专题02 利用一元二次方程的解求值（举一反三）（解析版）

专题02利用一元二次方程的解求值（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1逢解必带-定义法】 1【题型2逢解必带-整体法】 3【题型3逢解必带-消参法】 5【题型4逢解必带-降次法】 7【题型5逢解必带-换元法】 9【题型6含参定根-与根无关】 11【题型7含参定根-比较系数】 12【题型8公共根-设根消参】 13【题型1逢解必带-定义法】【例1】（2026·江西上饶·三模）已知关于x的一元二次方程a-2x2-3x+a2-4=0有一个根为x=0，则a=______．【答案】-2【分析】根据一元二次方程的概念得到a-2≠0，再把x=0代入计算，由此得到a的值．【详解】解：关于x的一元二次方程a-2x2-3x+∴a-2≠0，a2∴a1=-2,a∴a=-2．【变式1-1】（2026·四川宜宾·一模）已知关于x的一元二次方程a+1x2-2x+a2+a=0有一个根为【答案】0【分析】根据题意得到a+1≠0且a2+a=0，即可求出【详解】解：∵关于x的一元二次方程a+1x2-2x+∴a+1≠0且a2解得a=0．【变式1-2】（25-26九年级上·重庆·期中）已知x=-1是一元二次方程k-3x2+k2-4A．3 B．-3 C．-3或3 D．-2或2【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，把x=-1代入方程，求出k的值，然后结合一元二次方程定义求解即可．【详解】解：∵x=-1是一元二次方程k-3x∴k-3⋅解得k=±3，∵方程k-3x∴k-3≠0，解得k≠3∴k=-3故选：B．【变式1-3】（25-26九年级下·江西九江·期中）已知一元二次方程m-1x2+2m+1x+m=0A．-1 B．2 C．1 D．0【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根x=1代入原方程求出m的值，再将m代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件.【详解】解：∵一元二次方程m-1x2∴将x=1代入原方程得m-1⋅化简得m-1+2m+1+m=0，即4m=0，解得m=0.∵原方程是一元二次方程，∴二次项系数m-1≠0，m=0满足该条件，符合要求.将m=0代入原方程，得-x提取公因式得x-x+1=0解得x∴方程的另一个根是0.故选：D.【题型2逢解必带-整体法】【例2】（24-25九年级上·湖南衡阳·月考）已知：a是方程x2+2023x-1=0的一个根，求代数式aa+1【答案】1【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值，一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据一元二次方程的解得出a2+2023a=1，然后对代数式去括号，合并同类项，最后把【详解】解：∵a是方程x2∴a∴原式=a==a=a-a+1=1．故答案为：1【变式2-1】（25-26九年级上·河北保定·期末）若x=a为方程x2-7x+6=0的一个解，则代数式2014-2aA．2007 B．2019 C．2025 D．2026【答案】D【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．将x=a代入方程得到a2-7a=-6，代入所求代数式【详解】解：∵x=a为方程x2∴a2-7a+6=0，即∴2014-2=2014-2=2014-2×=2014+12=2026．故选：D．【变式2-2】（25-26九年级上·重庆·期末）若a，b是方程x2+x-4=0的两个实数根，则a2【答案】-17【分析】本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2=-a+4、a+b=-1，根据一元二次方程的解得出a2+3a-3=2a+1，b2+3b-3=2b+1，进而求出a2+3a-3b【详解】解：∵a是方程x2+x-4=0∴a2+a-4=0，即∴a2同理：b2∴a2∵a+b=-1，ab=-4，∴原式=4×-4故答案为：-17．【变式2-3】（25-26九年级上·广东·期中）已知a是方程x2-2026x+1=0的一个根，则A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】C【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把x=a代入x2-2026x+1=0，得a2-2026【详解】解：∵a是方程x2∴a即a2∴a2则a=202=a-1+===2025故选：C．【题型3逢解必带-消参法】【例3】已知条件方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根分别是2，-3，则【答案】-【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为∴-3+2=-b∴b=a,c=-6a,∴a+b故答案为：-1【变式3-1】（25-26九年级上·贵州铜仁·月考）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为-2，1，则【答案】-【分析】根据一元二次方程根与系数关系，结合关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为-2，1得到【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为∴-2+1=-b∴b故答案为：-1【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系，熟记关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根分别为【变式3-2】已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根为x1,x2,若满足x1+x2=2，且x1x2=-3，求代数式【答案】1【详解】x1+x2=2=-bx1x2=-3=ca【变式3-3】（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知a，b，c是非零实数，关于x的一元二次方程ax2+bx+c4=0，cx【答案】2或-1【分析】设公共解为t，根据一元二次方程根的定义得到at2+bt+c4=0，ct【详解】解：设公共解为t，则at2+bt+c4三式相加得a+b+ct即a+b+ct因为t2所以a+b+c=0或t=-1当a+b+c=0时，c=-a-b，∴原式=c=a=2；当t=-12时，14∴c=2b-a=2a-b，∴a=b，∴原式=4=3=-=-1，综上，代数式c2ab-ab故答案为：2或-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，理解方程解的定义是解题的关键．【题型4逢解必带-降次法】【例4】（25-26九年级上·山东德州·期末）若a是方程x2-x-1=0的一个根，则-aA．2025 B．-2025 C．2026 D．-2026【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的根，以及代数式求值，利用方程根的性质，将a2、a【详解】解：∵a是方程x2∴a2-a-1=0，即∴a3∴-a故选：A．【变式4-1】（25-26八年级上·上海·期中）已知α与β是方程x2+x-3=0的两个不同的根，那么代数式α3【答案】-9【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握根与系数关系定理，活用代数式的变形是解题的关键．由根与系数的关系可得α+β=-1，αβ=-3，利用方程根的性质，将α³和β2用α和β表示，代入代数式化简，最后利用α+β【详解】解：∵α与β是方程x2∴α²=-α+3，β²=-β+3，∴α³=α·α²=α-α+3∴α³-4β由根与系数的关系可得，α+β=-1，∴4α+4β-5=4(α+β)-5=-4-5=-9，∴原式=-9．故答案为：-9．【变式4-2】（24-25九年级上·湖北武汉·月考）如果m，n是一元二次方程x2+x-3=0的两个根，那么多项式m3【答案】2029【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解，熟练掌握x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两根时，x1+x2=-ba，x1x【详解】解：∵m、n是一元二次方程x2∴m+n=-1，mn=-3，m2+m-3=0∴m2∴1n=∴=4m-3+3n-mn+n+1+2032=4m+4n-mn-2+2032=4=4×=2029故答案为：2029．【变式4-3】设α是方程x2+4x-1=0的一个根，则α4【答案】-16【分析】本题考查一元二次方程的解、整式的化简求值，根据题意得，α2【详解】解：∵α是方程x2∴α2∴α==-16，故答案为：-16．【题型5逢解必带-换元法】【例5】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）关于x的方程ax+m+22+b=0的解是x1=-3，x2=6（a，m，b【答案】x1=-1【分析】此题考查了方程解的定义，把方程ax+m2+b=0变为ax-2+m+2【详解】解：方程ax+m2+b=0∵方程ax+m+22+b=0的解是x∴x-2=-3或x-2=6，∴x1=-1，故答案为：x1=-1，【变式5-1】（2025·山东烟台·一模）若x=2025是关于x的方程ax2+bx+1=0的一个根，则关于x的方程aA．2023 B．2024 C．2025 D．2027【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0有一个根为2025，可得出关于x+2的一元二次方程ax+2【详解】解：∵关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0∴关于x+2的一元二次方程ax+22+bx+2即x+2=2025，解得：x=2023，故选：A．【变式5-2】（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·月考）关于x的方程ax2+bx+c=0两根分别为-3，7，则方程aA．-4，6 B．-2，8 C．3，-7 D．-3，7【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的方程ax2+bx+c=0两根分别为-3，7，则方程a(x+1)2【详解】∵关于x的方程ax2+bx+c=0两根分别为-3∴方程a(x+1)2+b(x+1)+c=0的两根为x+1=-3解得x1=-4，故选：A．【变式5-3】（25-26八年级上·上海·期中）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根分别x1=-1,x【答案】x1=【分析】本题考查根与系数的关系，换元法解一元二次方程，根据根与系数的关系得到-ba=1,ca=-2，设y=x-1，将方程cx-1【详解】解：∵ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别∴x1+x2=1=-ba，即设y=x-1，则方程c(x-1)2+bx-1+a=0两边除以a（a≠0），得cay代入ca=-2，ba=-1，得-2y解得y1=12由y=x-1，得x=y+1，∴x1=12∴方程c(x-1)2+bx-1+a=0故答案为：x1=3【题型6含参定根-与根无关】【例6】关于x的一元二次方程mx2十x-m+1=0必有一根为

【答案】-1

【详解】解：mx2十x-m+1=0

(x2-1)m+x+1=0

(x+1)(xm-m+1)=0

则x=-1．

故答案为-【变式6-1】关于x的方程kx2-(2k+3)x+k+3=0，必有一根为多少？【答案】1

【详解】解：原方程展开为：(x-1)[k(x-1)-3]=0故答案为1．【变式6-2】若a≠b，则关于x的方程(a-b)x2+(c-b)x+c-a=0必有一根是

【答案】x=-1

【分析】本题主要考查一元二次方程的解和解一元二次方程的能力，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键．

将原方程左边因式分解可得(x+1)[(a-b)x+(c-a)]=0，即x+1=0或(a-b)x+(c-a)=0，从而得出答案．

【详解】解：∵原方程左边因式分解后可得：(x+1)[(a-b)x+(c-a)]=0，

∴x+1=0或(a-b)x+(c-a)=0，

则方程必有一根为x=-1，

故答案为：x=-1．【变式6-3】已知关于x的一元二次方程(m+n)x2+2(m-n)x+(m-3n)=0，若该方程对于任意实数m,n（m+n≠0【答案】x=-1

【详解】解：(m+n)x2+2(m-n)xmx2+nx分组得：m(x2+2x+1)+n(x变形为：m(x+1)²+n(x+1)(x-3)=0(x+1)[m(x+1)+n(x-3)]=0无论m和n取什么值，只要令第一个因式为0，方程就恒成立。即x+1=0，解得x=-1。所以，这个必有的公共实数根是x=-1。【题型7含参定根-比较系数】【例7】已知4a+c=2b，则一元二次方程ax2+bx+c=0【答案】x=-2【分析】此题考查了一元二次方程的解，由4a+c=2b得到4a-2b+c=0，然后和ax将x=1代入ax2+bx+c=0【详解】解：∵4a+c=2b，∴4a-2b+c=0，∴a×-2∴一元二次方程ax2+bx+c=0故答案为：x=-2．【变式7-1】（25-26九年级上·广东茂名·月考）关于x的一元二次方程ax2-bx-2025=0满足a+b=2025A．1 B．-1 C．±1 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．由于x=-1时，有a+b=2025，于是可判断此方程必有一根为-1．【详解】解：当x=-1时，a+b-2025=0，则a+b=2025，所以若a+b=2025，则此方程必有一根为-1．故选：B．【变式7-2】若a-b+c=0，a≠0，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0A．必有一根为1 B．必有一根为-1 C．必有一根为0 D．必有一根为2【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程的解：根据a-b+c=0，得a×-1【详解】解：∵a-b+c=0，a≠0，∴a×-1∴必有一根为-1，故选：B．【变式7-3】若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,那么方程必有一根为____.【答案】-1【分析】二次项系数与常数项之和等于一次项系数即a+c=b，即可得a-b+c=0；在关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，令x=-1时，就得到a-b+c=0，所以-1必是该方程的一个根．由此即可解答.【详解】根据题意，得：a+c=b，即a-b+c=0；当x=-1时，ax2+bx+c=a（-1）2+b（-1）+c=a-b+c=0，∴-1必是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根．故答案为-1.【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的定义，熟记使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键．【题型8公共根-设根消参】【例8】如果两个一元二次方程x2+x+k＝0与x2+kx+1＝0有且只有一个根相同，那么k的值是_____．【答案】-2【分析】：设它们的相同根为t，利用方程根的定义得到t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，利用②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，则t＝1，然后把t＝1代入①中可求出k的值．【详解】解：设它们的相同根为t，根据题意得t2+t+k＝0①，t2+kt+1＝0②，②﹣①得（k﹣1）t＝k﹣1，∵t有且只有一个值，∴k﹣1≠0，∴t＝1，把t＝1代入①得1+1+k＝0，∴k＝﹣2．故答案为﹣2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【变式8-1】已知一元二次方程x2+ax+b=0①，x2+bx+a=0②，方程①与方程②有且只有一个公共根，则a与【答案】a+b+1=0【分析】设两个方程的公共根，将公共根代入方程，即可求出公共根，然后即可代入方程得到a与b之间的关系式．【详解】设两个方程的公共根是m，分别把m代入两方程有：m2+am+b=0①m2+bm+a=0②把①-②有：（a-b）m+b-a=0解得m=1．故把m