2.4 用一元二次方程解决问题（2）（教学课件）

第二章一元二次方程

2.4用一元二次方程解决问题（2）学

习

目

标12理解“连续两次平均增长率(降低率)”问题的数量关系，能正确列出形如a(1±x)2＝b的一元二次方程并求解．能够将直角三角形中的动态运动问题转化为勾股定理方程，建立一元二次方程模型．3会根据实际情境检验方程根的合理性，舍去不合题意的解．知识回顾1．列一元二次方程解应用题的一般步骤是什么？审题→设元→列方程→解方程→检验→作答矩形面积类实际问题．除了常规的“负数根无意义需舍去”外，特别要注意，超出实际图形尺寸范围的正数根也必须舍去．2．上节课我们解决了哪些类型的问题？在解的取舍方面要注意什么？例题讲解例2某种药品原价

125

元/盒，经过连续两次降价，现价格为

80

元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？分析：①“连续两次降价”是什么意思？②

如果平均每次降价的百分率是

x，第一次降价后的价格如何表示？③

第二次降价是在哪个价格基础上进行的？如何表示？④

这个问题的等量关系是什么？原价第一次降价后的售价第二次降价后的售价例题讲解例2某种药品原价

125

元/盒，经过连续两次降价，现价格为

80

元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？设这种药品平均每次降价的百分率是

x，可以列表分析如下：125

元/盒125

(1－x)元/盒125

(1－x)2

元/盒等量关系：两次降价后价格＝现价例题讲解例2某种药品原价

125

元/盒，经过连续两次降价，现价格为

80

元/盒，这种药品平均每次降价的百分率是多少？解：设这种药品平均每次降价的百分率是

x．根据题意，得125(1－x)²＝80．解这个方程，得

x1＝0.2＝20%，

x2＝1.8(不合题意，舍去)．答：这种药品平均每次降价的百分率是2

0%．注意：变化率

0＜x＜1，大于1的根无实际意义，必须舍去．💡连续两次下降模型：原量×(1一变化率)2＝现量．新知巩固1．某种帆布鞋原价每双160元，经过两次降价，现售价每双102.4元．求该种帆布鞋平均每次降价的百分率．解：设这种帆布鞋平均每次降价的百分率是

x．根据题意，得160(1－x)²＝102.4．化简，得

(1－x)²＝0.64解这个方程，得

x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不合题意，舍去)．答：这种帆布鞋平均每次降价的百分率是

20%．新知巩固2．某农场的粮食产量在两年内从

3000t增加到

3630t，平均每年增产的百分率是多少？分析：这道题与“药品降价”问题有什么相同点和不同点？相同：都是连续两次变化；不同：药品是降价（降低率），粮食是增产（增长率）💡连续两次增长模型：原量×(1＋变化率)2＝现量．解：设平均每年增产的百分率是

x．根据题意，得3000(1＋x)²＝3630．化简，得

(1＋x)²＝1.21解这个方程，得

x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．答：平均每年增产的百分率是10%．例题讲解例3如图，海关缉私人员驾艇在

C处发现正北方向

30km的

A处有一艘可疑船只，并测得它正以

60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以

75km/h的速度沿直线行驶，在

B处将可疑船只拦截．缉私艇从

C处到

B处需航行多长时间？ACB北30km60km/h75km/h分析：①设缉私艇从C到B需航行

xh，则BC的长度为多少？②

同一段时间内，可疑船只从A到B航行了多少？③

观察△ABC,这是什么三角形？三边之间有什么关系？75xkm60xkm例题讲解例3如图，海关缉私人员驾艇在

C处发现正北方向

30km的

A处有一艘可疑船只，并测得它正以

60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以

75km/h的速度沿直线行驶，在

B处将可疑船只拦截．缉私艇从

C处到

B处需航行多长时间？ACB北30km60km/h75km/h75xkm60xkm

讨论交流解决动态运动问题的基本步骤是什么？(1)画图标注：画出运动过程中的关键状态图，标注所有已知量和含未知数的代数式；(2)化动为静：分析运动过程中的不变量，将动态问题转化为静态几何关系；(3)寻找定理：根据图形特征选择几何定理（如勾股定理），建立方程；(4)双重检验：既要检验方程解是否为实数且为正，还要检验是否满足几何条件．新知巩固

ABCDP

7

1

个单位长度/s新知巩固2．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远？解：设经

x秒二人在

B处相遇，这时乙共行走：AB＝3x，甲共行走：AC＋BC＝7x，∵AC＝10，∴BC＝7x－10，又∵∠A＝90°，∴BC2＝AC2＋AB2，∴(7x－10)2＝102＋(3x)2，解得：x＝0（舍去）或

x＝3.5，∴AB＝3x＝10.5，AC＋BC＝7x＝24.5.答：相遇时甲走了24.5步.思维提升如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．(1)当

t为何值时，△PAQ为等腰三角形？6cm4cm1cm/s2cm/s解：(1)根据题意，得AQ＝tcm，BP＝2tcm，AP＝(6－2t)cm，∵△PAQ为等腰三角形，∠A＝90°，∴AQ＝AP，即

t＝6－2t，解得：t＝2，答：当t＝2时，△PAQ为等腰三角形．思维提升如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．(2)当

t为何值时，△APD的面积为6cm2？

6cm4cm1cm/s2cm/s思维提升如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t（s）．(3)五边形PBCDQ的面积能否达到20cm2？若能，请求出

t的值；若不能，请说明理由．

6cm4cm1cm/s2cm/s思维提升如图所示，四边形ABCD为矩形，AB＝6cm，AD＝4cm，若点Q从A点出发沿AD以1cm/s的速度向D运动，P从B点出发沿BA以2cm/s的速度向A运动，如果P、Q分别同时出发，当一个点到达终点时，另一点也同时停止．设运动的时间为t