2026年北京市东城区中考数学二模试卷（含解析）

2026年北京市东城区中考数学二模试卷一、选择题（共16分，每题2分）．1．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．估计的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间3．如图，，直线与直线，分别交于点，，直线与直线交于点．若，，则的度数为（）A． B． C． D．4．五边形的内角和是（）A． B． C． D．5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．6．某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（）A． B． C． D．7．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．88．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①△的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④△有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④二、填空题（共16分，每题2分）9．因式分解：．10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．12．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是分．13．如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为．14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系是，则水流喷出的最大高度是．15．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰△，，点在边上，交于点．若，则长的值为．16．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米小时，师生步行的平均速度为4千米小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”．（1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时分钟（不考虑上、下车时间）；（2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为分钟（不考虑上、下车时间）．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算．18．解不等式，并写出此不等式的非正整数解．19．已知，求代数式的值．20．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为，出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积．21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围．22．如图，在△中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．23．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：．信息处理速度得分统计图：．信息识别准确度得分统计图：．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：信息处理速度得分信息识别准确度得分平均数中位数众数平均数方差甲7.375.64.84乙7.6575.65.74根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中，；（2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是（填正确结论的序号）；①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变．（3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则，4.84，5.74（填“”“”“”．24．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，，求的长．25．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位可取1，2，3或，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下：（日01234567891011时的值01018253035404345464748时的值030455562656768697070时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．（1）观察曲线，当整数的值为时，的值首次超过60；（2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；（3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）．①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第日可实现达标（结果为整数）；②小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是元．26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上．（1）求点的坐标，并用含的式子表示；（2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称．①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由；②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．27．如图，在正方形中，为边上一点，连接，作交的延长线于点，作交于点，过点作交于点，延长交的延长线于点．（1）依题意补全图形；（2）求证：；（3）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义：记点关于点的对称点为点（特别地，当时，与重合），若线段上存在点，，使得，且，则称点是线段的“称角点”．（1）已知点，在点，，中，线段的“称角点”是；（2）已知点，点．①若点，点，线段上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围；②已知点，的半径为1，若存在一个值，使得上存在线段的“称角点”，直接写出的取值范围．

参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．解：、该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；、该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：．2．估计的值在（）A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间解：，，而，故选：．3．如图，，直线与直线，分别交于点，，直线与直线交于点．若，，则的度数为（）A． B． C． D．解：，，．又，．故选：．4．五边形的内角和是（）A． B． C． D．解：五边形的内角和是：．故选：．5．实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．解：观察数轴可知：，，，，，，，选项的结论错误，选项的结论正确，故选：．6．某班学生到首都博物馆参观．博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，它们除正面图案外完全相同．把这些卡片背面朝上洗匀，每位同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．甲、乙两位同学都抽到主题为“伯矩鬲”的卡片的概率是（）A． B． C． D．解：分别以、、表示“伯矩鬲”“堇鼎”“元青花凤首扁壶”为主题的三张文创卡片，甲乙两名同学从中随机抽取一张卡片，根据卡片图案领取相应纪念品，再将卡片放回后洗匀，下一位同学再抽．列表如下：甲乙由列表可知，共有9种等可能的结果，其中甲、乙都抽到“伯矩鬲”的结果只有1种，所求概率为，故选：．7．如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③作射线交于点，则的长为（）A．4 B．5 C．6 D．8解：由作图过程可知，为的平分线，．，，，，．故选：．8．如图，在平面直角坐标系中，点是函数图象上的动点，轴于点．以，为邻边作平行四边形，边与函数图象交于点，连接，．给出以下四个结论：①△的面积恒为2；②点与点的横坐标之比为定值；③点可能是的中点；④△有可能是等边三角形．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③④ D．①④解：点在反比例函数图象上，，四边形是平行四边形，，，故①正确，符合题意；，，，是定值，故②正确，符合题意；若是中点，由，，可得，把代入得，即，矛盾，故③错误，不符合题意；若△是等边三角形，需满足，，，，整理得：，等式左边恒为负数，该方程无解，不存在这样的点，故④错误，不符合题意；正确的是①②．故选：．二、填空题（共16分，每题2分）9．因式分解：．解：，，．10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是．解：由题意得，，解得，，故答案为：．11．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是．解：点关于轴对称的点的坐标为．故答案为：．12．某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占，演唱技巧占，精神面貌占考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分，则该参赛队的最终成绩是93分．解：由题意可得，该参赛队的最终成绩是：（分，故答案为：93．13．如图，是的弦，与相切于点，圆心在线段上．已知，则的大小为20．解：连接，与相切于点，，，，，，故答案为：20．14．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置，喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．若建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系是，则水流喷出的最大高度是．解：水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是，抛物线的顶点坐标为，水流喷出的最大高度是．故答案为：．15．如图，在四边形中，，，以为腰作等腰△，，点在边上，交于点．若，则长的值为．解：，，，，，，，，，，，在等腰△中，，，，，由勾股定理得：，又，，，又，△△，，，，解得：，，故答案为：．16．某中学组织300名师生前往距学校13千米的研学基地，为践行“绿色出行、高效协同”的研学理念，校方经综合评估，调度一辆额定载客50人的新能源巴士，该车行驶的平均速度为60千米小时，师生步行的平均速度为4千米小时．为安全高效抵达，将师生平均分为6组，采取步行与乘车相结合的方式，以实现“各组同时出发、尽早抵达”．（1）若第一组师生先步行2千米，余下的路程坐车，则第一组师生到达研学基地用时41分钟（不考虑上、下车时间）；（2）若从全体师生出发开始，到全体师生都到达研学基地为止，所经历的时间称为总耗时，则总耗时最少为分钟（不考虑上、下车时间）．解：（1）（小时），（分钟）；故答案为：41；（2）设每组乘车千米，则步行千米，全体到达终点的总时间为小时，将300人分为6组，巴士送完一组需要空车返回接下一组，共空车返回5次，由条件可知每次空车返回路程为，巴士行驶总路程为，行驶总时间也为，因此，联立等式得，解得，将代入得总时间（小时），（分钟）．故答案为：83．三、解答题（共68分，第17-22题每题5分，第23-26题每题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算．【解答】解．18．解不等式，并写出此不等式的非正整数解．解：，去分母得，，去括号得，，移项得，，合并同类项得，，的系数化为1得，，该不等式的非正整数解是，，0．19．已知，求代数式的值．解：原式，，，原式．20．花生油是从花生中提取的油脂．普通花生平均每公顷的产量为，出油率为，高油花生平均每公顷的产量比普通花生平均每公顷的产量高，出油率为．某农场去年种植了普通花生，今年改种高油花生，虽然种植面积比去年减少了2公顷，但是产油量比去年提高了．求今年种植高油花生的面积．解：设今年种植高油花生的面积为公顷，根据题意，高油花生每公顷产量为，，解得：，答：今年种植高油花生的面积为18公顷．21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，．（1）求这个一次函数的解析式；（2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于0，直接写出的取值范围．解：（1）把，代入中，得：，解得：，这个函数的解析式为；（2）当时，恒成立，整理右边不等式，得，是增函数，当时，，要使对所有成立，，整理左边不等式，得，是减函数，当时，，要使对所有成立，，综上所述，．22．如图，在△中，，平分交于点，过点作，于点，于点，于点．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：于点，于点，，，，四边形是矩形；（2）解：，，，即，解得：，平分，，于点，，设，则，，，△△，，即，解得，，，，，，△△，，即，．23．从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革．为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组进行了调查统计．数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中随机抽取20名，记录他们对两款软件的评分，对数据整理描述如下：．信息处理速度得分统计图：．信息识别准确度得分统计图：．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表：信息处理速度得分信息识别准确度得分平均数中位数众数平均数方差甲7.375.64.84乙7.6575.65.74根据以上信息，解答下列问题：（1）表格中9，；（2）综合图表中的统计量，下列结论正确的是（填正确结论的序号）；①乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多；②从甲、乙两款软件的信息处理速度得分中各任意删去1个数据后中位数均不会发生改变．（3）使用者对该软件评分大于6分视为高分，否则视为低分．甲、乙两款软件的开发公司加大了研发投入用来提升信息识别准确度．数学兴趣小组邀请之前的20名使用者做第二次调查．经调查：甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变．在第二次调查中，甲款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，；乙款软件的信息识别准确度评分数据的平均数和方差分别记为，．则，4.84，5.74（填“”“”“”．解：（1）根据众数定义可知：使用者对甲款软件的评分中，出现次数最多的是9分，共出现5次，使用者对甲款软件评分的众数为9；将使用者对乙款软件的评分按照从小到大的顺序排列，其中排在第10和11位的是7分和8分，使用者对乙款软件评分的中位数为；故答案为：9，7.5；（2）根据中位数和众数的定义逐项分析判断如下：①由众数的定义可知，乙款软件信息处理速度得分的众数为7，表示参与评分的20人中对其评分为7分的人数最多，该结论正确；②在甲款软件的信息处理速度得分中，任意删去1个数据后，中位数仍然是7，在乙款软件的信息处理速度得分中，若删去得分为5分、6分、7分中的1个数据，则剩余数据的中位数为8，若删去得分为8分、9分、10分中的1个数据，则剩余数据的中位数为7，所以该结论不正确．故答案为：①；（3）甲款软件的所有使用者对信息识别准确度的评分均提升了1分，则新的得分数据为3，3，4，4，4，5，6，6，6，6，7，7，8，8，8，9，9，9，10，10，则这组数据的平均数，，乙款软件的低分使用者对信息识别准确度的评分均提升了2分，高分使用者的评分不变，则新数据为8，8，8，9，3，5，5，5，7，6，6，7，7，4，8，6，8，9，8，7，重新排列为3，4，5，5，5，6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，9，9，则平均数，，，，．故答案为：，，．24．如图，为的直径，点在上，点在的延长线上，过点作交延长线于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，，求的长．【解答】（1）证明：如图1，为的切线，连接，，，，，，，即，，，；（2）解：如图2，为的直径，过点作于点，，，，，，，，，，，，解得，，在直角三角形中，由勾股定理得：，在△中，，，，，在△中，，即，解得：．25．某污水处理厂采用新型微生物制剂净化水质．在投放制剂后，需监测污染物的去除率．记投放制剂后的第日，污染物去除率为（单位：．根据试验数据，对于给定制剂投放量单位可取1，2，3或，可以认为是的函数．当和时，部分数据如下：（日01234567891011时的值01018253035404345464748时的值030455562656768697070时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变．对于给定的，在平面直角坐标系中描出该值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示．（1）观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60；（2）写出表中整数的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线；（3）技术人员小张正在调试制剂投放方案．若去除率达到即可认定为达标．每单位制剂的成本为200元，从第一天开始直至去除率达标，每天会产生100元的运营成本（含达标当天）．①根据函数关系，小张最早在投放制剂后的第日可实现达标（结果为整数）；②小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是元．解：（1）观察曲线，当整数的值为6时，的值首次超过60，故答案为：6；（2）根据题意，时，从第2日起，每日比前一日增加的去除率逐渐减少或保持不变，由表中数据可知，，解得，故整数；（3）①结合（2），观察曲线，可知小张最早在投放制剂后的第5日可实现达标，故答案为：5；②结合题意可知，当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加，当时，直至第11日仍无法达标，此时总成本为元，若要达标成本会继续增加，当时，至第6日达标，此时总成本为元，当时，至第5日达标，此时总成本为元，，小张应选择单位制剂投放方案，总成本最低，最低是1200元，故答案为：3，1200．26．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，将点向右平移4个单位长度，得到点，点在抛物线上．（1）求点的坐标，并用含的式子表示；（2）将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，与抛物线在轴右侧的部分形成新的图形．点与点关于抛物线的对称轴对称．①当时，判断图形与线段公共点的个数，并说明理由；②若图形与线段恰有一个公共点，直接写出的取值范围．解：（1）将代入，得：，点的坐标为，点由点向右平移4个单位长度得到，点的坐标为，将点代入，得：，；（2）①3个；理由如下：，，抛物线的对称轴为直线，点与点关于抛物线的对称轴对称，点的坐标为，抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，翻折后的解析式为，即，图形的解析式为，当时，，如图，将代入，得：，解得：或，，图形在轴右侧与线段有2个公共点；将代入，得：，解得：或（正值，舍去），，图形在轴左侧与线段有1个公共点；综上所述，图形与线段共有3个公共点；②由①可知，，（Ⅰ）当图形与线段的公共点在轴的右侧时，将代入，得，，图形与线段只有1个公共点，△或△，但只有一根在内，当△时，，，，此时，符合题意；当△时，，解得：或，，解得：，两根关于直线对称，且只有一根落在，只需满足，即，，解得：，满足△，将代入，得：，左侧部分无公共点，△或△，但根都不在内，当△时，，解得：，当△时，解得：，由对称性可知，只需满足或，解得：，综上所述，当时，图形与线段只有一个公共点，且在轴的右侧；（Ⅱ）当图形与线段的一个公共点在轴的左侧时，将