23.5 数据的分类＋23.6用样本推断总体（能力提升）（解析版）

.5数据的分类+23.6用样本推断总体目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u分层作业A组巩固过关题型01组内离差平方和题型02由样本所在的频率区间估计总体的数量题型03用样本平均数（方差）估计总体平均数（方差）题型04由样本所占百分比估计总体的数量B组能力进阶C组思维拔高拓展链接中考1.（25-26八年级下·浙江衢州·期末）五位同学的实心球成绩分别为6.8，6.0，5.6，5.0，7.2（单位：m），老师计划将他们按成绩高低分成两组，分别计算出组内离差平方和（结果精确到0.01），如下表：分组方案第1组第2组组内离差平方和方案①5.05.6，6.0，6.8，7.2a方案②5.0，5.66.0，6.8，7.20.93方案③5.0，5.6，6.06.8，7.20.59方案④5.0，5.6，6.0，6.87.21.71想让组内同学的水平最接近，上述分组最合理的是（

）A．方案① B．方案② C．方案③ D．方案④【答案】C【难度】0.65【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用【分析】要让组内同学水平最接近，即组内数据波动最小，组内离差平方和越小，数据波动越小，先计算方案①的离差平方和，再比较四个方案的离差平方和，最小的即为最合理分组．【详解】解：∵方案①第一组只有1个数据，离差平方和为0，第二组数据为5.6,6.0,6.8,7.2，第二组的平均数x=∴第二组的离差平方和为(5.6-6.4)∴a=0+1.60=1.60，比较四个方案的组内离差平方和得0.59<0.93<1.60<1.71，∵组内离差平方和越小，组内同学成绩越接近，水平越一致，∴方案③分组最合理．2.（25-26八年级下·北京东城·期末）某年5个城市的人均生活用电量如下表所示：城市ABCDE人均生活用电量／（kW·788812847886910根据人均生活用电量的组内离差平方和最小的原则，把这5个城市分为两组．现有四种分组方法，并分别算出四种分法的组内离差平方和，如下表所示．正确的分组方法是（

）分组组内离差平方和第一种：{A}和{B,C,D,E}5592.75第二种：{A,B}和{C,D,E}2310.00第三种：{A,B,C}和{D,E}2048.67第四种：{A,B,C,D}和{E}5470.75A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．第四种【答案】C【难度】0.65【知识点】求离差平方和【分析】只需比较题目给出的四种分组的组内离差平方和大小，选取最小值对应的分组即可．【详解】解：∵四种分组的组内离差平方和分别为5592.75，2310.00，2048.67，5470.75，∴比较大小得2048.67<2310.00<5470.75<5592.75，∵分组原则为组内离差平方和最小，∴第三种分组符合要求．3.（25-26八年级下·河南周口·期末）一组数据的方差计算公式为s2A．平均数是7 B．中位数是6.5 C．离差平方和是6 D．方差是1【答案】D【难度】0.65【知识点】求一组数据的平均数、求方差、求离差平方和【分析】根据方差计算公式可得到原数据，再依次计算平均数、中位数、离差平方和、方差，即可判断错误选项．【详解】解：∵方差公式为s2∴由题中公式可得这组数据为6,6,7,9，数据个数n=4，依次计算各选项：A.平均数x=6+6+7+94B.将数据从小到大排序为6,6,7,9，中位数为6+72=6.5，选项C.离差平方和为(6-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(9-7)4.（2024·云南昆明·模拟预测）某校共有名学生．为了解学生的立定跳远成绩分布情况，随机抽取名学生的立定跳远成绩，画出如图所示条形统计图，根据所学的统计知识可估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是．【答案】240【分析】本题考查了条形统计图，样本估计总体，用1000乘以成绩优秀的学生人数占比即可求解，掌握样本估计总体的计算方法是解题的关键．【详解】解：1000×∴估计该校立定跳远成绩优秀的学生人数是240，故答案为：240．5.小明为了解本社区居民最喜欢的支付方式，对本社区不同年龄层次的居民进行问卷调查（只选一种方式），并将调查数据整理后绘成两幅不完整的统计图.该社区中岁的居民约有人，请根据图中信息估算其中岁的居民中最喜欢微信支付方式的人数约为人.【答案】1620【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，根据A组人数和百分比求出问卷调查的居民人数，再求出问卷调查的居民最喜欢微信支付方式的人数，进而可得问卷调查中41~60岁的居民最喜欢微信支付方式的居民人数，再用9000乘以其占比即可求解，看懂统计图是解题的关键．【详解】解：问卷调查的居民人数为90+∴问卷调查的居民最喜欢微信支付方式的居民人数为500×∴问卷调查中41~60岁的居民最喜欢微信支付方式的居民人数为200-∴估算其中41~60岁的居民中最喜欢微信支付方式的人数约为9000×故答案为：1620．6.（25-26八年级下·湖北襄阳·期末）某地4家企业去年的产值（单位：亿元）分别为7，8，10，11．请按照组内离差平方和最小的原则，把这4家企业去年的产值分为两组，则组内离差平方和的最小值为__________．【答案】1【难度】0.45【知识点】求离差平方和【分析】分组分为两类：1个数据一组、3个数据一组，2个数据一组、2个数据一组，组内离差平方和为两组各自计算每个数据与本组平均数的差的平方和，再相加得到总和，比较所有结果得到最小值．【详解】解：①计算1个和3个分组的组内离差平方和：分组7,8,10,11S=7-7分组8,7,10,11S=8-8分组10,7,8,11S=10-10分组11,7,8,10S=11-11②计算2个和2个分组的组内离差平方和：分组7,8,10,11：平均数分别为：S=7-7.5分组7,10,8,11：平均数分别为：S=7-8.5分组7,11,8,10：平均数分别为：S=7-9∴组内离差平方和的最小值是1．7.（25-26八年级下·全国·课后作业）某年6个家庭的年用水量如下表所示：家庭ABCDEF年用水量/t105787511590110(1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？(2)说明分组的实际意义．【答案】(1)75,78,90和105,110,115(2)将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性【难度】0.4【知识点】求离差平方和、离差平方和的应用【分析】将数据从小到大排序后，为使组内离差平方和最小，分组在排序后数据上必然是连续的。故只需考虑将排序后的数据分成两个连续组的5种情况，分别计算其组内离差平方和．【详解】（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115．分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示：分组第一组离差平方和第二组离差平方和组内离差平方和{75}和{78，90，105，110，115}0933.2933.2{75，78}和{90，105，110，115}4.5350354.5{75，78，90}和{105，110，115}12650176{75，78，90，105}和{110，115}55812.5570.5{75，78，90，105，110}和{115}981.20981.2由表可知，当分组为75,78,90和105,110,115时，组内离差平方和最小．（2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性．8．（25-26八年级下·全国·课后作业）现有一组数据：8，12，16，20，24，28．若将其分为2组，试根据组内离差平方和最小的原则，确定最优分组方式，并计算分组后的总组内离差平方和．【答案】最优分组为8,12,16和20,24,28，总组内离差平方和为64．【难度】0.4【知识点】求离差平方和【分析】本题主要考查了组内离差平方和的定义，离差平方和是指每个数据点与组平均数的差的平方和．当数据分为两组后，组内离差平方和应计算每组内部的离差平方和，再将两组的结果相加，以反映整体的组内变异．先将数据进行不同的分组，再根据组内离差平方和的定义即可求解．【详解】解：分组方式1：前3个与后3个数据，即8,12,16和20,24,28．第一组：x=离差平方和=8-12第二组：x=离差平方和=20-24总离差平方和：32+32=64．分组方式2：奇偶位置分组，即8,16,24和12,20,28．第一组：x=离差平方和=8-16第二组：x=离差平方和=12-20总离差平方和：128+128=256．分组方式3：小值与大值分组，即8,12,20,24和16,28．第一组：x=离差平方和=8-16第二组：x=16+282总离差平方和：160+72=232．最优分组为8,12,16和20,24,28，总组内离差平方和为64．9.（25-26八年级下·贵州遵义·期末）6月5日是世界环境日，为增强学生的环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，知识竞赛满分100分．现从七、八年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行统计分析，成绩用x（单位：分）表示，得到如下信息：信息1：七年级20名学生的竞赛成绩是：58，64，67，70，72，74，76，76，77，78，78，79，80，80，80，82，85，88，93，95．信息2：将八年级20名学生的竞赛成绩分为五组（A：50≤x<60，B：60≤x<70，C：70≤x<80，D：80≤x<90，E：90≤x<100），其中D组的竞赛成绩为：80，80，81，81，81，86，88，88，89．

信息3：七、八年级统计分析表年级平均数（分）中位数（分）众数（分）方差七年级77.678aS八年级79b81S根据以上信息，解答下列问题：(1)填空：a=__________；b=__________；S12____________S22（填“>”“<”或(2)若八年级共有400名学生参加本次知识竞赛，请估计八年级竞赛成绩在80分以上（含80分）的人数；(3)请结合信息3，对本次七、八年级的环保知识竞赛成绩进行评价，并说明理由．（一条即可）【答案】(1)80；80；<(2)220名(3)因为八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数均高于七年级的平均数、中位数、众数，所以整体上看八年级学生竞赛成绩较好．【难度】0.62【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求一组数据的平均数、运用中位数做决策、求众数、运用众数做决策、画箱线图【分析】（1）根据中位数，众数，箱线图的意义解答即可；（2）用400乘以竞赛成绩在80分以上（含80分）的人数的占比，即可求解；（3）根据平均数、中位数、众数的意义，即可求解．【详解】（1）解：∵七年级20名学生的竞赛成绩中80分出现的次数最多，∴a=80；根据题意得：把八年级20名学生的竞赛成绩从小到大排列后位于第10位和第11位的均为80分，∴b=80+80观察七，八年级的箱线图可得八年级的箱线图上下宽度更大，∴八年级20名学生的竞赛成绩离散程度越大，∴S1（2）解：400×9+2即八年级竞赛成绩在80分以上（含80分）的人数220名；（3）因为八年级学生竞赛成绩的平均数、中位数、众数均高于七年级的平均数、中位数、众数，所以整体上看八年级学生竞赛成绩较好．．1．（25-26八年级下·北京·期末）在引体向上测试中，5名同学完成的个数分别为13，18，7，9，11．要使个数相差较小的同学分在一组，下表是4种分法的各组离差平方和（其中有一处数据丢失）：分组第一组离差平方和第二组离差平方和第1个间隔044.75第2个间隔226第3个间隔a12.5第4个间隔200根据组内离差平方和最小原则，把这5名同学引体向上的个数分为两组，下列分组正确的是（

）A．7和9,11,13,18 B．7,9和11,13,18C．7,9,11和13,18 D．7,9,11,13和18【答案】D【难度】0.65【知识点】求离差平方和【分析】先将5个数据从小到大排序，根据间隔对应得到各选项分组，计算每组的总组内离差平方和，根据组内离差平方和最小原则选出正确分组．【详解】解：首先将5名同学完成个数从小到大排序，得7,9,11,13,18，四个间隔分别对应四个选项的分组，计算总组内离差平方和：第1个间隔对应选项A，总组内离差平方和为0+44.75=44.75；第2个间隔对应选项B，总组内离差平方和为2+26=28；第3个间隔对应选项C，第一组为7,9,11，∵平均数x=∴第一组离差平方和a=7-9总组内离差平方和为8+12.5=20.5；第4个间隔对应选项D，总组内离差平方和为20+0=20；比较得20<20.5<28<44.75，选项D的组内离差平方和最小，符合要求．2．（25-26八年级下·云南文山·期末）在八年级“速算小达人”口算挑战赛中，甲、乙两位同学脱颖而出．为选出一名同学参加市级比赛，学校组织两人进行10次模拟测试，每次满分25分，将成绩整理分析如下：甲同学（10次成绩）：18，19，18，20，19，18，20，19，18，21乙同学（10次成绩）：16，21，16，21，18，22，16，22，14，24甲、乙同学的测试成绩统计表：项目学生平均数第二四分位数众数方差甲1919a1乙19b1610.4根据以上数据分析信息，解答下列问题：(1)如果要从中选一个成绩稳定的同学去市里参加比赛，请问选___________更合适（填“甲”或“乙”）；(2)甲同学成绩的众数a=___________，乙同学成绩的第二四分位数b=__________(3)若规定“单次得分20分及以上”为达标，请根据样本数据估算：如果两人各进行50次训练，甲同学大约有多少次能达标？【答案】(1)甲(2)18，19.5(3)甲同学大约有15次能达标【难度】0.55【知识点】由样本所在的频率区间估计总体的数量、根据方差判断稳定性、求四分位数【分析】（1）根据方差的意义求解即可；（2）先把乙同学的成绩从小到大排，再根据四分位数的定义求解即可；（3）先求出甲同学10次成绩中有多少次得分在20分及以上，再运用总训练次数×达标频率即可求解．【详解】（1）解：∵甲的方差为1，乙的方差为10.4，又∵1<10.4，方差越小越稳定，∴选甲更合适；（2）解：∵甲同学10次成绩中，18分出现的次数最多，共4次，∴众数a=18；方法一：∵第二四分位数即中位数，∴对乙同学的成绩进行从小到大排序，14，16，16，16，18，21，21，22，22，24，∴共10个数据，中位数取第5、第6个数的平均值，第二四分位数b=18+21方法二：对乙同学的成绩进行从小到大排序，14，16，16，16，18，21，21，22，22，24，∵i=10×50%∴取第5、第6个数的平均值，第二四分位数b=（3）解：∵甲同学10次成绩中，单次得分20分及以上有3次，∴50次训练中达标的数量：50×3答：50次训练，甲同学大约有15次能达标．．1．（2024·上海·中考真题）博物馆为展品准备了人工讲解、语音播报和增强三种讲解方式，博物馆共回收有效问卷张，其中人没有讲解需求，剩余人中需求情况如图所示（一人可以选择多种），那么在总共万人的参观中，需要增强讲解的人数约有人．

【答案】2000【分析】本题考查条形统计图及用样本的某种“率”估计总体的某种“率”，正确得出需要AR增强讲解的人数占有需求讲解的人数的百分比是解题关键．先求出需求讲解的人数占有效问卷的百分比，再根据条形统计图求出需要AR增强讲解的人数占有需