2026年上半年教师资格证面试试讲真题（高中数学）

2026年上半年教师资格证面试试讲真题（高中数学）课题一：函数的单调性【试题内容】1.题目来源：人教A版高中数学必修第一册第三章《函数的概念与性质》。2.试讲题目：函数的单调性（第一课时）。3.内容要求：(1)请从高中数学知识体系中选取“函数的单调性”进行试讲。(2)教学过程中需要配合板书进行讲解，并有适当的提问互动。(3)时间控制在10分钟左右。(4)教学中需包含增函数、减函数的定义及其几何意义。【答案与解析】【教学设计】一、教学目标1.知识与技能：理解函数的单调性（增函数、减函数）的概念；掌握判断函数单调性的方法，并能运用定义证明简单函数的单调性。2.过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势，经历从直观到抽象、从特殊到一般的认知过程，培养学生的逻辑推理能力和数学抽象素养。3.情感态度与价值观：体会数形结合的数学思想，激发学生学习数学的兴趣，养成严谨求实的科学态度。二、教学重难点1.教学重点：函数单调性的概念（定义）及其几何意义。2.教学难点：函数单调性定义的形成过程及符号化描述（如何将“随着x的增大，y也增大”转化为数学语言）。三、教学方法讲授法、讨论法、探究发现法、数形结合法。四、教学过程(一)创设情境，引入新课教师展示某地一天24小时内的气温变化图。提问：请同学们观察这张气温变化图，描述一下气温随时间的变化趋势。学生回答：气温在凌晨4点最低，之后逐渐上升，到下午14点左右达到最高，之后又逐渐下降。教师引导：在数学中，我们如何用函数的语言来描述这种“随着自变量的增加，函数值增加”或“随着自变量的增加，函数值减小”的现象呢？这就是我们今天要研究的——函数的单调性。(二)观察图象，形成概念1.直观感知教师在黑板上画出f(x)提问：观察f(学生活动：观察图象，发现图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的。教师总结：我们说函数f(x)=在区间2.探究定义教师追问：如何用数学符号语言精确地定义“增函数”呢？我们不能只靠眼睛看，需要严谨的定义。引导学生思考：取区间(0,+∈fty)上的任意两点学生回答：点A在点B的左下方，即f(教师板书定义：设函数f(x)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()<f(提问：那么减函数的定义应该是什么？学生类比得出：当<时，都有f()>f((三)概念辨析，深化理解例题：证明函数f(x)教师引导：证明的步骤是什么？1.取值：设,是ℝ上的任意两个值，且<。2.作差变形：计算f(3.定号：判断差值的符号。4.下结论。师生共同完成证明：证明：设,∈ℝ，且f(因为<，所以−<0，从而f(所以f(x)(四)巩固练习练习：判断函数f(x)学生板演，教师点评。强调定义域和区间的重要性。(五)课堂小结1.函数单调性的定义（文字语言、符号语言）。2.判断或证明函数单调性的步骤：取值、作差、变形、定号、结论。3.数形结合的思想。(六)布置作业教材习题3.2第1,2题。【板书设计】课题一：函数的单调性1.定义：设f(x)定义域为I增函数：任意,∈D，若<，则减函数：任意,∈D，若<，则2.几何意义：增函数图象呈上升趋势；减函数图象呈下降趋势。3.证明步骤：(1)取值(2)作差变形(3)定号(4)下结论【试讲逐字稿】各位评委老师，大家好！我是今天的高中数学考生。我试讲的题目是《函数的单调性》。上课！同学们好，请坐。同学们，在我们的生活中，很多事物都在发生着变化。比如，老师这里有一张某地一天24小时内的气温变化图（手指PPT或板书）。请大家观察一下，这张图反映了气温怎样的变化趋势？好，靠窗的这位同学你来说。他说，气温在凌晨4点最低，之后一直上升，到下午2点达到最高，然后又下降。描述得非常准确！大家看，随着时间（自变量）的增加，气温（函数值）先增加，后减少。在数学中，我们如何用函数的语言来描述这种“增”或“减”的趋势呢？这就是我们今天要深入探究的内容——函数的单调性。（板书课题）我们在初中已经接触过一些函数，比如一次函数、反比例函数。请大家回忆一下，y=x和（板书画图）大家看黑板上这两个函数的图象。对于f(x)对，是一直向上的，像爬山一样。我们说，在这个区间上，函数值随着自变量的增大而增大。在数学上，我们把它叫做“增函数”。反之，如果在某个区间上，图象一直向下，我们就叫它“减函数”。但是，数学是一门严谨的学科，我们不能只靠感觉。如何用精确的符号语言来定义“增函数”呢？请大家看f(x)=在(0,+∈fty很明显，点A在点B的下方，也就是说f(如果我们把A和B换成这个区间上任意两点，只要横坐标小的，纵坐标一定小吗？是的！所以，我们可以这样定义（板书）：设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值,，当<时，都有f()大家想一想，减函数的定义应该怎么改？请那位举手最快的同学回答。很好，把不等号方向改一下，当<时，都有f(学会了定义，我们来看看怎么用。请大家看例题：证明f(x)证明这种题，我们有“四步法”：取值、作差变形、定号、下结论。第一步，设值。设,是ℝ上任意两个值，且<。第二步，作差。f(第三步，定号。因为<，所以−<第四步，结论。即f(这个方法大家掌握了吗？下面请大家在练习本上证明一下f(x)（巡视指导）这位同学做得不错，注意到了定义域是x≠q0好了，时间差不多了。今天我们学习了函数单调性的定义以及用定义法证明函数单调性。课后请大家完成课后练习第1、2题。这节课就上到这里，下课！各位评委老师，我的试讲结束。课题二：椭圆的标准方程【试题内容】1.题目来源：人教A版高中数学选择性必修第一册第二章《圆锥曲线》。2.试讲题目：椭圆的标准方程（第一课时）。3.内容要求：(1)推导椭圆的标准方程。(2)掌握椭圆的标准方程的形式，理解其中a,(3)教学中注重数形结合思想的渗透。【答案与解析】【教学设计】一、教学目标1.知识与技能：掌握椭圆的定义，理解标准方程的推导过程，能根据条件求椭圆的标准方程。2.过程与方法：通过类比圆的方程推导，经历椭圆标准方程的推导过程，提升代数运算能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观：感受数学形式的简洁美、对称美，培养勇于探索的精神。二、教学重难点1.教学重点：椭圆的标准方程及其推导过程。2.教学难点：标准方程推导过程中的化简（根式的处理）以及坐标系的建立。三、教学方法启发式教学、讲练结合法。四、教学过程(一)复习引入回顾椭圆的定义：平面内与两个定点,的距离之和等于常数（大于||常数记为2a，两焦点间距离记为2(二)探究新知1.建系设点为了使方程简洁，我们应该如何建立直角坐标系？引导学生讨论：以所在直线为x轴，以线段的垂直平分线为y轴建立直角坐标系。设(−c,2.列式根据椭圆定义：|M代入距离公式：+3.化简这是本节课的难点。引导学生移项、平方，去掉根号。第一步：移项=第二步：平方(展开整理得：−第三步：再平方(展开：−整理：−即：(4.引入b令=−（因为a>c方程变为：+两边同除以，得到焦点在x轴上的椭圆标准方程：+(三)几何意义强调a是长半轴长，b是短半轴长，c是半焦距，满足=+(四)例题讲解例：已知椭圆的焦点在x轴上，焦距为4，且椭圆上一点到两焦点的距离之和等于10，求椭圆的标准方程。解：由题意知2c=4=−所以方程为+=(五)课堂小结1.建系原则：利用对称性。2.标准方程：+=1(焦点在3.参数关系：=+(六)作业布置教材习题2.1A组第3,4题。【板书设计】课题二：椭圆的标准方程1.定义：|2.推导：建系：(列式：+化简：...（关键步骤）引入b：令=3.标准方程：+焦点在x轴上。4.关系：=【试讲逐字稿】各位评委老师，大家好！我试讲的题目是《椭圆的标准方程》。上课！同学们好，请坐。在上一节课，我们通过动手实验，认识了椭圆这种优美的曲线。哪位同学能回顾一下，什么是椭圆的定义？好，班长你来总结。非常准确：平面内与两个定点,的距离之和等于常数2a（大于|既然我们知道了几何定义，那么能不能用代数方程来表示它呢？今天我们就来推导椭圆的标准方程。（板书课题）首先，我们要建立直角坐标系。为了求出的方程最简单，大家觉得应该怎么建系？小组讨论一下。第一小组的代表说，以为x轴，以中垂线为y轴。为什么这样选？对，利用了图形的对称性。这样，我们设(−c,设M(x,代入两点间距离公式，我们可以列出式子：+这个方程带有两个根号，看起来很复杂。我们的目标是把它化简成整式方程。大家想想，处理根式通常用什么方法？对，移项、平方。首先，把其中一个根号移到右边：=2然后两边平方。注意右边是一个二项式，平方要展开。（板书展开过程）整理后，我们得到：−c这里还有一个根号，需要再平方一次。大家注意，平方之前要确保两边非负，这里显然成立。再次平方、整理，我们得到：(大家看这个式子，结构里有(−)。因为a>c，所以这样，方程就变成了：+=最后，两边同除以，我们就得到了焦点在x轴上的椭圆标准方程：+这个方程非常漂亮！大家要注意，这里的a,对，=+下面我们来做一道练习。已知椭圆焦距为4，椭圆上一点到两焦点距离之和为10，求方程。由题意，2c=4那么=−所以方程是+=大家掌握了吗？这节课我们重点推导了标准方程，关键在于建系的技巧和根式化简的耐心。课后请大家思考，如果焦点在y轴上，标准方程会发生什么变化？好，下课！我的试讲结束，谢谢各位评委老师。课题三：导数的概念【试题内容】1.题目来源：人教A版高中数学选择性必修第二册第四章《导数及其应用》。2.试讲题目：导数的概念。3.内容要求：(1)通过实际问题（如气球膨胀率、高台跳水）引入变化率的问题。(2)理解平均变化率与瞬时变化率的概念。(3)掌握导数的定义，理解极限思想。【答案与解析】【教学设计】一、教学目标1.知识与技能：理解平均变化率和瞬时变化率的概念，了解导数的几何意义，会求函数在某一点的导数。2.过程与方法：通过由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，体会极限的思想，提升数学抽象素养。3.情感态度与价值观：感受数学在物理问题中的应用，认识数学模型的普适性。二、教学重难点1.教学重点：导数的概念及定义。2.教学难点：理解Δx三、教学方法情境教学法、问题驱动法。四、教学过程(一)问题情境展示高台跳水模型：运动员跳台后高度h随时间t变化的函数为h(提问1：在0≤计算：。提问2：在t=2附近，比如计算：。提问3：如果我们想求t=(二)构建概念1.平均变化率对于函数y=f(x)2.瞬时变化率与导数当Δx→0（即无限趋近于）时，如果平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数就叫做函数在x=处的瞬时变化率，也称为函数在记作：()或者记作：()(三)概念辨析导数是研究函数在一点处的变化快慢（变化趋势）的量。它是一个局部性质，不是整体性质。几何上，导数()表示曲线y=f(四)例题应用例：求函数y=在x解：第一步，求增量Δy第二步，求平均变化率=2第三步，取极限li所以(1(五)课堂小结1.平均变化率是曲线割线的斜率。2.导数是平均变化率的极限，是切线的斜率。3.“求增量、算比值、取极限”是求导的三步曲。(六)作业布置思考：如何求y=f(【板书设计】课题三：导数的概念1.平均变化率：=（几何意义：割线斜率）2.导数（瞬时变化率）：(（几何意义：切线斜率）3.求导步骤：(1)求增量Δ(2)求比值(3)取极限【试讲逐字稿】各位评委老师，大家好！我试讲的题目是《导数的概念》。上课！同学们好，请坐。在物理课上，我们学过平均速度和瞬时速度。如果已知物体位移s与时间t的函数关系s(大家看大屏幕，这是高台跳水时运动员的高度随时间变化的函数h(如果我想知道他在0到2秒内的平均速度，怎么算？对，。这就是我们熟悉的平均速度。但是，如果我想知道他在t=能不能用[2,2.1大家发现了吗？当我们取的时间间隔越来越短，也就是Δt在数学上，我们把这种“无限逼近”的思想叫做极限。我们把t=2附近的平均速度，当Δt→推广到一般函数y=f(我们定义（板书）：函数y=f(x)(这个式子看起来有点复杂，我们把它拆解一下。分子是函数值的增量Δy，分母是自变量的增量Δ所以，导数就是“平均变化率的极限”。从几何上看，平均变化率是割线的斜率，当Δx对，变成了切线！所以导数()就是曲线y=f下面我们来试一试用定义求导数。求y=在x第一步，求增量。Δy展开计算：1+第二步，求比值。==第三步，取极限。当Δx→0所以，(1这表明，抛物线y=在x大家掌握这个“三步走”的方法了吗？导数是微积分的基石，希望同学们课后多加练习，体会极限思想的奥妙。这节课就上到这里，下课！谢谢大家。课题四：正弦定理【试题内容】1.题目来源：人教A版高中数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》。2.试讲题目：正弦定理。2.内容要求：(1)掌握正弦定理的内容及证明方法。(2)能够利用正弦定理解三角形：已知两边和一边的对角，已知两角和一边。(3)培养学生的转化与化归思想。【答案与解析】【教学设计】一、教学目标1.知识与技能：掌握正弦定理的推导过程，能运用正弦定理解三角形。2.过程与方法：从直角三角形的特殊性质出发，推广到任意三角形，体会由特殊到一般的认知过程。3.情感态度与价值观：通过向量法或几何法证明定理，感受数学的逻辑美。二、教学重难点1.教学重点：正弦定理的推导及应用。2.教学难点：正弦定理的推导（特别是如何处理锐角和钝角三角形的情况）。三、教学方法探究发现法、讲练结合。四、教学过程(一)温故知新在直角三角形ABC中，∠C=。我们有si由此可得：==提问：这个等式在任意三角形中还成立吗？(二)定理推导方法一：向量法（推荐）作向量→AC=由→AC−过点A作单位向量→j垂直于→对上式两边同取与→j(→左边：0−所以as同理可证=。方法二：几何法（外接圆）作△ABC的外接圆，半径为R。利用直径所对的圆周角是直角，构造直径，转化为直角三角形问题，可得a=2从而==(三)定理应用正弦定理：==适用类型：1.已知两角和一边，求其他两边和一角。2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（进而求出其他边和角）。(四)例题讲解例：在△ABC解：由正弦定理=得：b=C=再求c：c=（计算si(五)课堂小结1.正弦定理公式。2.正弦定理解决了哪些类型的解三角形问题。(六)作业布置教材习题6.2第1,2题。【板书设计】课题四：正弦定理1.定理：在△AB（R为外接圆半径）2.推导（向量法）：→两边点乘单位向量→⇒3.应用：(1)两角一边(2)两边一对角【试讲逐字稿】各位评委老师，大家好！我试讲的题目是《正弦定理》。上课！同学们好，请坐。同学们，我们之前学习过直角三角形的边角关系。在Rt△ABC中，∠C=把它们变形一下，可以得到==大家思考一个问题：这个优美的等式，仅仅在直角三角形中成立吗？在锐角三角形或钝角三角形中，边长和对角正弦值的比值还相等吗？这就是我们今天要探讨的正弦定理。（板书课题）为了验证猜想，我们可以利用向量这个强有力的工具。假设在任意△ABC中，我们建立向量关系。→AC注意→BC的长度是现在，我过点A作一个垂直于→AC的单位向量大家看，如果我对等式→b−→左边：→b·→第二项：|→c||→j|计算得到：−c右边：→a所以，−csinA修正一下：→c左边点乘→j变为c所以csin同理，如果我们作垂直于→AB的向量，就能证出这就证明了正弦定理：==其实，这个比值还有更深刻的几何意义，它等于三角形外接圆直径2R有了正弦定理，我们就可以解决两类解三角形的问题：一是已知两角和一边，二是已知两边和其中一边的对角。下面我们来看一个例子。在△ABC中，已知a直接代入公式：=。解得b=非常简单！同学们，正弦定理将三角形的边和角联系起来，实现了“边”与“角”的互化。课后请大家思考一下，如果用外接圆法怎么证明正弦定理？好，这节课就上到这里，下课！我的试讲结束，谢谢各位评委老师。课题五：基本不等式【试题内容】1.题目来源：人教A版高中数学必修第一册第二章《基本不等式》。2.试讲题目：基本不等式。2.内容要求：(1)通过现实情境（如2002年北京国际数学家大会会标）引入基本不等式。(2)理解基本不等式≤及其几何解释。(3)掌握基本不等式的成立条件及“一正、二定、三相等”的应用原则。【答案与解析】【教学设计】一、教学目标1.知识与技能：理解基本不等式的几何背景及代数结构，掌握基本不等式及其应用，能运用基本不等式求最值。2.过程与方法：经历由数到形、由特殊到一般的探究过程，培养数形结合能力和逻辑推理能力。3.情感态度与价值观：欣赏赵爽弦图中的数学美，体会中国古人的智慧。二、教学重难点1.教学重点：基本不等式的推导、理解及应用。2.教学难点：基本不等式取等号的条件及其几何解释。三、教学方法情境教学法、启发探究法。四、教学过程(一)情境引入展示2002年北京国际数学家大会会标（赵爽弦图）。提问：这个图案像什么？它蕴含了怎样的数学道理？图中是一个大正方形包含四个全等的直角三角形。设直角边长为a,b，斜边为大正方形面积。四个直角三角形面积之和。中间小正方形面积。由图形直观可知，中间小正方形面积非负，即−2因为=+，所以+−2(二)形成概念1.重要不等式对于任意实数a,b，都有+≥2.基本不等式如果把换成x，换成y（x>0,y>变形得：≥。我们称为算术平均数，为几何平均数。基本不等式：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。即：对于a>0,b>(三)几何解释以a+b为直径作圆，在直径上取一点分长为根据射影定理或几何性质，垂线段长为。因为半径大于或等于半弦长（圆心到弦的距离≤半径），直观验证了不等式。(四)应用举例例1：已知x>0,y>解：由基本不等式≤=所以xy当且仅当x=y=口诀：一正、二定、三相等。例2：设x>0，求解：因为x>所以x+当且仅当x=即x(五)课堂小结1.基本不等式：≥(2.几何意义：半径不小于半弦。3.应用条件：正数、定值、相等。(六)作业布置思考题：若x<0，求【板书设计】课题五：基本不等式1.重要不等式：+≥2a