2022学年上海延安中学高二（上）期末数学试题含答案

2022年延安中学高二年级期末试卷35.已知(−2,0)是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为2，则该双曲线的8.已知d=(3,4,−12)是直线l一个方向向量，n是平面α的一个单位法向量，且l丄α,则向量n的9.经过点(5,15)，可作圆x2+y2=r2的两条切线，已知其中一条切线的方程为x=5，则另一条切线的uuuruuurD点，则△BCD的周长为.12.已知P为直线x+2y−1=0上的一个动点，Q为曲线4x4−2x2y−x3+2x2+1=0上的一个动点，则线段PQ长度的最小值为.14.设直线l方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a丄n”是“l//α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件16.已知直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，P为该双曲线上的任意一2（1）求证：对任意实数a，直线l1和l2各经过一个定点（依次设为A和B并求A，B的坐标；（2）设直线l1和l2交于点P，求证：点P的轨迹是一个圆，并求其标准方程.18.如图，四面体ABCD各棱长均为2，E，F分别为棱DA，BC的中点，又设DA=a，（1）用向量a，b，c的线性组合表示向量BE，DF；（2）求向量BE，DF的夹角的大小.如图所示，建立空间直角坐标系O−xyz；利用所学空间向量知识，求：（1）点A到平面EFC1的距离；（2）平面EFC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小.20.如图，双曲线k2x2−y2=1(k>两点.（1）已知A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的两个根，求b，c的21.如图1，在平面直角坐标系xOy中，P(0,a)是y轴正半轴上的一点；过P作斜率为−1的直线，交二次函数图象于Q，R两点；如图2，把平面xOy沿y轴折起来，成为一个直二面角Q−OP−R；如图3，建立空间直角坐标系O−xyz.（1）如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面xOy上，设S是该曲线上的一点；如果a=3，试求SQ的最小值，并求此时S在空间直角坐标系O−xyz中的坐标；2022年延安中学高二年级期末试卷【解析】【分析】两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标、竖坐标全部相反，故得解.【答案】2【解析】【分析】根据平行线间距离公式即可求解.【详解】根据平行线间距离公式可得，【解析】【分析】利用两直线平行列方程即可求得.【解析】【分析】分别求出两直线的方向向量，利用向量的夹角公式即可求得.(3)(2,(3)(2,【解析】【详解】由已知得a=2:c=3)两点，则满足PAPB【解析】【分析】根据PA−PB=2=AB即可求解.PA−PBAB,PA−PBAB,因此动点的轨迹是AB的延长线上,且点在x轴上点【解析】【详解】解：设点B(a,b)，所以点B的坐标为(8,15).故答案为：(8,15)8.已知d=(3,4,−12)是直线l的一个方向向量，n是平面α的一个单位法向量，且l丄α,则向量n的【解析】【分析】根据线面关系确定d与n共线的关系，再根据单位向量即可求解.所以d与n共线，且n是单位向量，222222229.经过点(5,15)，可作圆x2+y2=r2的两条切线，已知其中一条切线的方程为x=5，则另一条切线的【解析】根据切线的基本性质即可求解.【详解】由题意，圆x2+y2=r2的圆心为(0uuuruuur 【答案】26【解析】【分析】根据向量垂直的数量积为0，可求得a,b，再利用向量的减法及模长公式可求解.:AB.AC=2a2+2b(b+2)−4(a−1)=0，222 故答案为：26D点，则△BCD的周长为.【答案】12【解析】角形即可求解周长.【详解】由题意可知：直线BC方程为：y=2(x-4)+10?y2x+2，故直线BC与轴的交点坐标,直线AD方程为：y=3(x-4)+10?y3x-2，故直线AD与轴的交点坐标为D(0,−2),△BCD的周长为BC+CD+AD=CE+CD+BE+BD=2a+2a=4a=12，故答案为：1212.已知为直线x+2y−1=0上的一个动点，线段PQ长度的最小值为. 【解析】22x22线与4x4−2x2y−x3+2x2+1=0相切时，两平行线间的距离.利用导数求出切点坐标，利用点到直线的距离公式求解.所以线段PQ的最小值即为与平行的直线与4x4−2x2y−x3+2x2+1=0相切时，两平行线 综上所述：线段PQ长度的最小值为5.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的标准方程确定c，从而可以确定焦点坐标.14.设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a丄n”是“l//α”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的位置关系及直线的方向向量、平面的法向量定义再结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由l//α,得：a丄n，则“a丄n”是“l//α”的必要条件，而a丄n不一定有l//α,也可能lα,则“a丄n”不是“l//α”的充分条件.【答案】C【解析】【分析】利用点在圆外，列不等式组，即可解得.16.已知直线x=a与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，为该双曲线上的任意一点，设O为原点，m，n为实数，则的值为()【答案】D【解析】【分析】求出双曲线渐近线方程，得到M，N点坐标，进而得到P(ma+na,mb−nb)，代入双曲线方程，即可得出结果.【详解】由已知可得，双曲线的渐近线方程为，可得P(ma+na,mb−nb).2（1）求证：对任意实数，直线l1和l2各经过一个定点（依次设为A和B并求A，B的坐标；（2）设直线l1和l2交于点，求证：点的轨迹是一个圆，并求其标准方程.【解析】所以l1经过定点A(1,0);2所以l2经过定点B(3,6).圆心为：(2,3)，半径为18.如图，四面体ABCD的各棱长均为2，E，F分别为棱DA，BC的中点，又设DA=a，（1）用向量a，b，c的线性组合表示向量BE，DF；（2）求向量BE，DF的夹角的大小.（2）arccos【解析】由四面体ABCD各棱长均为2，可知四面体ABCD为正四面体，所以a，b，c两两夹角为60，因此如图所示，建立空间直角坐标系；利用所学空间向量知识，求：（1）点A到平面EFC1的距离；（2）平面EFC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角的大小. arccos【解析】n,即可求解；设平面EFC1的法向量为n=(x,y,z)，nn所以点A到平面EFC1的距离为所以点A到平面EFC1的距离为7 7设平面EFC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角为θ,则所以平面EFC1与平面A1B1C1D1所成的锐二面角为arccos20.如图，双曲线k2x2−y2=1(k>两点.（1）已知A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的两个根，求b，c的【解析】程，再根据A，B两点的横坐标x1和x2为方程的两个根，从而可求出b,c；（2）由题意得A(x1,−kx1),B(x2,kx2)，再根据两点间的距离公式和根与系数的关系可求出k的值.由题意可知双曲线的两条渐近线方程为y=±kx，因为A，B两点的横坐标x1和x2恰为关于x的方程(k2+1)x2+bx+c=0的两个由题意得A(x1,−kx1),B(x2,kx2)，所以(x1−x2)2+k2(x1+x2)2=4，即(1+k2)(x+x)+(2k2−2)x1x2=4，x2化简得k2+1=5，解得k=2或k=−2（舍去）.21.如图1，在平面直角坐标系xOy中，P(0,a)是y轴正半轴上的一点；过P作斜率为−1的直线，交二次函数x2图象于Q，R两点；如图2，把平面xOy沿y轴折起来，成为一个直二面角Q−OP−R；如图3，建立空间直角坐标系O−xyz.（1）如图3，上述二次函数在折叠后有一部分图象位于平面xOy上，设S是该曲线上的一点；如果a=3，试求SQ的最小值，并求此时S在空间直角坐标系O−xyz中的坐标；【解析】（2）联立直线与二次函数的方程可解出Q,R的坐标，进而得到−1.然后根据坐标关系可得出Q,R在空间直角坐标系下的坐标，得到因为S在平面xOy上，设S(2,s,0)，s>0.SQ222222当且仅当s=7时，SQ有最小值为2，此时S(2,7,0).解：直线方程为y=−x+a.联立直线与二次函数