专题03 配方法的应用（举一反三）（解析版）

专题03配方法的应用（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】题型归纳题型归纳TOC\o"1-3"\h\u【题型1利用配方法求值】 1【题型2单配方比较大小】 3【题型3双配方比较大小】 5【题型4单变量单配方求最值】 6【题型5双变量双配方求最值】 8【题型6双变量先消元再配方求最值】 10【题型7利用配方法判断三角形形状】 12【题型8利用配方法证明恒成立问题】 15【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】 19【题型10利用配方法解决新定义问题】 21【题型1利用配方法求值】【例1】（2025九年级上·广东深圳·专题练习）若将一元二次方程x2-6x-2=0化成x+m2+n=0的形式，则2m-n的值为______．【答案】5【分析】本题考查配方法的应用，代数式求值，掌握知识点是解题的关键．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，确定参数m和n的值，再代入计算即可．【详解】解：原方程x2配方得x2即x-32与形式x+m2得m=-3，n=-11，∴2m-n=2×-3故答案为：5．【变式1-1】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）已知多项式A=x2-x+3-2k，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则【答案】k≤【分析】本题主要考查配方法的应用，根据配方法可进行求解．【详解】解：A=x∵无论x取何实数，A的值都不是负数，且x-1∴114解得k≤11故答案为：k≤11【变式1-2】（24-25九年级上·江苏泰州·期中）已知m+n=4,mn-p2+8p≥20，则mnp【答案】16【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先由m+n=4得m=4-n，将其代入mn-p2+8p≥20后，将不等式整理并配方得n-22+p-42≤0，根据非负数的性质可得n=2，p=4，进而可得m=2，再将【详解】解：∵m+n=4，∴m=4-n，将m=4-n代入mn-p2+8p≥20整理后配方可得：n-22∴n-2=0，p-4=0，∴n=2，p=4，∴m=4-2=2，∴mnp=2×2×4=16，故答案为：16．【变式1-3】已知x2+y2-2x-4y+5=0【答案】2024【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程x2+y2-2x-4y+5=0变形为x-1【详解】解：∵x∴x∴x-1∴x-1=0，y-2=0，∴x=1，y=2，∴1=1=1-1=1-1=2024故答案为：20242025【题型2单配方比较大小】【例2】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）若m为实数，P=-m2-m+1，Q=m2-5m+4，则比较【答案】P<Q【分析】本题考查整式的加减、完全平方公式，利用作差法和配方法求解即可．【详解】解：Q-P===2=2m-1∵m-12∴2m-1∴Q-P>0，∴P<Q，故答案为：P<Q．【变式2-1】已知P=x2-2x，Q=2x-5（x为任意实数），则关于PA．P>Q B．P=Q C．P<Q D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将P-Q变形为x-22【详解】解：∵P-Q=x∴P>Q，故选：A．【变式2-2】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知A=2x+m，B=x2+m+4，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“>”、“<”、“【答案】<【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系．【详解】解：B-A=x=x=∵(x-1)∴(x-1)2+3>0∴A<B．【变式2-3】（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，M=12m-33，N=2m2-4m，则M________N．（填“＞”，“<”或“【答案】<【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．通过计算M与N的差值，得到-2(m-4)2-1<0，从而判断M【详解】解：M-N=(12m-33)-(2=12m-33-2=-2=-2(m-4)∵(m-4)2∴-2∴M<N．故答案为：<．【题型3双配方比较大小】【例3】已知x=a2+b2+18，y=8b+4a-3，则【答案】x>y【分析】首先用作差法计算x﹣y，得出的式子利用完全平方公式分类分解因式，进一步判定符号解决问题即可．【详解】x﹣y=a2+b2+18﹣（8b+4a﹣3）=a2+b2+18﹣8b﹣4a+3=（a﹣2）2+（b﹣4）2+1．∵（a﹣2）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴（a﹣2）2+（b﹣4）2+1＞0，也就是x＞y．故答案为x＞y．【点睛】本题考查了利用作差法比较代数式的大小，以及配方法的运用，掌握完全平方公式是解决问题的关键．【变式3-1】已知a、b是实数，x=a2+b2+20，A．x≤y B．x≥y C．x＜y D．x＞y【答案】B【分析】判断x、y的大小关系，把x-y进行整理，判断结果的符号可得x、y的大小关系．考查了配方法的应用；关键是根据比较式子的大小进行计算；通常是让两个式子相减，若为正数，则被减数大；反之减数大．【详解】解：x-y=a∵(a+2)2≥0∴x-y≥0，∴x≥y，故选：B【变式3-2】若A＝x2+2x﹣6A．A＞B B．A＜B C．A≥B D．A＝B【答案】A【分析】利用做差法求出A-B=x-12+y【详解】解：A==∵x-12≥0∴x-1∴A-B＞故选：A．【点睛】本题考查了配方法的应用，考查了通过做差法判断式子的大小，熟练掌握配方法是本题的关键所在．【变式3-3】已知a、b满足x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a），则x、y的大小关系是（）A．x≤y B．x≥y C．x＞y D．x＜y【答案】C【分析】用x减去y，对x和y分别配方，利用偶次方的非负性，可判断x-y的正负，从而问题得解．【详解】∵x＝a2+b2+21，y＝4（2b﹣a）∴x﹣y＝a2+b2+21﹣4（2b﹣a）＝a2+b2+21﹣8b+4a＝（a+2）2+（b﹣4）2+1∵（a+2）2≥0，（b﹣4）2≥0∴x﹣y＞0∴x＞y故选：C．【点睛】本题考查了配方法在代数式比较大小中的应用，掌握求差法及配方法，是解答本题的关键．【题型4单变量单配方求最值】【例4】代数式x2+4x+5的最小值为【答案】1【分析】根据完全平方公式将原式变形为x+22【详解】解：x∵x+2∴x+2∴代数式x2+4x+5的最小值为故答案为：1．【点睛】本题考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的结构及其非负性是解题关键．【变式4-1】二次三项式x2+5x+7的最小值为【答案】3【分析】多项式常数项7分为254+34【详解】解：x2则二次三项式x2+5x+7的最小值是34故答案为34【点睛】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式4-2】（25-26九年级上·全国·课后作业）当x=__时，多项式-2x2-4x+3有最大值？求出这个最大值是【答案】-15【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得-2x2-4x+3=-2x+12+5，再分析：因为x+12≥0，所以【详解】解：-2=-2=-2=-2=-2x+1∵x+12∴-2x+1则-2x+1即当x=-1时，多项式-2x2-4x+3故答案为：-1，5．【变式4-3】已知x为全体实数，则-4x2+7x-2【答案】17【分析】本题考查配方法的应用，利用配方法，将多项式进行转化，再根据完全平方的非负性进行求解即可．【详解】解：-4x∵x-7∴-4x-∴-4x2+7x-2【题型5双变量双配方求最值】【例5】代数式-a2-2【答案】4【分析】本题考查了配方法，非负数的性质．利用配方法将原式配方成-a+1【详解】解：-=-=-a+1当a=-1，b=2时，代数式-a2-2故答案为：4．【变式5-1】已知M=8x2-y2+6x-2，N=9xA．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定【答案】B【分析】将M-N整理成-（x-3）2-（y+2）2-2，从而说明M-N的值为负数．【详解】∵M-N=8x2-y2+6x-2-（9x2+4y+13）=-x2+6x-y2-4y-15=-[（x2-6x+9）+（y2+4y+4）+2]=-（x-3）2-（y+2）2-2，∴M-N的值为负数，故选：B．【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质--偶次方．解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．【变式5-2】不论a，b为何实数，a2+bA．总是正数 B．总是负数C．可以是零 D．可以是正数也可以是负数【答案】A【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．【详解】解：∵（a-1）2≥0，（b-2）2≥0，∴原式=（a2-2a+1）+（b2-4b+4）+3=（a-1）2+（b-2）2+3≥3＞0，则不论a，b为何实数，a2+b2-2a-4b+8的值总是正数，故选：A．【点睛】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【变式5-3】（24-25九年级上·重庆丰都·月考）【项目学习】“我们把多项式a2+2ab+b2及如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法．例如：求当a取何值，代数式a2解：a因为a+32≥0，所以因此，当a=-3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是【问题解决】利用配方法解决下列问题：（1）当x=___________时，代数式x2-2x-1有最小值，最小值为（2）当x取何值时，代数式2x【拓展提高】（3）当x，y何值时，代数式5x【答案】（1）1；-2；（2）当x=-2时，代数式2x2+8x+12有最小值，最小值是4；（3）当x=-3【分析】本题考查完全平方公式的应用，将各小题中的多项式配方是求解本题的关键．（1）仿照文中所给的配方法的思路解答即可；（2）先提取公因数2，再利用文中所给的配方法的思路解答即可；（3）将5x2-4xy+【详解】解：（1）x因为x-12所以x2因此，当x=1时，代数式x2-2x-1故答案为：1；-2；（2）2x因为x+22所以2x因此，当x=-2时，代数式2（3）5因为2x-y2≥0所以5x因此，当2x-y=0，x+3=0，即x=-3，y=-6时，代数式5x2-4xy+【题型6双变量先消元再配方求最值】【例6】已知实数x，y满足2x+y=4，则代数式xy-2x+2y-4的最大值为______．【答案】9【分析】将y=4-2x代入代数式，利用配方法可得-2(x-【详解】解：由题意得：y=4-2x，将y=4-2x代入代数式得：xy-2x+2y-4=x(4-2x)-2x+2(4-2x)-4=-2=-2=-2(x-∵2(x-∴-2(x-∴-2(x-∴原代数式的最大值为：92故答案为：92【点睛】本题考查了配方法的应用、不等式的性质及平方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．【变式6-1】（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）已知实数a，b满足a+b2=1，则代数式a【答案】4【分析】此题考查了配方法的应用与平方式的非负性，解题的关键是熟练掌握配方法．由题意得b2=1-a，代入代数式a2-4b2+12【详解】解：∵a+b∴b2=1-a≥0∴====a+2∵a≤1，∴a+22≥0（当则a+22∴当a=-2时，代数式a2-4b故答案为：4．【变式6-2】已知实数x，y满足x2+3x+y-3=0，则x+y的最大值为【答案】4【分析】根据已知等式，可用x表示出x+y．再利用二次函数的性质可求得其最大值．【详解】解：∵x∴y=-x∴x+y=-x∴当x=-1时，x+y有最大值4，故答案为：4．【点睛】本题主要考查二次函数的最值，用x表示出x+y是解题的关键，注意函数性质的应用．【变式6-3】已知实数m，n满足m-n2=2，则代数式mA．9 B．6 C．-8 D．-16【答案】A【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，把m-n2=2【详解】解：∵m-n∴n2=m-2≥0，∴m===m+3则代数式m2+2n故选：A．【题型7利用配方法判断三角形形状】【例7】已知三角形三边长为a、b、c，且满足a2-4b=7，b2-4c=-6，A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．无法确定【答案】A【详解】解：∵a2﹣4b=7，b2﹣4c=﹣6，c2﹣6a=﹣18，∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a=7﹣6﹣18，整理得：a2﹣6a+9+b2﹣4b+4+c2﹣4c+4=0，即（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2=0，∴a=3，b=2，c=2，∴此三角形为等腰三角形．故选A．点睛：本题考查了因式分解的应用，解题的关键是正确的进行因式分解．【变式7-1】先阅读，再解决问题，例题：若m2+2mn+2n解：∵m∴(∴m+n∴n=3，(1)若x2+2y(2)已知ΔABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+(3)根据以上的方法是说明代数式：x2【答案】(1)14(2)△ABC是等边三角形；(3)答案见解析．【分析】（1）将原式配方得(x-y)2（2）将原式配方得(a-3)2+(b-3)（3）利用配方法可以对式子x2【详解】（1）解：x2∴x-y∴x∴x（2）解：a==0，∴a∴Δ（3）解：∵==(故x2【点睛】本题考查配方法的应用、非负数的性质：绝对值、偶次方，解题的关键是明确如何运用配方法化简题目中所求的问题，根据三角形的三边可以判断三角形的形状．【变式7-2】已知a，b，c是△ABC的三边，若a，b，c满足a2－6a＋b2－8b＋c-5＋25＝0，则△ABC是_____________三角形；若a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC是_________三角形．【答案】直角;等边.【分析】把25分成9、16，利用配方法把a2－6a＋b2－8b＋c-5＋25＝0改写为(a-3)2+(b-4)2+c-5=0，利用非负数的性质求出a、b、c的值，根据勾股定理逆定理判断即可；利用配方法把a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0改写为(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,再利用非负数的性质,可分别求出a、b、c【详解】∵a2－6a＋b2－8b＋c-5＋25＝0∴(a-3)2+(b-4)2+c-5=0∴a=3，b=4，c=5，∵32+42=52，∴△ABC是直角三角形；∵a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,∴a=b，b=c，a=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形.故答案为直角；等边.【点睛】此题考查了配方法的应用、勾股定理逆定理、非负数的性质,解题的关键是注意配方法的步骤,在变形的过程中不要改变式子的值.【变式7-3】若△ABC的三边a、b、c满足条件：a2+b【答案】60【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，注意直角三角形中，斜边上的高=两直角边的乘积÷斜边的长．首先把已知条件写出三个完全平方公式的和的形式，再根据非负数的性质求得a、b、c，然后根据勾股定理的逆定理判断这个三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求最长边上的高．【详解】解：∵a∴(a-5)∴a-5=0,b-12=0,c-13=0，∴a=5,b=12,c=13，∵5∴△ABC是直角三角形，∴这个三角形最长边上的高为：5×12÷13=60故答案为：6013【题型8利用配方法证明恒成立问题】【例8】【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c(a≠0)的多项式变形为a例如：对于a2+6a+8．（1）用配方法分解因式；（2）当a取何值，代数式解：（1）原式====[(a+3)+1][(a+3)-1]=(a+4)(a+2)．（2）由（1）得：a2∵(a+3)2∴(a+3)∴当a=-3时，代数式a2+6a+8有最小值，最小值是【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：x2(2)试说明不论m为何值，代数式-m(3)若已知(a+c)(b-a)=14(b+c)2且【答案】(1)(x+4)(x-2)(2)见解析(3)2【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；（2）先利用配方法将-m2+4m-5变形为-(m-2)（3）先将(a+c)(b-a)=14(b+c)2变形为(2a-b+c)2【详解】（1）解：x===(x+1+3)(x+1-3)=(x+4)(x-2)．（2）解：∵-=-(=-(m-2)∵m-2∴-m-2∴-∴不论m为何值，代数式-m（3）解：∵(a+c)(b-a)=1∴ab-a∴4ab-4a∴(4a∴(2a-b)∴(2a-b+c)2∴2a-b+c=0，∴2a=b-c，∵a≠0，∴b-ca【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式a2【变式8-1】（24-25九年级上·甘肃·期中）用配方法求证：代数式4x【答案】见解析【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法得到4x2-8x+9=4x-1【详解】证明：4==4=4x-1∵x-12∴4x-1∴4x-1∴代数式4x【变式8-2】记z=3x(3y-x)-(4x-3y)(x+3y)．(1)若x   ,     y均为整数，求证：当x是3的倍数时，(2)若y=x+1，求z的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)-【分析】（1）化简得z=-7x2+9y2，设x=3k（2）将y=x+1代入z=-7x2+9本题考查了整式的乘法运算，配方法的应用，正确计算是解题的关键．【详解】（1）证明：∵z=3x(3y-x)-(4x-3y)(x+3y)，∴化简得，z=-7x∵x为整数，且是3的倍数，∴可设x=3k（k为整数），∴z=-73k又∵y为整数，∴-7k∴z能被9整除；（2）解：将y=x+1代入z=-7xz=-7=-7=2=2x+∴z的最小值为-63【变式8-3】（24-25九年级上·河北沧州·月考）已知M=x(1)当M=3时，求x的值；(2)若M=3x2+1(3)求证：M>0．【答案】(1)x1=2(2)1或7(3)见解析【分析】本题考查解一元二次方程，代数式求值，配方法的应用：（1）将M的值代入，解一元二次方程即可；（2）令M相等，解一元二次方程即可；（3）将M配方，即可得．【详解】（1）解：当M=3时，x即x2x-2x+1∴x1=2，（2）解：若M=3x2即2x解得x1=0，当x=0时，M=1，当x=-12时，综上可得，M的值为1或74（3）证明：M=x∵x-1∴x-1∴M>0．【题型9利用配方法在实数范围内分解因式】【例9】在实数范围内分解因式：x2-5x+3=【答案】x-【分析】本题考查因式分解，掌握配方法和平方差法因式分解是解题的关键．先配方再用平方差公式法，进行因式分解即可．【详解】解：x2故答案为：x-5【变式9-1】在实数范围内分解因式：x2+6x-5=【答案】x+3+【分析】先利用配方法进行整理，再根据平方差公式进行因式分解即可。【详解】解：x2根据平方差公式可得x+32故x2故答案为：x+3+14【点睛】本题考查实数范围内的因式分解，注意在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止是解题的关键．【变式9-2】在实数范围内分解因式2xA．2B．x-C．2D．2x-4y-【答案】C【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），注意配方．先提公因式得2x2-4xy+【详解】解：2=2=2=2=2=2故选：C【变式9-3】【阅读材料】利用完全平方公式，可以将多项式a3x2+bx+c（a，b，c均为常数且a≠0）变形为【问题解决】(1)用多项式的配方法将x2+6x-1化成x+m2+n的形式是，当多项式x2+6x-1的值为(2)把多项式x2【答案】(1)x+32-10，(2)x-2x-6【分析】（1）根据配方法即可将x2+6x-1化成x+m2+n的形式，由（2）利用配方法把原式转化为x-42本题考查了配方法，因式分解，掌握配方法是解题的关键．【详解】（1）解：x2当x2+6x-1的值为则x+32∴x+32∴x=-3，故答案为：x+32-10，（2）解：x=x-4=x-4+2=x-2【题型10利用配方法解决新定义问题】【例10】（24-25九年级上·广东阳江·月考）小明在学习有关配方的知识时，发现一个有趣的现象：关于x的多项式x2-4x+7，由于x2-4x+7=x-22+3，所以当x-2取任意一对互为相反数的数时，多项式x2-4x+7的值是相等的，例如，当x-2=±1，即x=3或1时，x2-4x+7的值均为4：当x-2=±2，即x=4或0时，x2-4x+7请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：(1)多项式x2-2x+5关于x=_______对称；若关于x的多项式x2+2nx+3关于(2)若整式x2+6x+9x2-4x+4【答案】(1)1；-6(2)-【分析】本题考查了配方法的应用．（1）依据题意，读懂题目，仅需配方即可得解；依据题意，由多项式x2+2nx+3=x+n（2）将整式x2【详解】（1）解：∵x2∴多项式x2-2x+5关于由题意得多项式x2+2nx+3=∴多项式x2+2nx+3关于∵多项式x2+2nx+3关于∴-n=6，∴n=-6；故答案为：1，-6；（2）解：x====x+∴x2+6x+9x又∵x2+6x+9x∴a=-1【变式10-1】（24-25九年级上·四川内江·月考）对于有理数a，b，定义min{a,b}的含义为：当a≥b时，min{a,b}=b；当a≤b时，min{a,b}=a．若min40,12m-4n-m2【答案】1【分析】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．根据min40,12m-4n-m2-n2=40，得出12m-4n-【详解】