2026年北京市石景山区中考数学二模试卷（含解析）

2026年北京市石景山区中考数学二模试卷一、选择题（共16分，每小题2分）.1．如图所示正三棱柱的主视图是（）A． B． C． D．2．算力是衡量国家竞争力的重要指标之一．近几年，我国智能算力增长迅猛．据统计，2024年底，我国智能算力约为次浮点运算秒；2025年底，我国智能算力约为2024年底的2.2倍，达到次浮点运算秒．则的值约为（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A． B． C． D．4．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．5．不透明的袋子中装有黑、白两种球，它们除颜色外其他都相同，其中白球有2个，黑球有个，从袋中随机摸出一个球，记录下颜色后放回并摇匀，经过大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．56．如果，那么代数式的值为（）A．1 B．2 C．3 D．47．已知锐角．如图，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接；（3）连接，，分别交，于点，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．8．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）．有以下结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空题（共16分，每小题2分）9．若代数式有意义，则实数的取值范围是．10．分解因式：．11．方程的解为．12．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则（填“”“”或“”．13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将△沿轴向右平移得到△，若四边形的面积为6，则点的坐标为．15．如图，矩形中，在上，连接，，将△沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则，，两点间的距离为．16．某校运动会上，4名运动员参加100米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名7分，第二名4分，第三名2分，第四名1分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得23分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得9分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分．（1）总分第一名的运动员，获得个单项第一名；（2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为分．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．18．解不等式组：．19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为负整数，求此时方程的根．20．在△中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的长．21．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的1份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表：材等一等二等三等四等五等六等1份实际长度（寸0.60.550.50.480.440.4书中记载：栌斗的长度为32份，高度为20份；华栱的长度为72份，高度为21份；散斗的长度为16份，高度为10份．如图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态．某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为24.4寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．22．在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．23．的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统，，的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下：．系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33．．系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29．．三款系统响应时间的平均数、众数、方差：系统平均数众数方差2611.52627.0525.515.25（1）表中的值为，的值为；（2）已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断款系统的响应时间更稳定（填“”或“”或“”；（3）为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统，，的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下：系统评分0，0，0，0，2，2，2，2，2，0，2，1，3，1，1，0，2，3，10，1，1，0，1，1，2，2，，根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件：①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分．已知只有两套系统的准确性达标，则的最大整数值是．24．如图，过点作的两条切线，切点分别为，，延长交于点，过点作的平行线，交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．25．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：，实验所得部分数据如下：0510152025354555658080.072.165.259.254.049.542.136.732.629.426.080.066.455.947.841.636.730.026.023.622.120.9通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．（1）在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象．（2）根据以上数据与函数图象，解决以下问题：①当时，1号杯和2号杯的水温相差（精确到个位）；②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为（精确到个位）．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（1）求该抛物线的对称轴；（2），是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点．①当，时，比较，的大小；②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围．27．在△中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接．（1）如图1，当点在的延长线上且时，记，的交点为，连接．求证：；（2）如图2，当点在的延长线上时，取的中点，连接．用等式表示线段与的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系中，给定图形和两点，．若图形上存在两个不重合的点，，使得将点沿方向平移线段的长度后得到的点与将点沿方向平移线段的长度后得到的点重合，则称点与点关于图形双向合．已知点，，．（1）在点，，中，与原点关于线段双向合的点是；（2）若点是△的边上一点，且点与点关于线段双向合，求点的坐标；（3）点是直线上一动点，以为圆心作半径为1的．当点运动时，对于上任意一点，都能在△的边上找到一点，使得，两点关于双向合，直接写出点的纵坐标的取值范围．

参考答案一、选择题1．如图所示正三棱柱的主视图是（）A． B． C． D．解：从正面看，是一行两个相邻的矩形．故选：．2．算力是衡量国家竞争力的重要指标之一．近几年，我国智能算力增长迅猛．据统计，2024年底，我国智能算力约为次浮点运算秒；2025年底，我国智能算力约为2024年底的2.2倍，达到次浮点运算秒．则的值约为（）A． B． C． D．解：．故选：．3．下列运算正确的是（）A． B． C． D．解：选项，根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．，因此选项错误；选项，根据完全平方公式：，因此选项错误；选项，根据二次根式的化简：，因此选项错误；选项，根据平方差公式：，因此选项正确．故选：．4．实数，，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A． B． C． D．解：由所给数轴可知，，则，，，，显然只有选项符合题意．故选：．5．不透明的袋子中装有黑、白两种球，它们除颜色外其他都相同，其中白球有2个，黑球有个，从袋中随机摸出一个球，记录下颜色后放回并摇匀，经过大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（）A．2 B．3 C．4 D．5解：根据题意，可得摸出白球的概率是0.4，即，解得，经检验：是分式方程的解且符合题意．故选：．6．如果，那么代数式的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4解：原式，，，原式．故选：．7．已知锐角．如图，（1）在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接；（2）分别以点，为圆心，长为半径作弧，交于点，，连接；（3）连接，，分别交，于点，．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A． B． C． D．解：如图，连接．由作图可知，，，，故选项，正确；，，故选项正确．无法判断，故选项错误．故选：．8．如图，直线，，分别在，上，平分，平分，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合）．有以下结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③解：①延长交于点，如图1所示：平分，，直线，，，，即△是等腰三角形，又平分，根据等腰三角形的性质得：，，即，故结论①正确；②延长交于点，过点的直线与直线，分别交于点，（不与点，重合），如图2所示：直线，，在△和△中，，△△，，故结论②正确；③依题意有以下两种情况：（ⅰ）当点，都在的右侧时，如图3①所示：△△，，，又，，（ⅱ）当点，在的两侧时，又有两种情况：（a）当点在的左侧，点在的右侧时，如图3②所示：同理证明：△△，，，，（b）当点在的右侧，点在的左侧时，如图3③所示：同理证明：△△，，，，故结论③不正确，综上所述：正确结论的序号是①②．故选：．二、填空题（共16分，每小题2分）9．若代数式有意义，则实数的取值范围是．解：，．故答案为：．10．分解因式：．解：，故答案为：．11．方程的解为．解：原方程去分母得：，解得：，检验：当时，，故原分式方程的解为，故答案为：．12．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则（填“”“”或“”．解：，反比例函数的图象在二、四象限，，点，在第四象限，随的增大而增大，．故答案为：．13．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为，．解：当，，则，．故答案为：；3．14．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴上，将△沿轴向右平移得到△，若四边形的面积为6，则点的坐标为．解：点的坐标为，四边形的面积为6，，点的坐标为，即．故答案为：．15．如图，矩形中，在上，连接，，将△沿翻折，点的对应点恰好落在上．若，，则2，，两点间的距离为．解：连接，四边形是矩形，点在上，，，，将△沿翻折，点的对应点落在上，，，，，，，，，，，，点与点关于直线对称，垂直平分，，，，，，两点间的距离为，故答案为：2，．16．某校运动会上，4名运动员参加100米跑、立定跳远、实心球、跳高四项全能比赛．每个单项计分规则：第一名7分，第二名4分，第三名2分，第四名1分．四项比赛全部结束后，统计比赛结果，发现每个单项无并列名次，总分第一名得23分，且该运动员实心球得分低于另外三个单项得分；总分第三名得9分，且该运动员实心球得分高于另外三个单项得分．（1）总分第一名的运动员，获得3个单项第一名；（2）总分第二名的运动员，在实心球项目中的得分为分．解：（1）由题意，单项得分：7，4，2，1，共4个项目．设第一名拿到个第一名（单项7分），剩余个项目总得分为，①若：总分为，舍去；②若：剩余得分，对应单项得分只有2，符合规则；③若：剩余得分，剩余2项最高得分，无解；④、0时总分更低，均不成立．又实心球得分低于另外三项该选手3项得7分、1项得2分，实心球只能是得2分的项目，满足题意．第一名获得3个单项第一名．故答案为：3；（2）由题意得，单个单项总分：，四项比赛全体总分：，设第二名总分为，第四名总分为，．排名，且分数为整数，，．设第三名四项得分依次为，，，为实心球得分），满足，得分只能取7，4，2，1，若，剩余三项和最小为，总分至少，．剩余三项和：，只能拆为：，即第三名实心球得4分，其余三项为2、2、1．单项名次分数：第一名7分、第二名4分、第三名2分、第四名1分，且总分第一名在实心球得2分（对应单项第三名），总分第三名在实心球得4分（对应单项第二名），剩余实心球单项名次：第一名、第四名（1分），归属总分第二名、第四名，结合第一名得分分布判断总分第一名：3个项目得7分（单项第一）、实心球得2分，另外三个项目的第一名都被第一名拿走，实心球项目的第一名只能由总分第二名获得．第二名在实心球项目得分为7分．三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17．计算：．解：原式．18．解不等式组：．解：，解不等式①可得：，解不等式②可得：，不等式组的解集为．19．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求的取值范围；（2）若为负整数，求此时方程的根．解：（1）由题可得：，解得；（2）若为负整数，则，此时原方程为，解得，．20．在△中，，是的中点，点在边上，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接并延长到点，使得，连接．（1）求证：四边形为平行四边形；（2）若，，，求的长．【解答】（1）证明：，是的中点，，，垂直平分，，，，，，四边形为平行四边形；（2）解：，，，，是的中点，，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，．21．《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的1份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表：材等一等二等三等四等五等六等1份实际长度（寸0.60.550.50.480.440.4书中记载：栌斗的长度为32份，高度为20份；华栱的长度为72份，高度为21份；散斗的长度为16份，高度为10份．如图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态．某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为24.4寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．解：设第一种材等1份的实际长度为寸，第二种材等1份的实际长度为寸，第一种材等杭斗实际长度第二种材等华棋实际高度寸，杭斗长32份，华棋高21份，因此得；第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得，，解得，对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材，因此两种材等分别为三等材、六等材．22．在平面直角坐标系中，直线与的图象交于点．（1）求，的值；（2）当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，直接写出的取值范围．解：（1）直线与的图象交于点．，，解得，；（2）由（1）可知，直线与，一次函数过点，如图：直线与交于点，把代入得，解得，当时，对于的每一个值，函数的值既小于函数的值，又小于函数的值，的取值范围为．23．的发展使人们的生活更加便利和高效．某科技公司正在研制作业批改系统，为测试三款不同系统，，的响应时间，分别记录它们批改同一批20份作业的响应时长（单位：秒），数据如下：．系统的响应时长：20，21，22，23，23，24，24，25，25，26，26，26，27，27，28，29，29，30，32，33．．系统的响应时长：23，24，24，25，25，25，26，26，26，26，26，26，27，27，27，28，28，28，29，29．．三款系统响应时间的平均数、众数、方差：系统平均数众数方差2611.52627.0525.515.25（1）表中的值为26.25，的值为；（2）已知系统响应时间的方差越小时，系统的响应时间越稳定．结合数据分布特点，可判断款系统的响应时间更稳定（填“”或“”或“”；（3）为评估批改系统的准确性，工作人员测试10篇作业，记录以上三款系统，，的评分与人工评分的误差绝对值（单位：分，且为非负整数），数据如下：系统评分0，0，0，0，2，2，2，2，2，0，2，1，3，1，1，0，2，3，10，1，1，0，1，1，2，2，，根据公司制定的批改系统的准确性标准，误差数据需同时满足以下两个条件：①误差绝对值的平均数不超过1.2分；②误差绝对值的中位数不超过1分．已知只有两套系统的准确性达标，则的最大整数值是．解：（1）系统的平均数：，系统数据中，众数为：，故答案为：26.25，26；（2）系统的方差为：，则系统最稳定，故答案为：；（3）系统误差绝对值的平均数为：，则不满足准确性标准，系统和系统满足条件，则系统误差绝对值的平均数为：，，当时，中位数为，不满足条件；当时，中位数为不满足条件；当时，中位数为，满足条件；则系统误差绝对值的平均数为：，，，当时，中位数为：1，则满足条件；故的最大整数值为：4，故答案为：4．24．如图，过点作的两条切线，切点分别为，，延长交于点，过点作的平行线，交于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【解答】（1）证明：连接交于点，如图，为的切线，，，，；（2）解：连接并延长交于点，如图，，，，，，，设，则，，为直径，，，四边形为矩形，，，，，在△中，，，，即，解得，，，，、为切线，，，在△中，，即，解得．25．为探究不同材质保温材料的保温性能，某物理兴趣小组选取甲、乙两种保温材料，制作了除保温层材质外，其余结构、容量均完全相同的两个保温杯进行实验．他们向两个保温杯中装入质量相同的水，用电加热器同时将两杯水加热至相同的初始温度后停止加热，并立即盖紧杯盖．记以甲材料为保温层的为1号杯，以乙材料为保温层的为2号杯，将两个保温杯置于恒定的相同室温环境中．在实验的第（从停止加热开始计时），记录1号、2号杯中水的温度分别为，（单位：，实验所得部分数据如下：0510152025354555658080.072.165.259.254.049.542.136.732.629.426.080.066.455.947.841.636.730.026.023.622.120.9通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．（1）在同一平面直角坐标系中，已画出与的函数图象，且已描出与的部分对应点．请根据表格中的数据，补全表格中未描出的其余对应点，并用平滑的曲线画出与的完整函数图象．（2）根据以上数据与函数图象，解决以下问题：①当时，1号杯和2号杯的水温相差11（精确到个位）；②某种茶叶用的水冲泡，待茶水温度降至时饮用口感最佳．小石直接向1号杯和2号杯中分别倒入的水冲泡该茶叶（忽略冲泡过程中的热量损失）．从盖紧杯盖开始计时，1号杯茶水经过约（精确到个位）后饮用口感最佳，此时2号杯中茶水的温度为（精确到个位）．解：（1）画出函数图象：（2）①当时，，，，故答案为：11；②从图象上可得，1号杯茶水经过约，此时2号杯中茶水的温度为，故答案为：18，42．26．在平面直角坐标系中，抛物线经过点．（1）求该抛物线的对称轴；（2），是抛物线上两点．过点作轴的垂线，交直线于点．①当，时，比较，的大小；②当时，线段的长随的增大而增大，求的取值范围．解：（1）抛物线经过点，，，抛物线的对称轴为直线；（2）由（1）可得，抛物线的表达式为，，，，，过点作轴的垂线，交直线于点．当时，解得，，；①当，时，，，；②：，，点关于直线的对称点，抛物线开口方向向上，当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，，，作出函数图象如图：线段的长随的增大而增大，或，解不等式组得，而，，解得，，与矛盾，故舍去，综上：的取值范围是27．在△中，，，为直线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接