=因为AD丄AB，AD丄AC，所以上BAC是二面角B−AD−C的平面角，所以二面角B−AD−C的大小为45。19.如图，、是海岸线OM、ON上的两个码头，海中小岛有码头到海岸线OM、ON的距离分别建立如图所示的直角坐标系.码头在第一象限，且三个码头、（2）海中有一处景点（设点在平面xOy内，PQ丄OM，且PQ=6km游轮无法靠近.求游轮在)【解析】由已知得，A(6,0)，直线ON方程：y=−3x设，由及图，得x0=4，:Q直线AQ的方程为y=−(x−6)即x+y−6:P(4,8)，则直线PC方程为x−y+4=0轮在水上沿旅游线航行时离景点最近的点的坐标为(1,5).（2）设E为棱的中点，在棱CC1上是否存在一点F，使得BF//平面DEC1，若存在，求的（3）求直线与平面DEC1所成角的取值范围.【解析】（3）利用向量法求得直线与平面DEC1所成角的正弦值，结合不等式的性质求得所成角的取值范围.DE.0,2,1)，设平面DEC1的法向量为n=(x1,y1,z1)，若BF//平面DEC1，BF丈平面DEC1，则n.BF=1−2λ=0,λ=，所以F是CC1的中点，所以=.设平面DEC1的法向量为m=(x2,y2,z2)，设直线与平面DEC1所成角为θ,0≤θ≤,m.AB21m.AB2122tt2所以sinθ=21.已知椭圆过动点M(0,m)(m