23.3 四分位数与箱线图＋23.4数据的方差（能力提升）（解析版）

.3四分位数与箱线图+23.4数据的方差目录TOC\o"1-3"\n\h\z\u分层作业A组巩固过关题型01求四分位数题型02箱线图题型03求方差题型04利用方差求未知数的值题型05利用方差做决策B组能力进阶C组思维拔高拓展链接中考1.（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知A、B两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分：120分），则下列说法错误的是（）A．这次考试A、B两个班都没有人考满分B．A班的最低分比B班的最低分低C．A班成绩的上四分位数与B班成绩的中位数相同D．A班的成绩比B班的成绩更集中【答案】D【难度】0.65【知识点】求中位数、求四分位数【分析】依托箱线图读取最值、四分位数、箱体宽窄对应的统计含义，逐项判断四个命题的正误，选出描述有误的选项．【详解】解：选项A：A班、B班成绩的最大值都小于120分，无人考满分，不符合题意；​选项B：A班箱线图最下端（最小值）位置低于B班，A班最低分更低，不符合题意；选项C：A班箱体靠上的线是A班上四分位数，B班箱体中间的线是B班中位数，二者纵向刻度一致，数值相等，不符合题意；​选项D：B班箱体宽度更小，四分位距更小，成绩分布更集中，符合题意．2.（25-26八年级下·山西临汾·期末）如图所示，某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图，下列说法正确的是（

）A．甲班有学生的分数低于60分B．三个班级中，乙班分数的上四分位数最大C．三个班级中，甲班分数的方差最小D．丙班得分低于80的学生人数多于得分高于80的学生人数【答案】C【难度】0.65【知识点】求中位数、求四分位数【分析】根据甲、乙、丙三个班的箱线图逐项判断即可．【详解】解：A选项：由箱线图可知，甲班的最小值高于60，∴甲班没有低于60分的学生，故A选项错误；B选项：由箱线图可知，丙班的上四分位数最大是90分，甲班和乙班的上四分位数均低于90分，故B选项错误；C选项：由箱线图可知，甲班的箱体高度最小，说明甲班成绩较稳定，波动较小，∴甲班成绩的方差最小，故C选项正确；D选项：由箱线图可知，丙班的中位数高于80，说明丙班得分高于80的学生超过了一半，∴丙班得分低于80的学生人数少于得分高于80的学生人数，故D选项错误．3.（25-26八年级下·贵州遵义·期末）某市数字经济产业园对8台云计算服务器算力效率打分（分值0-10分，数值越高算力越强），统计数值如表：服务器编号12345678算力效率分值/分5.25.66.06.46.77.17.57.8这组服务器算力效率分值的第一四分位数为（

）A．5.4 B．5.8 C．6.2 D．6.4【答案】B【难度】0.65【知识点】求四分位数【分析】根据第一四分位数的定义求解即可．【详解】解：把这组服务器算力效率分值按照从低到高排列为5.2,5.6,6.0,6.4,6.7,7.1,7.5,7.8，方法一：∵8×1∴这组服务器算力效率分值的第一四分位数为排序后的第2个数和第三个数的平均数，即为5.6+6.02方法二：取排序后的前4个数：5.2,5.6,6.0,6.4，这4个数的中位数为5.6+6.02∴这组服务器算力效率分值的第一四分位数为5.8；综上所述，这组服务器算力效率分值的第一四分位数为5.8．4.（25-26八年级下·福建厦门·期末）为考察某种农作物的长势，研究人员分别抽取了10株苗，测得它们的高度（单位：厘米）如下：8，8，8，9，10，11，12，12，13，14．这组数据的第一四分位数是_______，第三四分位数是_________．【答案】812【难度】0.65【知识点】求四分位数【分析】四分位数是将数据从小到大排列后，分成四等份的三个分割点数值，先将数据从小到大排列，方法一：根据第一四分位数为前5个数据的中位数，第三四分位数为后5个数据的中位数，求解；方法二根据百分位数计算规则确定分位数位置．【详解】解：方法一：∵数据已经从小到大排列为8，8，8，9，10，11，12，12，13，14，n=10，第一四分位数为前5个数据的中位数，∴第一四分位数为8，第三四分位数为后5个数据的中位数，∴第三四分位数为12；方法二：∵数据已经从小到大排列为8，8，8，9，10，11，12，12，13，14，n=10，∵i=10×25%=2.5，向上取整为∴第一四分位数为第3个数据为8，∵i=10×75%=7.5，向上取整为∴第三四分位数为第8个数据为12．5.（25-26八年级下·四川内江·期末）若一组数据2，4，x，1，6的平均数为3，则这组数据的方差为_______；【答案】3.2【难度】0.65【知识点】已知平均数求未知数据的值、求方差【分析】先求出未知的数据x，再根据方差计算公式计算即可．【详解】解：∵一组数据2，4，x，1，6的平均数为3，∴x=3×5-2-4-1-6=2，∴方差s26.（25-26九年级下·江苏盐城·期末）若一组数据0，1，2，3，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为______．【答案】-1或4【难度】0.65【知识点】利用方差求未知数据的值【分析】本题考查方差的性质，一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，据此判断第一组数据应为连续整数，即可确定x的可能值．【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是5个连续整数，方差为固定值，又∵一组数据同时加上或减去同一个常数，方差不变，∴第一组数据0，1，2，3，x应为5个连续整数，当x=-1时，数据为-1，0，1，2，3，是5个连续整数，符合条件，当x=4时，数据为0，1，2，3，4，是5个连续整数，符合条件，∴x的值为-1或4．7.（25-26八年级下·福建福州·期末）气温的高低变化影响着我们日常生活的方方面面．为了了解气温的变化情况，小榕同学通过网络信息搜取了两个城市相同月份中旬每天的最高气温（单位：°CA市：26，25，29，32，23，30，30，24，31，31B市：31，29，32，25，28，28，25，31，31，30整理后得到部分统计量如下：城市平均数中位数A市a29.5B市29b根据以上的信息，解答下列问题：(1)填空：a=______，b=______．(2)分别计算A市，B市的四分位数，并在图中画出两市的箱线图．(3)根据（2）中的箱线图，分析并对比这两个城市该月中旬的天气特点．（至少说出2种）【答案】(1)28.1，29.5(2)A市的第一四分位数为25，第三四分位数为31；B市的第一四分位数为28，第三四分位数为31；(3)①气温稳定性：A市最高气温的波动范围比B市更大，A市最低温更低，气温极差为9°C大于B市的7°C，B市气温整体更稳定；②整体气温水平：B市平均气温高于A市，低温天数更少，整体气温比A市偏高，另外，两市气温中位数相同，说明该月中旬都有一半天数的最高气温在【难度】0.65【知识点】求一组数据的平均数、画箱线图、求中位数、求四分位数【分析】（1）根据平均数公式、中位数的定义解答即可；（2）根据四分位数的定义、箱线图的画法即可得；（3）从气温稳定性和整体气温水平分析即可．【详解】（1）解：a=23+24+25+26+29+30+30+31+31+32将B市的数据从小到大进行排序为25，25，28，28，29，30，31，31，31，32，则中位数b=29+30（2）解：解法一：将A市的数据从小到大进行排序为23，24，25，26，29，30，30，31，31，32，∴A市的第一四分位数为前5个数据的中位数，即为25；第三四分位数为后5个数据的中位数，即为31；将B市的数据从小到大进行排序为25，25，28，28，29，30，31，31，31，32，∴B市的第一四分位数为前5个数据的中位数，即为28；第三四分位数为后5个数据的中位数，即为31；结合最小值、最大值和中位数，在图中画出两市的箱线图如下：略．解法二：将A市的数据从小到大进行排序为23，24，25，26，29，30，30，31，31，32，∵10×25%=2.5，∴A市的第一四分位数为第3个数，即为25；第三四分位数为第8个数，即为31；将B市的数据从小到大进行排序为25，25，28，28，29，30，31，31，31，32，∵10×25%=2.5，∴B市的第一四分位数为第3个数，即为28；第三四分位数为第8个数，即为31；结合最小值、最大值和中位数，在图中画出两市的箱线图如下：略．（3）解：天气特点：①气温稳定性：A市最高气温的波动范围比B市更大，A市最低温更低，气温极差为9°C大于B市的7°C，②整体气温水平：B市平均气温高于A市，低温天数更少，整体气温比A市偏高，另外，两市气温中位数相同，说明该月中旬都有一半天数的最高气温在29.5°C8．（25-26八年级下·福建福州·期末）为了解学生体质健康测试项目中的立定跳远成绩情况，某校对八年级男生的立定跳远成绩进行调查与分析，过程如下：【收集数据】从八年级男生中随机抽取40名学生，测试他们的立定跳远成绩（单位：cm），数据收集如下：163，165，171，176，182，187，190，194，199，204，207，210，213，214，215，216，217，217，218，219，220，220，221，222，223，225，226，227，229，230，232，233，235，236，237，238，240，244，247，250．【整理与描述数据】按成绩等级进行分组，绘制了如下的统计图表：各组学生成绩的频数分布及平均数表等级组别成绩x人数（频数）平均数优秀x≥22614236良好210≤x<22615218及格170≤x<2109190不及格x<1702164(1)这40名学生成绩中，最大值与最小值的差为__________，优良等级人数所占的百分比为__________；并计算成绩的四分位数（Q1，Q2，(2)计算这40名八年级男生立定跳远成绩的平均数x（结果保留一位小数）；【推断结论】(3)请结合以上的样本数据，估计这所学校全体八年级男生立定跳远成绩的特点．【答案】(1)87，72.5%，Q1=205.5，(2)215.3(3)基于以上样本数据，估计这所学校全体八年级男生立定跳远成绩整体良好，中间50%学生成绩相对集中；受低分段成绩影响，最高分与最低分差距【难度】0.62【知识点】求一组数据的平均数、求四分位数【分析】（1）根据给出的数据求最大值与最小值的差和优良等级人数所占的百分比；再根据两种方法分别计算四分位数即可；（2）根据表格四组平均数和对应的数量计算全部的平均数即可；（3）根据计算的平均数和四分位数分析即可．【详解】（1）解：这40名学生成绩中，最大值与最小值的差为250-163=87，优良等级人数所占的百分比为14+1540方法一（四分位数取百分比）：成绩的下四分位数：40×25%=10，则中位数：40×50%=20，则上四分位数：40×75%=30，则方法二（四分位数取中位数）:从小到大排列前半部分为前20个数，第10个和第11个数分别为204和207，则Q1全部40个数从小到大排列，第20个和第21个数分别为219和220，则Q2从小到大排列后半部分为后20个数，第10个和第11个数分别为230和232，则Q3（2）解：平均数为：x=（3）基于以上样本数据，估计这所学校全体八年级男生立定跳远成绩整体良好，中间50%学生成绩相对集中；受低分段成绩影响，最高分与最低分差距9.（25-26八年级下·河南安阳·期末）安阳殷墟是甲骨文的发现地，为让学生了解中华文字起源历史，某学校举办了甲骨文与殷墟考古文化知识竞赛，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．90≤x≤100；B．80≤x<90；C．70≤x<80；D．60≤x<70），下面给出了部分信息：七年级20名学生竞赛成绩在B组中的数据是：83，84，84，84，85，87，88．八年级20名学生竞赛成绩是：63，63，65，71，72，72，75，78，81，82，84，86，86，86，89，95，97，98，98，99．七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表年级七年级八年级平均数8282中位数ac方差278．9134．7根据以上数据分析信息，解答下列问题：(1)上述图表中a=________，b=________，c=________，m=________．(2)如果要从中选一个成绩稳定的年级去参观殷墟博物馆，请问选________年级更合适（填“七”或“八”）．(3)该校七年级有学生700人，八年级有学生740人．请估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有多少？【答案】(1)84；72；83；25(2)八(3)395人【难度】0.62【知识点】求中位数、由样本所占百分比估计总体的数量、由扇形统计图求某项的百分比、求四分位数、根据方差判断稳定性【分析】（1）利用扇形统计图即可求出A组和D组的人数，结合B组的人数，求出C组的人数，再利用中位数定义即可求出a和c的值，求出第一四分位数即可确定b，最后求得C组所占的百分数即可求得m的值；（2）根据方差进行分析即可解答；（3）利用样本估计总体进行求解即可．【详解】（1）解：七年级20名学生竞赛成绩在A组有20×30%=6（人），D组中有根据题意可得B组中有7人，故C组中有20-6-7-2=5人，∵七年级竞赛成绩的中位数a是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是84，84，∴a=84+84∵八年级竞赛成绩的中位数c是数据从小到大排列后的第10和11个数据的平均数，且数据从小到大排列后的第10和11个数据是82，84，∴c=82+84由八年级所抽取学生成绩的箱线图可知：b是第一四分位数，即八年级竞赛成绩从小到大排列前10个数据的中位数，即第5个数据72，故b=72．∵七年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据共5个，∴m%=5（2）解：八年级更合适，理由：因为该校八年级的方差134.7小于七年级方差278.9，成绩比七年级稳定，故八年级更合适；（3）解：700×30%答：估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩不低于90分的学生人数共有395人．．1．（25-26八年级下·广西贵港·期末）有一组被墨水污染的数据（均为整数）：4，17，7，14，★，★，★，16，10，4，4，11，其箱线图如图，下列说法正确的个数是（

）①这组数据最大值与最小值的差为15；②这组数据的中位数是11；③这组数据的第三四分位数是15；④被墨水污染的数据中必有一个数是3，一个数是18．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【难度】0.4【知识点】画箱线图、求中位数、求四分位数【分析】理解箱线图中最小值、第一四分位数、中位数、第三四分位数、最大值的意义，结合已知数据逐一分析选项．【详解】解：由箱线图可知，这组数据最大值与最小值的差为18-3=15；故①符合题意；这组数据的第一四分位数为4，中位数为10.5，第三四分位数为15，故②不符合题意；③符合题意；由箱线图可知，这组数据的最小值为3，最大值为18，而已知的数据中没有这两个数，所以被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，④符合题意；2．（25-26八年级下·山东菏泽·阶段检测）有一组被墨水污染的数据：4，17，7，15，★，★，18，15，10，4，4，11，这组数据的箱线图如图所示，下列说法正确的是（

）A．这组数据的第一四分位数是3B．这组数据的第三四分位数是18C．这组数据的中位数是10D．被墨水污染的数据一个数是3，另一个数可能是13【答案】D【难度】0.45【知识点】画箱线图、求中位数、求四分位数【详解】解：已知数据的最小值为4，而箱线图左端点（最小值）为3，因此两个被污染的数中必有一个是3，设另一个被污染的数为y，将所有数据从小到大排序后（y需满足箱线图的四分位数特征）：总数据量n=12，中位数为第6、7个数的平均值，对应箱线图的10.5，C错误，且第6个数为10、第7个数为11，因此y≥11，第一四分位数（Q1）是前6个数的中位数（第3、4个数的平均值），前6个数为3,4,4,4,7,10，因此Q1=第三四分位数（Q3）是后6个数的中位数（第9、10个数的平均），对应箱线图的15，则B错误，且第9、10个数均为15，因此y≤15综上，另一个被污染的数y的范围是11≤y≤15，∵11≤13≤15，∴D3．（25-26八年级下·北京大兴·期末）有一组整数数据：4，17，8，14，12，a，18，3，5，5，4，11，12，其箱线图如图所示，则这一组数据的第一四分位数是________，数据a的值为________．【答案】4.516【难度】0.45【知识点】画箱线图、求四分位数【分析】根据箱线图读取最小值、最大值、中位数、第一四分位数和第三四分位数.统计数据的总个数，确定中位数、四分位数在排序后数据中的位置.结合已知数据排序，利用中位数确定a的取值范围，利用第三四分位数的数值建立方程求解a，并计算第一四分位数．【详解】解：这组数据共13个整数，将已知数据从小到大排序：3,4,4,5,5,8,11,12,12,14,17,18，由箱线图可知，中位数为11，第一四分位数为4.5，第三四分位数为15．∵数据总数为13，∴中位数是第7个数，第一四分位数是第3个数和第4个数的平均数，第三四分位数是第10个数和第11个数的平均数．∵中位数为11，且已知数据中小于11的有6个，∴a≥11．∵第一四分位数为4.5，即x3已知前4个数为3,4,4,5（当a≥5时），4+52∵第三四分位数为15，即x10∴x10大于等于11的数据有11,12,12,14,17,18和a．排序后第7个数为11，则第8至13个数为12,12,14,17,18,a的排序．若14≤a≤17，则第10个数为14，第11个数为a．∴14+a=30，解得a=16．经检验，a=16符合题意．故答案为4.5，16．4.（25-26八年级下·山西朔州·期末）为了更好地落实教育部“中小学生每天校内体育活动时间不少于2小时”的要求，某中学八年级开展了“每日运动打卡”主题活动，并将立定跳远作为重点提升项目．为检验一个月打卡的活动效果，学校从八年级学生中随机抽取部分学生，记录了他们在活动前和活动后的立定跳远成绩（单位：cm），分性别进行统计分析，其中20名男生的成绩分析如下．【数据整理】20名男生活动前立定跳远的成绩成绩x140≤x<150150≤x<160160≤x<170170≤x<180人数（频数）1214成绩x180≤x<190190≤x<200200≤x<210210≤x<220人数（频数）4521说明：①活动前在180≤x<190组内的成绩分别为181，182，186，188．②活动后在200≤x<210组内的成绩分别为200，203，203，其他各组内数据均无重复．【数据分析】平均数/众数/中位数/方差活动前a199c385.82活动后204b203349.89【问题解决】请根据以上信息，回答下列问题：(1)a=__________，b=__________，c=__________；(2)这20名男生活动后立定跳远成绩的第三四分位数在_______组中；（填选项）A．190≤x<200

B．200≤x<210C．210≤x<220

D．220≤x<230(3)请从上面数据分析表格中选择两种统计量，对这20名男生活动前、后立定跳远的成绩进行分析和评价．【答案】(1)183；203；184；(2)C；(3)从平均数看，这20名男生活动前和活动后立定跳远成绩的平均数分别为183cm，204cm，说明这20名男生活动后立定跳远成绩的平均数大于活动前立定跳远成绩的平均数，整体水平明显提升；从众数看，这20名男生活动前立定跳远成绩的众数为199cm，说明这20名男生活动前立定跳远成绩为199cm的人数最多，活动后立定跳远成绩的众数为203cm，说明这20【难度】0.57【知识点】求一组数据的平均数、求众数、利用平均数做决策、求中位数、运用众数做决策、求四分位数【分析】（1）根据平均数、中位数、众数的计算方法计算即可；（2）根据第三四分位数的求法求解即可；（3）根据平均数和众数的性质进行分析和评价即可．【详解】（1）解：由题意得，a=145×1+155×2+165×1+175×4+185×4+195×5+205×2+215×1由题意，活动后200≤x<210组内成绩为200，203，203，其中203出现2次，又∵其他各组内数据均无重复，∴其余所有成绩都只出现1次，∴出现次数最多的数是203，即众数b=203；由题意得，中位数是第10和第11个数据的平均数，且第9~12个数据都在180≤x<190组内，该组成绩从小到大依次为181，182，186，188，∴第10个数据为182，第11个数据为186，∴c=182+186（2）解：解法一：对于n个有序数据，第三四分位数（上四分位数）的位置为3n+1∵n=20，∴3×214∴第三四分位数为第15个数据和第16个数据的加权平均数，由统计图可得，第15个数据和16个数据都落在210≤x<220组；解法二：由题意得，将20个数据从小到大排列，中位数是第10和第11个数据的平均数，∴前半部分为：第1~10个数据，后半部分为：第11~20个数据，∵第三四分位数是后半部分数据的中位数，∴第三四分位数对应的第15个和第16个数据的平均数，由统计图可得，第15个数据和16个数据都落在210≤x<220组；（3）从平均数看，这20名男生活动前和活动后立定跳远成绩的平均数分别为183cm，204cm，说明这20名男生活动后立定跳远成绩的平均数大于活动前立定跳远成绩的平均数，整体水平明显提升；从众数看，这20名男生活动前立定跳远成绩的众数为199cm，说明这20名男生活动前立定跳远成绩为199cm的人数最多，活动后立定跳远成绩的众数为203cm，说明这20名男生活动后立定跳远成绩为1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）小庆、小铁、小娜、小萌四名同学均从，，，，，这六个数字中选出四个数字，玩猜数游戏．下列选项中，能确定该同学选出的四个数字含有1的是（

）A．小庆选出四个数字的方差等于 B．小铁选出四个数字的方差等于C．小娜选出四个数字的平均数等于 D．小萌选出四个数字的极差等于【答案】A【分析】本题考查了方差，平均数，极差的定义，掌握相关的知识是解题的关键．根据方差，平均数，极差的定义逐一判断即可．【详解】解：A、假设选出的数据没有1，则选出的数据为2，3，5，6时，方差最大，此时x=2+3+5+6÷4=4，方差为s2B、当该同