2.1 一元二次方程的概念（讲义）（原卷版）

第二章一元二次方程2.1一元二次方程的概念知识点一一元二次方程的定义1.定义：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。2.核心三要素（缺一不可）：①整式方程（等号两边均为整式，分母不含未知数，根号下不含未知数）；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2（二次项系数不能为0）。3.一元二次方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值，通常也称为一元二次方程的根。即学即练1．（25-26九年级上·广东肇庆·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x+1=0 B．y2+x=1 C．x+12．（25-26九年级上·广东中山·期中）若关于x的方程m+1x2m+2mx-3=0是关于x的一元二次方程，则mA．任意实数 B．1或-1 C．1 D．-13．（25-26九年级上·福建厦门·期中）若一元二次方程有一个根是x=0，则这个方程可以是（

）A．x+1x+2=0 BC．x2-1=0 D知识点二一元二次方程的一般形式1.关于x的一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（其中a、b、c2.一元二次方程的各部分名称：①ax2：二次项，a叫做二次项系数（②bx：一次项，b叫做一次项系数（b可以为0，此时方程为ax③c：常数项（c可以为0，此时方程为ax3.注意：将一元二次方程化为一般形式时，需将所有项移到等号左边，合并同类项，使右边为0，且二次项系数通常化为正数（方便后续计算）。即学即练1．（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）把一元二次方程(x+1)(x-2)=3x化成一般形式，正确的是（

）A．x2-4x-2=0 BC．x2+4x-2=0 D2．（25-26八年级下·广西百色·期中）一元二次方程3x2-2x=5A．3 B．-2 C．5 D．-53．（25-26八年级下·广西崇左·期中）关于x的一元二次方程x2-7x-18=0的一次项系数是（A．1 B．7 C．-7 D．-18题型01一元二次方程的识别/（1）定义：只含一个未知数，未知数最高次数为2，整式方程；（2）解法：先整理化简式子，满足三个条件：单未知数、最高次2次、整式方程.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（

）A．x2-1C．x2+3x-2=5x+x变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）下列方程属于一元二次方程的是（

）A．x2+y-2=0 BC．x+1x=52．（25-26八年级下·山东烟台·期中）下列方程中：①2x2-1=0，②ax2+bx+c=0，③x+2x-3=x2-3，A．1个 B．2个 C．3个 D．4个题型02根据定义求参数取值/（1）解法：列两个条件，未知数最高次数等于2，二次项系数不为0，联立求解参数；（2）易错：只满足次数要求，遗漏二次项系数不能为0的限制.典｜例｜精｜析1．（2026·江苏淮安·一模）若方程m-1x2+x=1是关于x的一元二次方程，则mA．m≠1 B．m≥1 C．m≤1 D．m为任意实数变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于x的方程k+1xk+1-3x+1=0是一元二次方程，则2．（25-26九年级上·广东深圳·期末）若关于x的一元二次方程x+22=m2x+1中不含x的一次项，则m3．（2026·辽宁鞍山·二模）若x=a是方程x2-2x-3=0的一个根，则2a题型03写出一元二次方程一般形式/（1）一般式：ax（2）解法：去括号、移项、合并同类项，按降幂排列；（3）易错：移项不变号；排列顺序混乱；未统一整理标准格式.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·山东泰安·期中）将一元二次方程x2-3x+5A．x2-3x+5=6x-4 BC．x2-9x+11=0 D变｜式｜巩｜固1．（25-26八年级下·山东淄博·期中）把方程xx+2=5x-2化成一般形式，得到x2-ax+10=0A．3 B．-3 C．7 D．-72．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）将方程1-xx+3=1化成一般形式是____________题型04确定方程各项系数/（1）解法：化为一般形式后，对应找出二次项、一次项、常数项系数，包含前面符号；（2）易错：漏掉系数正负号；常数项判断出错.典｜例｜精｜析1．（25-26八年级下·浙江金华·期中）一元二次方程6x2=5-4xA．6，5，-4 B．6，4，-5 C．6，-5，4 D．6，-4，5变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东江门·月考）一元二次方程x2-4x-4=-9+5x的一次项系数是（A．-4x B．-4 C．-9x D．-92．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）方程x+1x-2=0展开为一般形式后，一次项系数是（A．-1 B．1 C．-2 D．23．（25-26九年级上·广东江门·期中）一元二次方程3x2-5x=4的二次项系数是_____，一次项系数是_____题型05利用方程根的概念估算/（1）解法：将根代入方程等式成立，结合数值范围估算根的取值区间；（2）易错：代入计算运算失误；估算区间判断偏差.典｜例｜精｜析1．（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程ax2+bx+c=3x1.11.21.31.4a-0.590.842.293.76A．-0.59<x<0.84B．1.1<x<1.2C．1.2<x<1.3 D．1.3<x<1.4变｜式｜巩｜固1．（25-26九年级上·广东佛山·期末）观察下列表格，可得出一元二次方程x2+12x-15=0的一个近似解是（x1.11.21.31.41.5x-0.590.842.293.765.25A．1.1<x<1.2 B．1.2<x<1.3C．1.3<