2.4 用一元二次方程解决问题（基础达标）（解析版）

2.4用一元二次方程解决问题题型一传播问题1．春天的校园，一株神奇的植物正悄然生长．这株植物的主干先长出若干支干，每根支干又分出与主干分出的支干数目相同的小分支，若主干、支干和小分支总数是21，若设主干长出x支支干，则根据题意可以列方程为（

）A．1+x+x1+x=21 B．C．1+x+x2=21【答案】C【详解】解：设主干长出x支支干，则小分支一共有x2由题意得1+x+x2．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有2人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有32人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了x人，则根据题意，可列方程为（

）A．2(1+x)2=32C．2+2x+x(1+x)=32 D．x+x(2+2x)=32【答案】A【详解】解：∵最初有2人患流感，∴第一轮传染后，患病人数为2+2x，∴第二轮传染后，患病人数为2+2x+x(2+2x)=2∵两轮传染后该班级共有32人患流感，∴可列方程为2(1+x)3．某位同学经过老师指点后学会了某道数学题，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有36人会做这道数学题．设一人每次教会了x名同学，则下列方程正确的是（

）A．1+x2=36 BC．x+x2=36 【答案】D【详解】解：初始会做这道题的人数为1人，∵第一节课，原来会的1人教会x名同学，第一节课后会做的人数为x+1人，∵第二节课，所有会做的x+1人每人教会x名同学，第二节课新增会做的人数为xx+1∴全班会做的总人数为初始人数加上两节课新增的人数，列方程得:1+x+xx+14．数学活动课上，同学们与AI智能体进行数字传播闯关游戏．AI智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学．【答案】4名【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意，得6+6x-61+x解得x1=4，答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学．题型二增长率问题1．某商品原价为100元，经过两次降价后售价为81元，若两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（

）A．9% B．10% C．11%【答案】B【详解】解：设每次降价的百分率为x，根据题意得：1001-x解得：x1=0.1=10%即每次降价的百分率为10%2．某科技公司在2024年投入研发资金为300万元，2026年投入研发资金363万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（

）A．3001+x2=363C．300+3001+x2=363【答案】A【详解】解：∵设年平均增长率为x，2024年投入研发资金为300万元，∴2025年投入研发资金为300(1+x)万元，∴2026年投入研发资金为300(1+x)(1+x)=3001+x2又∵2026年投入研发资金为363万元，∴列方程得3003．2026年3月，国际金价回调，国内金店同步降价．某品牌足金从1400元/克连续两次下调，现降至1260元/克，若两次降价的降低率相同，求该降低率．设两次降价的降低率为x，可列方程为____________．【答案】1400【详解】解：设两次降价的降低率为x．第一次降价后的价格为14001-x元/第二次降价是在第一次降价后的价格基础上进行降价，因此第二次降价后的价格为14001-x⋅1-x已知两次降价后价格为1260元/克，因此可列方程1400(1-x)4．某旅游景区2025年第一季度游客人数达100万人次，第二季度的游客人数比第一季度的下降10%，随着暑假和“十一”黄金周的到来，第三、四季度游客人数稳步上升，其中第四季度游客人数达129.6(1)求第三、四季度游客人数的平均增长率；(2)求该旅游景区一年（四个季度）接待游客的总人数．【答案】(1)20%；(2)427.6万人次【详解】（1）解：设第三、四季度的平均增长率为x．由题意得，1001-10解得x1=0.2=20%答：第三、四季度游客人数的平均增长率为20%（2）解：∵第一季度游客人数为100万人次，∴第二季度游客人数为1001-10%=90第三季度游客人数为901+20%=108∵第四季度游客人数为129.6万人次，∴该旅游景区一年接待游客的总人数为100+90+108+129.6=427.6（万人次）．题型三数字问题1．如表是小明与DeepSeek的对话，DeepSeek在深度思考后，给出的正确答案是（

）新对话有没有这样一个数？先计算这个数的平方，再减去这个数，最后加上1，其运算结果和这个数相同．深度思考中……开启新对话A．-1 B．12 C．1 D．-1或【答案】C【详解】解：设这个数为x，根据题意得x2移项整理得x2因式分解得x-12解得x=1．2．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（

）A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁【答案】A【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为x，则个位数字为x+3，年龄可表示为10x+x+3∵个位平方与寿符，∴可得方程10x+整理得x2解得x1=2，又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，x=2时年龄为25岁，不符合题意舍去，∴x=3，个位数字为3+3=6，年龄为3×10+6=36岁．3．第十四届国际数学教育大会（ICME−14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×(1)八进制数123换算成十进制数是___________；(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．【答案】(1)83；(2)9【详解】（1）解：根据八进制换算成十进制的方法可得：1×8（2）解：根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程可得：1×n∴n2整理得：n2解得n1故n的值为9．4．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数．(1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为；(2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由．【答案】(1)123；(2)小亮说法正确，理由见解析【详解】（1）解：当小明框出3个数为24,25,26，小亮框出3个数为17,24,31，此时他俩框出数的总和最大，∴最大值为24+25+26+17+31=123；（2）解：小亮的说法是正确的．理由：设两人框的中间相同的数为x，则可得方程(x-1)(x-7)=112，即x2-8x-105=0解得x1=-7（负数舍去），但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去，因此小亮说法正确．题型四工程问题1．问题：“某工程队准备修建一条长3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任务，求原计划每天修建下水管道的长度？”条件：（1）实际每天修建的长度比原计划多25%（2）原计划每天修建的长度比实际少75米．在上述的2个条件中选择1个________________（仅填序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【答案】选（1）或（2）；选（1）原计划每天修建下水管道的长度为300米；选（2）原计划每天修建下水管道的长度为300米【详解】选（1）或（2）（1）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米3000x=300经检验：x=300是所列方程的解答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．（2）解：设原计划每天修建下水管道的长度为x米3000x1经检验：x=300是所列方程的解．答：原计划每天修建下水管道的长度为300米．2．列方程解下列问题：甲、乙两人加工生产同种零件．甲每小时比乙多生产10个，甲生产120个该种零件的时间与乙生产100个该种零件的时间相同．(1)求甲、乙两人每小时各生产多少个零件？(2)由于市场需求量大幅增加，该厂更换了生产设备．更换设备后，甲每小时生产的零件数量比原来增长了5m%，乙每小时比原来多生产m个零件，甲、乙两人同时工作m小时共可以生产1500个零件，求m【答案】(1)甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；(2)10【详解】（1）解：设甲每小时生产x个零件，则乙每小时生产x-10个零件，根据题意得：120x解得：x=60，经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，此时x-10=50，答：甲每小时生产60个零件，则乙每小时生产50个零件；（2）解：更换设备后，甲每小时生产的零件数量为60+60×5m%=60+3m，乙每小时生产60+3m+50+mm=1500整理得：2m解得：m1即m的值为10．3．学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等(1)求甲计划每天整理多少本图书？(2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多4a本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少0.04a天，求a的值【答案】(1)600；(2)50【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理x+100本图书，依题意，1200x+100解得x=500，经检验：当x=500时，xx+100∴x=500是原分式方程的解，∴甲计划每天整理500+100=600（本）（2）解：由（1）得甲计划每天整理600本，∵总图书4800本，则计划时间4800600依题意，甲实际每天整理600+4a本，实际完成时间8-0.04a天根据工作量关系，得方程600+4a8-0.04a展开得4800-24a+32a-0.16a²=4800，化简得8a-0.16a即a(8-0.16a)=0解得a=0或a=50，由于a=0不符合实际意义，故a=50．4．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，计划每天各施工6米．已知甲乙每天施工所需成本共108万元．因地质情况不同，甲每合格完成1米桥梁施工成本比乙每合格完成1米的桥梁施工成本多2万元．(1)分别求出甲，乙每合格完成1米的桥梁施工成本；(2)实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，且每天多挖124a．乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，且每天多挖【答案】(1)甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元；(2)a的值为12【详解】（1）解：设乙每合格完成1米的桥梁施工成本为x万元，则甲每合格完成1米桥梁施工成本为(x+2)万元，∴6x+6(x+2)=108，解得，x=8，∴甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元．（2）解：由（1）可知，甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米的桥梁施工成本为8万元，∴实际施工开始后，甲每合格完成1米隧道施工成本增加16a万元，则甲每合格完成1米实际成本为10+16a万元，且每天多挖124a，则甲每天实际完成量为6×1+124a=6+14a米，乙每合格完成1米隧道施工成本增加13a万元，则乙每合格完成∴10+16a×6+14∴a的值为12．题型五行程问题1．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率五，乙行率二．乙东行，甲南行八步而斜东北与乙会．问甲乙行各几何．”大意是说：甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为5，乙的速度为2．乙一直往东走，甲先向南走8步（步是古代的长度单位），后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲乙各走了多少步？设甲乙二人从出发到相遇所用的时间是x，下列方程正确的（

）A．2x2+8C．5x2+8【答案】A【详解】设相遇时间为x，则乙向东行2x步，甲向南行8步后斜向东北行(5x-8)步与乙相遇．∵甲向南行8步（直角边），乙向东行2x步（直角边），甲斜向行(5x-8)步（斜边），∴由勾股定理，得2x2故选：A．2．2026年4月，北京举办了全球首场大规模人形机器人半程马拉松赛事．机器人“闪电”完成比赛，最终用时50分26秒，打破了人类男子半程马拉松世界纪录．已知机器人初始速度为24km/h，经过两次速度调整后，速度提升至48.4km/A．241+x2C．241+x+241+x【答案】D【详解】解：∵初始速度为24km/h∴第一次调整后速度为24(1+x)kmh第二次调整是在第一次调整后的速度基础上再次增长，因此第二次调整后速度为24(1+x)·(1+x)=24(1+x)2又∵调整后最终速度为48.4km∴可列方程241+x3．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车