小学二年级数学：连乘、连除运算的模型建构与问题解决导学案

小学二年级数学：连乘、连除运算的模型建构与问题解决导学案

  一、设计理念与理论基础

  本导学案以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，立足于小学二年级学生的认知发展规律与数学学习心理，致力于实现从“知识传授”向“素养培育”的根本性转变。设计的核心指导思想是：将“连乘、连除”从孤立的运算技能，升华为学生在解决真实、复杂问题时可主动调用的数学模型与思维工具。我们摒弃机械操练的窠臼，强调在“情境—问题—探究—建模—应用”的完整认知链中，实现知识的意义建构。

  理论支撑主要来自以下三个方面：一是建构主义学习理论，强调学习是学习者在原有认知结构基础上，通过同化与顺应，主动建构内部心理表征的过程。因此，本设计通过创设贴近学生经验的“结构化情境”，引导其发现、提出关于“几个几相加”或“连续等分”的数学问题，从而自发产生对连乘、连除运算的内在需求。二是深度学习理论，关注知识的关联、整合与迁移。我们将连乘、连除置于整个“数与运算”主题的宏观脉络中，引导学生追溯其与乘、除法基本意义的关联（如连乘是“求几个相同加数的和”的简便运算的再抽象，连除是“等分除”与“包含除”的综合应用），并前瞻其作为后续学习乘除法运算律、两步计算实际问题的基础性地位。三是问题解决教学理论，以波利亚的“怎样解题”表为方法论指导，设计具有启发性的“问题链”和“学习任务单”，引导学生经历“理解题意、制定策略、执行操作、回顾反思”的完整解题过程，尤其注重解题策略的多样化与优化，以及对数学模型（如乘法模型、除法模型）的提炼与概括。

  本设计秉持跨学科整合理念，虽以数学学科为核心，但情境创设与问题背景有机融入了劳动教育（如分组种植）、美术（图案排列）、体育（队列分组）等元素，旨在培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维思考现实世界、用数学语言表达现实世界的综合素养。

  二、学习目标解析

  （一）知识与技能目标

  1.理解连乘、连除运算的意义：能结合具体情境，解释诸如“2个3棵再乘4组”或“24个苹果先分给2个班，每班再分给3个小组”等情境中连乘、连除算式的实际含义，建立运算与情境的对应关系。

  2.掌握运算顺序：通过计算与说理，明确连乘、连除运算属于同一级运算，应按照从左到右的顺序依次计算，并能正确、熟练地进行计算（数据范围初步限定在表内乘除法及其简单延伸，如2×3×4，24÷2÷3）。

  3.形成初步的简算意识：在具体计算中，能通过观察数字特点，初步感知乘法中因数交换位置积不变的规律在连乘中的应用（如2×4×3可以先算2×4=8，再算8×3=24），但不做抽象概括要求。

  （二）过程与方法目标

  1.发展问题解决能力：能从包含多重数量关系的真实情境中，识别出需要用连乘或连除两步计算解决的问题，并能通过摆一摆、画一画（如点子图、长方形阵列图、线段示意图）、列一列（分步算式）等多种策略分析和解决问题。

  2.经历模型建构过程：在解决一系列具有共同结构特征的问题后，能初步归纳出“连乘问题”（通常求总数，涉及每份数、份数的多层次累加）和“连除问题”（通常将总数进行多次等分，或多次求每份数）的基本模型，并尝试用连乘或连除综合算式进行表征。

  3.提升数学交流与推理能力：能清晰表达自己解决问题的思路，说明每一步计算的实际意义；能倾听并理解他人的不同解法，通过比较、质疑，初步进行合情推理，理解不同解法之间的联系。

  （三）情感、态度与价值观目标

  1.感受数学与生活的密切联系，体验用数学知识解决实际问题的乐趣与价值，增强学习数学的内在动机。

  2.在小组合作探究中，养成乐于合作、勇于表达、认真倾听的学习习惯。

  3.面对稍复杂的数学问题，能表现出克服困难的信心和耐心，形成严谨求实的科学态度。

  三、学习重点与难点研判

  学习重点：理解连乘、连除运算在实际情境中的意义，掌握运算顺序，并能用两步连乘或连除解决简单的实际问题。

  学习难点：从复杂情境中抽象出连乘或连除的数学模型，理解综合算式中每一步计算所对应的具体情境含义。特别是连除问题，学生容易混淆两次“分”的对象和意义。

  四、学习准备与环境创设

  （一）学习者分析

  本导学案面向的是即将升入三年级的小学二年级学生。他们已经熟练掌握了表内乘除法，具备了用乘除法解决一步计算实际问题的基本能力。在认知特点上，该年龄段学生以具体形象思维为主，正逐步向抽象逻辑思维过渡。他们的注意力持续时间有限，但对生动、有趣、可操作的学习活动抱有浓厚兴趣。可能存在的认知前概念是：对乘法的理解固化为“每份数×份数”，对除法的理解分为“等分除”和“包含除”，但尚不能灵活处理隐含两个或以上层次数量关系的问题。常见错误可能包括：面对多步问题直接一步计算，或随意组合数字进行运算，以及对运算顺序的忽视。

  （二）学习资源与环境

  1.数字化学习环境：配备交互式电子白板或平板电脑，用于动态呈现情境、展示学生作品（拍照上传）、进行互动游戏练习。

  2.实物与学具：每小组准备小立方体积木（或圆片、小棒）若干（至少24个）、学习任务单、彩色笔、A4纸。

  3.情境创设材料：准备关于校园农场种植、图书馆整理书籍、运动会队列编排等场景的图片或简短视频。

  4.学习任务单（导学案）：设计包含“情境与问题”、“探究与发现”、“建模与归纳”、“练习与应用”、“反思与提升”等环节的梯度式学习单。

  五、学习过程实施详案

  （一）第一阶段：激活经验，情境入境（预计时长：15分钟）

  核心任务：唤醒学生关于乘除法意义的已有认知，在贴近生活的新情境中产生认知冲突，明确本课要解决的核心问题。

  1.温故知新，快速反应：

    教师利用互动软件，快速呈现一系列乘、除法口算题（如4×6，28÷7）和一步解决的实际问题图片（如“一盒蛋糕有8块，3盒有多少块？”，“把15个气球平均分给5个小朋友，每人几个？”）。要求学生快速口答，并简要说出算式所表示的意思。此环节旨在激活学生关于乘除法作为“求几个几之和”与“等分”或“包含”运算的原有图式。

  2.创设复合情境，提出挑战性问题：

    播放一段简短的微视频或展示一组图片：“阳光小学二年级的同学们负责管理学校的‘快乐农场’。今天，他们要为农场里的蔬菜苗搭建小棚子。我们来看看他们是怎么分的：（1）老师把同学们分成了4个大组；（2）每个大组里又有3个合作小组；（3）现在，老师要给每个合作小组发2个搭建材料包。”

    画面定格，教师提出问题：“根据这些信息，你能提出什么数学问题吗？”引导学生提出诸如“每个大组能得到几个材料包？”、“一共需要准备多少个材料包？”等问题。对第一个问题，学生可轻易用一步乘法（3×2）解决。聚焦第二个问题：“要算出一共需要多少个材料包，你现在能直接一步算出来吗？为什么感觉有点复杂？”

    学生通过讨论会发现，需要知道“有几个小组”和“每组几个包”，但“有几个小组”这个信息没有直接给出，它隐藏在“4个大组，每组3个小组”里。教师板书关键信息：4个大组，每组3个小组，每组（指合作小组）2个包。引出核心问题：“要解决‘一共需要多少个材料包’这个问题，我们需要几步思考？先算什么，再算什么？”

  （二）第二阶段：探索建构，多维表征（预计时长：25分钟）

  核心任务：通过动手操作、直观图示、语言表述、算式记录等多种方式，深度理解连乘问题的数量关系，建构解题模型。

  1.动手操作，直观感知：

    发放学具（小立方体）。提出任务：“请用你手中的小方块，摆出‘一共需要多少个材料包’的情况。你可以用1个小方块代表1个材料包。”教师巡视，观察学生的摆法。预计会出现两种典型的摆法：（1）先摆出4堆代表4个大组，每堆里再摆出3小堆代表3个小组，最后在每个小组的小堆里放2个方块；（2）直接摆出若干堆，每堆2个，然后试图数出一共有几堆（即几个小组）。

    请采用不同摆法的学生上台展示。引导学生对比：第一种摆法清晰地反映了“大组—小组—包”的三层结构；第二种摆法直接聚焦在最基本的单位“每小组2个包”和“小组总数”上。教师追问：“不管怎么摆，我们都需要先知道什么？（小组的总数）小组的总数怎么算？”引出第一步：4×3=12（个），表示有12个合作小组。

  2.图示表征，厘清关系：

    在学生操作的基础上，引导他们将自己的摆法“画”下来。介绍两种常用的图示法：

    （1）矩形阵列图：用一个大长方形表示所有材料包，先横着看作4行（代表4个大组），每行再分成3列（代表每大组3个小组），这样整个长方形就被分成了4×3=12个小格，每个小格里画2个点（代表每小组2个包）。引导学生观察：总包数=每格点数×格数=2×(4×3)。

    （2）树状结构图（思维导图雏形）：在中心写下问题“总包数？”，分支出“小组数”和“每小组包数”。其中“小组数”再分支出“大组数（4）”和“每大组小组数（3）”。用箭头和文字标明关系。

    通过画图，将具体的操作抽象为半直观的图形，帮助学生厘清数量间的层次关系。

  3.算式表达，意义关联：

    要求学生用算式记录自己的思考过程。鼓励分步列式：先算小组数4×3=12（个），再算总包数12×2=24（个）。教师板书分步算式。

    关键提问：“能把这两个算式合并成一个算式吗？”学生可能写出4×3×2。教师板书这个综合算式，并隆重介绍：“像这样，算式里有两个乘号，连续乘两次，我们称之为‘连乘’。”领读算式：4乘3再乘2。

    深入讨论：“在4×3×2这个算式中，先算的4×3表示什么？（小组总数）再算的12×2表示什么？（总包数）”必须让每一个数字和运算符号在情境中找到其意义归宿。这是突破难点的关键。

    拓展思考：“还有不同的列式方法吗？”启发学生从不同的角度理解：也可以先算一个大组需要几个包（3×2=6个），再算4个大组共需几个包（6×4=24个）。列出综合算式：3×2×4。引导学生对比4×3×2和3×2×4，发现虽然运算顺序不同，但都是连续乘两次，结果相同，初步感受运算顺序的可调整性（为后续乘法结合律埋下伏笔），但强调通常按从左到右顺序计算。

  4.归纳建模，提炼结构：

    引导学生回顾解决问题的过程：我们遇到了一个不能一步计算的问题→我们找到了隐藏的中间问题（小组总数）→我们先解决了中间问题→再利用中间问题的结果解决了最终问题。这种需要两步乘法解决的问题，我们就可以用“连乘”算式来简洁地表示。初步提炼连乘问题的模型：总数=每份数①×份数①×份数②（或其它顺序组合），其中“份数①×份数②”oftenyieldsthetotalnumberofunits.

  （三）第三阶段：迁移类比，探究连除（预计时长：25分钟）

  核心任务：运用探究连乘的方法论，通过类比迁移，自主或合作探究连除问题的意义、解法与模型。

  1.情境切换，问题类比：

    呈现新情境：“材料包发下去了，大家开始干活。结束后，同学们收获了劳动果实——总共摘了24个新鲜的大番茄，准备分享。分享方案是：（1）先平均分给二年级的2个班级；（2）每个班级领到番茄后，再平均分给班级里的3个活动小组。”

    提出问题：“每个活动小组能分到几个番茄？”

    引导学生识别这与刚才的问题有何异同：相同点是都有多层关系（总量→班级→小组）；不同点是刚才已知“每份数”求“总数”（连乘），现在是已知“总数”求“每份数”（连除）。

  2.合作探究，策略多元：

    学生以小组为单位，借助学具（24个小方块代表番茄）、画图、列式等方法尝试解决问题。教师提供学习任务单，提示探究步骤：①摆一摆或画一画，表示出分的过程；②想一想，先算什么，再算什么；③写一写，列出分步算式，并尝试合并。

    小组展示环节至关重要。预计的解决路径：

    （1）操作/图示路径A（先分班级，再分小组）：先把24个方块平均分成2堆，表示分给2个班，每堆12个；再把其中一堆12个方块平均分成3小堆，表示一个班内分给3个小组，每小堆4个。列式：先算每班得几个，24÷2=12（个）；再算每小组得几个，12÷3=4（个）。

    （2）操作/图示路径B（先求小组总数，再直接均分）：先算出如果直接分给所有小组，一共有多少个小组？2个班×每班3组=6个小组。然后直接把24个方块平均分成6堆，每堆4个。列式：先算总小组数，2×3=6（个）；再算每小组得几个，24÷6=4（个）。

    （3）画图路径：用一条线段表示24个番茄，先平均分成2段，每段标“12个（1班）”，再将其中一段平均分成3小段，每小段标“4个（1组）”。

  3.算式抽象，意义阐释：

    教师板书两种分步算式：A.24÷2=12（个），12÷3=4（个）；B.2×3=6（个），24÷6=4（个）。重点聚焦于路径A，因为它更直接对应“连续分”的过程。

    提问：“能把路径A的两个算式合并吗？”引出连除算式：24÷2÷3。板书并领读：24除以2再除以3。

    开展“算理讲解”活动：指名学生在算式“24÷2÷3”下面，结合情境说出每一步计算的含义。“先算24÷2，表示把24个番茄平均分给2个班，每个班分到12个；再算12÷3，表示把其中一个班的12个番茄平均分给3个小组，每个小组分到4个。”

    对比路径B的算式：24÷(2×3)。这里出现了小括号，虽然这是后续课程的内容，但可以借此机会让学生初步感知，有时可以先算出“总的份数”。明确告诉学生，像24÷2÷3这样连续除两次的算式，叫“连除”。

  4.对比建模，深化认知：

    将连乘问题（材料包）和连除问题（分番茄）的情境结构图并列展示。引导学生发现其“互逆”关系：连乘是“由部分到整体”的合成，连除是“由整体到部分”的分解。提炼连除问题的两种基本模型：模型A（连续等分）：总数÷份数①÷份数②=最终的每份数；模型B（求包含的包含）：总数÷(份数①×份数②)=最终的每份数。强调理解每一步除法的具体含义是掌握连除的关键。

  （四）第四阶段：分层巩固，灵活应用（预计时长：20分钟）

  核心任务：通过有梯度、有层次的练习，巩固运算技能，提升在变化的情境中识别模型、灵活应用的能力。

  1.基础巩固层（意义理解与顺序掌握）：

    （1）看图列式（连乘、连除各一）。提供直观的阵列图或分组示意图，要求学生列出综合算式并计算。

    （2）根据算式编故事。给出算式如5×2×3和18÷3÷2，让学生结合生活实际编一道能用该算式解决的问题。此练习能深度检验学生对运算意义的理解。

    （3）计算小能手。一组连乘、连除的口算与笔算题，强调运算顺序。如：3×2×4，30÷5÷2，4×3×0，16÷4÷2（注意0和1的特性）。

  2.综合应用层（模型识别与问题解决）：

    （1）条件匹配与问题选择。呈现一个多条件情境（如图书馆有4个书架，每个书架有3层，每层放了5本书），并给出几个问题（a.每个书架放几本？b.一层放几本？c.一共放几本？）。要求学生选择合适的信息解决指定问题，并列出综合算式。这训练学生筛选信息的能力。

    （2）对比练习。出示两道结构相似但运算不同的问题。

      题A（连乘）：一盒巧克力有6块，一层能放4盒，一个货架有3层。一个货架有多少块巧克力？

      题B（连除）：48块巧克力，平均放在2个货架上，每个货架有3层。平均每层放几块？

      引导学生通过画关键词（“有…”、“平均…”）、分析是“求总”还是“求每份”来区分该用连乘还是连除。

    （3）策略多样化练习。出示一道可用不同方法解决的连除或连乘问题，鼓励学生用两种方法解答并交流。例如：“36个同学跳绳，每3人一组，平均分成4个大组比赛，每个大组有多少个跳绳小组？”既可以先算总组数36÷3=12(组)，再算每大组包含的小组数12÷4=3(组)；也可以先算…（假设另一种方法）。

  3.拓展挑战层（思维提升）：

    （1）错例分析。呈现典型错误，如“小明说：计算2×4÷2，可以先算4÷2=2，再算2×2=4，这样算更简便。他说的对吗？”引导学生讨论运算顺序的规则，并思考在什么特殊情况下结果会相同（此处因为2×4÷2=4，先算4÷2再乘2也得4），但强调必须遵循运算顺序，简便算法需在掌握规则后学习。

    （2）简单规律探究。计算一组得数相等的连乘算式，如(2×3)×4和2×(3×4)，观察特点，用语言描述“先乘前两个数，或先乘后两个数，积是一样的”，不做“乘法结合律”的术语灌输，只做感性积累。

    （3）开放设计题。提供一些数字和基本情境框架（如“饼干”、“包装盒”、“箱”），让学生自己设计一道连乘或连除问题并解答。这是创造性的输出，能最高水平地反映学生对模型的掌握程度。

  （五）第五阶段：总结反思，评价提升（预计时长：10分钟）

  核心任务：引导学生系统梳理所学知识、方法、思想，进行自我评价，并布置实践性作业，将学习延伸至课外。

  1.知识树建构：

    教师引导学生共同绘制本课的“知识思维导图”。中心词为“连乘与连除”，主干分支包括：意义（与乘除法意义的关系）、运算顺序（从左往右）、解决问题（步骤：找信息→析关系→定步骤→列式解答→检查；模型：连乘求总数、连除求每份数）、学习方法（操作、画图、说理）等。由学生口述，教师板书完善。

  2.反思性提问：

    “今天你最大的收获是什么？是用什么方法学会的？”

    “在解决连乘或连除问题时，你觉得最关键的一步是什么？（分析数量关系，找出‘中间问题’）”

    “你觉得自己在今天的合作学习或表达交流中表现如何？还有哪里可以做得更好？”

  3.多维评价设计：

    （1）过程性评价：教师观察学生在操作、讨论、汇报中的参与度、合作性和思维表现，给予即时口头评价。

    （2）作品评价：对学生的学习任务单完成情况、图示作品进行评价，关注其思维的条理性和创新性。

    （3）自我评价：设计简单的“学习收获卡”，让学生用画星星或写一句话的方式，评价自己对本课知识、方法、兴趣三个维度的掌握情况。

  4.实践性作业布置（二选一）：

    （1）家庭小调查：回家后，寻找家中物品（如书籍、水果、玩具）的堆放或分配情况，尝试提出一个用连乘或连除解决的数学问题，并讲给家人听。

    （2）数学日记：以“今天我发现了连乘（或连除）的秘密”为题，写一篇简短的数学日记，记录自己的学习过程和心得。

  六、跨学科视野与素养贯通点说明

  1.与劳动教育的融合：本课主情境“校园农场管理”取材于劳动实践。在解决数学问题的同时，学生潜移默化地理解了劳动中的组织分工（分组）、资源分配（材料、果实）等实际问题，体现了劳动的计划性与数学的严谨性。

  2.与科学探究方法的融合：本课强调“观察情境—提出问题—提出假设（列式）—验证假设（操作计算）—得出结论（解决问题）—应用推广”的学习路径，这与科学探究的基本流程高度一致，培养了学生的实证精神和逻辑推理能力。

  3.与语言表达的融合：贯穿始终的“说算理”、“编故事”、“交流解法”等活动，极大地锻炼了学生的数学语言组织与表达能力，实现了从“内部