小学数学五年级上册“小数除法”单元整体教学设计与拔尖训练导学案（北师大版）

小学数学五年级上册“小数除法”单元整体教学设计与拔尖训练导学案（北师大版）

  单元整体解读与设计理念

  小数除法是整数除法、小数意义与性质等知识的自然延伸与综合应用，是小学阶段“数与运算”领域承前启后的核心内容，其掌握程度直接关系到学生数感、运算能力及初步数学模型思想的建立。本单元的学习不仅是算法技能的获得，更是对除法意义理解从整数域向小数域的一次深刻扩展，是对“计数单位”这一核心概念一致性的进一步体悟。本设计严格遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》理念，以发展学生核心素养为导向，超越传统的分课时孤立教学与题海战术，采用“单元整体建构”与“问题链驱动探究”相结合的模式。设计聚焦于打通知识间的内在联系，将23个关键知识点、能力点与思想方法点有机整合于“算理-算法-应用”的主线中，通过结构化导图引领新知回顾，依托真实或拟真的复杂情境展开深度讲练，并设计梯度分明的真题与拔尖挑战，旨在引导学生完成从掌握基础技能到形成迁移能力，再到初步具备数学思维深度的跃升，共计涵盖典型问题63题，以满足差异化教学与拔尖创新人才培养的需求。

  一、单元学习主题与内容结构分析

  1.核心主题：基于计数单位细分的除法运算意义探索与结构化算法构建。

  2.内容结构网络（思维导图核心）：

  *根基层（意义与算理）：除法意义的拓展（等分除、包含除在小数情境下的统一）；计数单位（个、十、百分之一、千分之一等）在除法过程中的分解与重组；商不变性质在小数除法中的核心杠杆作用。

  *主干层（算法体系）：

  （1）除数是整数的小数除法：算法（商的小数点对齐）与算理（将余数化为更低级计数单位继续除）的融合。

  （2）除数是小数的小数除法：转化为除数是整数的除法的算理依据（商不变性质）与算法步骤（除数的小数点移动引起被除数小数点相应移动）的深度理解。

  （3）商的近似值：结合实际需求（“进一法”、“去尾法”、“四舍五入法”）理解求近似数的必要性，培养估算意识与灵活解决问题的能力。

  （3）循环小数：从计算中自然发现“永远除不尽”的现象，认识循环节，用简便记法表示循环小数，初步感知无限性与确定性。

  *应用层（问题解决与思维拓展）：

  （1）常见数量关系应用：单价、速度、工作效率、单价等模型在小数情境下的应用与变式。

  （2）复杂情境问题：多步运算、信息筛选、方案优化等。

  （3）规律探究与数学推理：基于小数除法计算结果的数字模式发现、运算规律猜想与验证。

  二、学情分析（面向五年级资优生与培优班）

  认知基础：学生已牢固掌握整数四则运算、小数意义与性质、整数除法算理算法，以及积的小数位数确定方法。具备初步的归纳、类比和转化思想。

  潜在困难与误区：对“为什么移动小数点就能将除数转化为整数”算理理解不深，易沦为机械记忆；对商中间有0、整数除以整数商为小数等特殊情况处理生疏；在复杂情境中选取除数与被除数时易混淆；对循环小数的本质（无限性）感到抽象；在解决实际问题时，对何时取近似值、如何取法决策困难。

  能力生长点：本单元是极佳的思维训练场，可深化对“计数单位”和“位值制”的理解，强化“转化”这一核心数学思想的应用，培养严谨、灵活、优化的运算策略，以及基于现实意义做出数学决策的能力。

  三、核心素养导向的单元学习目标

  1.数感与运算能力：深刻理解小数除法的算理，能熟练、准确、灵活地进行小数除法计算（包括除数是整数和小数的情况）。能根据实际需要选择合适的取近似值的方法，并理解其合理性。能对运算结果进行初步的估计和判断。

  2.推理意识与模型意识：通过观察、比较、归纳，自主探索小数除法的算法，理解其与整数除法的内在一致性。能运用小数除法运算解决实际问题，识别其中的常见数量关系模型（如总价÷数量=单价），并能进行简单的模型变式与推广。

  3.应用意识与创新意识：能在真实或复杂的数学情境中，发现和提出与小数除法相关的问题，并综合运用知识分析和解决。乐于探究算法背后的道理，尝试从不同角度寻求解决问题的策略，体验优化思想。

  四、教学重难点

  *教学重点：小数除法的算理理解与算法掌握；商不变性质在小数除法转化中的核心应用；能运用小数除法解决实际问题。

  *教学难点：理解除数是小数时“转化”的算理本质（为何移动小数点）；根据具体情况合理求商的近似值并做出合理解释；理解循环小数的意义；在复杂多步问题中准确建立除法模型。

  五、教学资源与工具

  多媒体课件（动态演示小数点移动与计数单位转化过程）、实物投影、可操作计数单位模型（如方块图、小数点移动卡片）、高阶思维训练题卡、生活情境素材库（如购物清单、行程计划、工程数据等）。

  六、教学实施过程（共规划6-8课时，此处呈现核心环节与问题链）

  第一、二课时：除数是整数的小数除法——算理的深度奠基

  环节一：情境锚定，意义回顾

  呈现问题链1（新知生长点）：

  1.把4个苹果平均分给2人，每人分得几个？算式：4÷2=2。这是“等分除”。

  2.有4个苹果，每人分2个，可以分给几人？算式：4÷2=2。这是“包含除”。

  3.把4元钱平均分给2人，每人分得几元？算式：4÷2=2（元）。单位是“元”。

  4.如果把1元钱看作一个整体，平均分给2人，每人分得多少元？如何用算式表示？（1÷2）结果能用整数表示吗？这揭示了一个核心矛盾：在更精细的度量要求下，整数的除法结果可能需要用更小的单位来表示。

  设计意图：从整数除法复习入手，迅速聚焦到度量精度提升带来的认知冲突，引出小数除法的必要性，强调除法意义的连续性。

  环节二：操作探究，算理可视化

  核心活动：探索11.5÷5。

  1.多元表征理解：

  *情境表征：11.5元（11元5角）平均分给5人。

  *实物操作表征：将11元平均分，每人分得2元，余1元。将这1元兑换成10角，加上原有的5角，共15角。将15角平均分，每人分得3角。所以结果是2元3角，即2.3元。

  *数学符号与图形结合：用竖式演示，并配合方块图（1大方块表示1，1小方块表示0.1）。展示将余下的1个“1”（大方块）拆分成10个“0.1”（小方块）的过程，与竖式中“落下十分位上的5”结合，强调“余数必须与下一位合并，并以相同的计数单位继续除”。

  2.关键问题讨论（重点难点考点讲练1-3）：

  *商中的“2”和“3”分别表示什么？为什么“3”要写在十分位上？

  *竖式中的小数点为什么要和被除数的小数点对齐？（这本质上是保证“相同计数单位上的数相除”，是数位对齐原则在除法中的体现）。

  *如果被除数是整数，如12÷5，如何计算？商的个位写2后，余数2后面没有数字了，怎么办？（引出“在个位后添小数点，补0继续除”，再次强化“将余数化为更低级计数单位”的思想）。

  3.算法归纳与巩固练习：学生自主总结除数是整数的小数除法步骤。进行专项练习，涵盖被除数是小数、整数，商中间有0，整数部分不够商1等情形（真题演练1-5）。

  第三、四课时：除数是小数的小数除法——转化思想的典范应用

  环节一：制造认知冲突，激发转化需求

  呈现问题链2：

  1.小明用7.5元买了3支同样的笔，每支笔多少钱？（7.5÷3=2.5，复习旧知）。

  2.如果小明用7.5元买了2.5元一支的笔，可以买几支？如何列式？（7.5÷2.5）这个算式和我们之前学的有什么不同？（除数是小数）。

  3.你能利用已有的知识想办法计算出7.5÷2.5的结果吗？鼓励学生多角度思考：

  *利用元角单位：7.5元=75角，2.5元=25角，75÷25=3。

  *利用商不变性质：7.5÷2.5=(7.5×10)÷(2.5×10)=75÷25=3。

  设计意图：让学生亲身遭遇新问题，并主动调用“单位换算”和“商不变性质”这两个已有工具去解决，初步感受“转化”思路。

  环节二：深度剖析转化原理，建立一般算法

  核心活动：探究0.6÷0.25。

  1.算理辩论与可视化：

  *提问：根据商不变性质，要把除数0.25变成整数25，需要怎么做？（×100）那么被除数0.6应该怎么办？（也必须×100，变成60）。

  *动态课件演示：将除数0.25的小数点向右移动两位，同时将被除数0.6的小数点也向右移动两位（0.6变成60，位数不够时需补0）。追问：为什么被除数的小数点移动位数要和除数一样？不这样做会怎样？（破坏商不变性质）。

  *深入本质：移动小数点，本质是改变了计数单位吗？引导学生理解，0.6÷0.25表示“求0.6里面包含几个0.25”。当除数和被除数同时乘100，算式变为60÷25，表示“求60个0.01里面包含几个25个0.01”。虽然数字变了，但“包含”的倍数关系（商）不变。转化的核心是将以“0.01”为单位的两个数进行比较。

  2.算法建模（重点难点考点讲练4-7）：

  *学生尝试用自己的语言总结步骤：一看（除数有几位小数）；二移（移动除数的小数点使其变成整数，同时按相同位数移动被除数的小数点，位数不够时补0）；三算（按除数是整数的小数除法计算）。

  *辨析易错点：被除数的小数点移动后，若成为整数，商的小数点如何处理？（对齐移动后的新小数点位置，即整数部分的右下角）。除数变成整数后，如果被除数的整数部分不够除，商0点小数点继续除。

  3.综合对比与变式训练：对比除数是整数和除数是小数的除法，明确其算理一脉相承，算法因“转化”而统一。进行变式练习，包括被除数小数位数少于、等于、多于除数小数位数，以及商是整数、纯小数等情形（真题演练6-12）。

  第五课时：商的近似值与循环小数——数学的精确与模糊

  环节一：基于真实需求，认识取近似值的必要性

  情境导入：一套校服需要用布2.3米，现有100米布，最多可以做多少套？列式：100÷2.3≈43.478…（套）。

  讨论：结果应该取多少？为什么不能是43.478套？引出“去尾法”。

  对比情境：每个油桶最多装4.5千克油，要装60千克油，至少需要几个油桶？列式：60÷4.5≈13.333…（个）。讨论：应该取13还是14？为什么？引出“进一法”。

  设计意图：让学生在具体情境的决策中，深刻体会数学结果必须服务于现实意义，机械的“四舍五入”并非万能。

  环节二：探究“除不尽”的秘密，初识循环小数

  1.计算发现：让学生计算1÷3、70.7÷33等算式，观察竖式计算过程。

  2.概念建构（重点难点考点讲练8-10）：

  *引导发现：余数重复出现，导致商里的数字也依次不断重复出现。这种“永远除不尽”但商有规律的小数，叫做循环小数。

  *认识循环节：依次不断重复出现的数字。学习循环小数的简便记法。

  *对比有限小数与无限小数：明确小数部分的位数是有限还是无限。

  3.取近似值综合应用：给定一个循环小数（如0.606060…），要求保留一位、两位小数。强调在取近似值时，需根据需要比保留位数多除一位再进行“四舍五入”等操作。区分“精确到百分位”与“保留两位小数”的表述异同。

  第六、七课时：问题解决与高阶思维训练——整合与应用

  环节一：常见数量关系模型的应用与辨析

  梳理核心模型：总价÷数量=单价，路程÷时间=速度，工作总量÷工作时间=工作效率等。

  问题链3（整合讲练11-16）：

  1.（正向应用）已知汽车行驶225千米用了3.5小时，求平均速度。

  2.（逆向求除数）已知总价和单价，求数量。

  3.（信息干扰）一段路长15千米，小明先以每小时5千米的速度走了1.5小时，剩下的路要在0.5小时内走完，每小时需走多少千米？（需先求出剩余路程）。

  4.（单位换算陷阱）一种钢材每根长4.5米，做一件设备需要0.75米长的这种钢材，一段8.5米长的钢材最多能锯出几根？（注意次数与段数的关系，以及单位一致）。

  环节二：拔尖训练——思维深度与广度拓展

  本环节设计三类问题，旨在挑战学有余力的学生（拔尖训练1-20）：

  A类：规律探究与推理

  1.计算：1÷11，2÷11，3÷11…10÷11。观察商的特点，你发现了什么规律？能不用计算直接写出8÷11的商吗？15÷11的商会是多少？（探索分母为11的循环节规律）。

  2.已知a÷b=4.5，（a×10）÷（b÷2）的商是多少？（商的变化规律综合应用）。

  B类：策略优化与方案设计

  3.某快递公司收费规则：1千克以内收费12元，超过1千克部分，每千克收费2.5元（不足1千克按1千克计算）。李阿姨寄出一个重3.6千克的包裹，需要付多少钱？如果她有两个包裹分别重2.3千克和1.8千克，合并邮寄和分开邮寄，哪种方案更省钱？（建立分段函数模型并优化决策）。

  C类：跨学科情境与复杂建模

  4.（科学情境）实验室有一种溶液，每0.025升中含有某种成分1.2克。研究人员需要配制含有该成分9.6克的实验样品，需要取用这种溶液多少升？

  5.（经济情境）外汇牌价显示：1美元兑换人民币约7.2元，1欧元兑换人民币约7.8元。一台标价500欧元的相机，相当于多少美元？（需进行两步除法或先求汇率比，考查信