2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 3.3.2 第1课时 抛物线的简单几何性质

第三章

圆锥曲线的方程3.3

抛物线3.3.2

抛物线的简单几何性质第1课时

抛物线的简单几何性质

(教师独具内容)课程标准：了解抛物线的简单几何性质．教学重点：根据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质．教学难点：抛物线的几何性质的应用．核心素养：通过研究抛物线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质焦点____________________________________准线方程____________________________________范围x≥0，y∈R___________________________________对称轴__________顶点_________离心率_______开口方向_______________________x≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈Rx轴y轴O(0，0)e＝1向右向左向上向下1．(对称性)已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝____．2.(抛物线的方程)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4，1)的抛物线方程是_________．0x2＝16y3．(范围、离心率)下列关于抛物线x2＝4y，y2＝4x的说法正确的是______(填序号)．①x2＝4y中的x，与y2＝4x中的x的范围相同；②焦点到准线的距离相同；③离心率相同．4．(焦点弦)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则直线被抛物线截得的弦长为_____．②③16核心素养形成题型一抛物线的简单几何性质

(1)已知抛物线y2＝8x，求该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围．(2)抛物线的顶点在原点，对称轴为椭圆9x2＋4y2＝36长轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程及抛物线的准线方程．【跟踪训练】

1.如图，已知△AOB是边长为2的等边三角形，O为原点，AB⊥x轴．(1)求以O为顶点且过点A，B的抛物线的方程；(2)求抛物线的焦点坐标、准线方程及离心率e.题型二抛物线的焦点弦问题

已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线交于A，B两点．(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．【感悟提升】

关于焦点弦的基本公式和常见结论(1)基本公式：设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦半径、焦点弦公式为(2)已知抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，若经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，则抛物线的方程为_________________．y2＝4x或y2＝－4x题型三抛物线性质的应用

【感悟提升】

利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点：解决焦点弦问题．【跟踪训练】

3．(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(

)A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2(2)设P是抛物线y2＝8x上任意一点，A(5，0)，则|PA|的最小值为______．随堂水平达标1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(

)A．x2＝±3y B．y2＝±6xC．x2＝±12y D．x2＝±6y2．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|＝(

)A．4p B．5pC．6p D．8p解析：因为直线PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.4．已知直线l过点(1，0)且垂直于x轴．若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．(1，0)y2＝3x或y＝－3x课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点利用抛物线的几何性质求标准方程抛物线的通径求抛物线的焦点弦长抛物线的定义及几何性质的应用抛物线的焦半径问题抛物线的焦半径、焦点弦问题抛物线的几何性质题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★考点抛物线的焦半径问题抛物线的焦点弦问题；抛物线与圆的综合抛物线的焦半径问题；利用抛物线的几何性质求标准方程抛物线的焦半径问题；抛物线与圆的综合抛物线的焦点弦问题抛物线的标准方程；抛物线的焦点弦问题抛物线与圆的综合；存在性问题一、选择题1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的标准方程是(

)A．y2＝－11x B．y2＝11xC．y2＝－22x D．y2＝22x2．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为(

)A．18 B．24C．36 D．48二、填空题7．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为__________________．9．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F(0，2)，倾斜角为45°的直线l过点F，若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被y轴截得的弦长为_______．三、解答题10．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒过点Q(6，0)，求抛物线C的标准方程．11．已知抛物线C：y2＝8x，圆F：(x－2)2＋y2＝4，直线l：y＝k(x－2)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是(

)A．|M1M3|·|M2M4|B．|FM1|·|FM4|C．|M1M2|·|M3M4|D．|FM1|·|M1M2|12．如图，已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于28，则抛物线E的方程为________．y2＝8x14．设抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，以点B(a＋4，0)为圆心，|AB|为半径，在x轴上方作半圆，设抛物线与半圆交于不同的两点M，N，P为线段MN的中点．(1)求|AM|＋|AN|的值；(2)试问：是否存在实数a，使得2|AP|＝|AM|＋|AN|？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．解：(1)如图所示，设点M，N，P在抛物线的准线上的射影分别为点M1，N1，P1，则由抛物线的定义，得|AM|＋|AN|＝|MM1|＋|NN1|＝xM＋xN＋2a(xM，xN分别为点M，N的横坐标)．因为抛物线y2＝4ax(a>0)的焦点为A，所以点A的坐标为(a，0)．又B(a＋4，0)，所以|AB|＝4.所以圆的方程为[x－(a＋4)]2＋y2＝16，将y2＝4ax代入，化简，得x2－2(4－a)x＋a2＋8a＝0，所以xM＋x