小学三年级数学上册《集合思想的应用-韦恩图初探》教学设计

小学三年级数学上册《集合思想的应用——韦恩图初探》教学设计一、教学基本信息【基础】课题名称：集合思想的应用——韦恩图初探【基础】学科与学段：小学数学三年级上册【基础】授课课时：第一课时（40分钟）【基础】教材版本：人教版第九单元数学广角——集合二、教学背景分析（一）教材分析【重要】“数学广角——集合”是人教版小学数学三年级上册第九单元的内容。本单元主要是向学生渗透初步的集合思想，这是学生第一次在数学学习中系统接触集合这一数学思想方法。集合思想是数学中最基本的思想之一，整个小学数学知识的编排，从一年级学习数的分类、图形的分类，到高年级学习公因数与公倍数等，都蕴含着集合的初步概念5。本节课以学生熟悉的校园生活为素材，通过解决“参加两项比赛的一共有多少人”这一实际问题，引导学生经历韦恩图的产生过程，理解韦恩图中各部分的含义，进而掌握用集合思想解决简单的有重复部分的问题的方法。这不仅为学生后续学习更复杂的集合知识，如交集、并集、补集等奠定基础，更重要的是培养了学生借助几何直观思考问题、分析问题的意识与能力，是发展学生数学核心素养的关键一环。（二）学情分析【重要】三年级的学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，他们对于生活中简单的重叠现象已经有了一定的感性认识，比如一个学生可能同时是两个兴趣小组的成员，或者家里的一位长辈同时拥有“妈妈”和“女儿”的双重身份1。然而，这种认识是模糊的、不自觉的，学生尚不能清晰地用数学的语言来描述这种关系，更无法用抽象的图示来表征它。学生已有的知识经验是能够从给定的统计表中分别读取跳绳和踢毽的人数，并会做简单的加法计算（9+8=17），但当发现实际人数与计算结果不符时，会产生强烈的认知冲突。这种冲突正是本节课教学的起点和驱动力。学生很难自发地想到用韦恩图来解决问题，因此，教学的关键在于引导学生通过动手操作、合作交流，经历从“表格式”的原始数据到“图示化”的韦恩图的建构过程，从而在直观层面上理解“重复”的部分要剔除的道理。（三）设计理念本节课遵循《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索”的理念，坚持“以学生发展为本”。教学设计的核心在于创设真实的问题情境，引发学生的认知冲突，激发内在的学习动机。通过“冲突——探究——建模——应用”的教学路径，将抽象的集合思想物化为看得见、摸得着的操作活动。课堂上，给予学生充分的时间和空间去思考、去表达、去创造，尊重学生多样化的表征方式，并引导他们在对比、交流中不断优化，最终“创造”出韦恩图这一数学模型。整个过程强调学生的亲身体验和深度参与，让学生在解决问题的过程中，不仅习得知识，更感悟思想，积累经验，发展核心素养。三、教学目标与核心素养【热点】基于对教材和学情的分析，确立本节课的教学目标如下：1.知识与技能：让学生在解决问题的过程中，理解简单的集合思想，认识韦恩图，能说出韦恩图各部分的含义。能借助韦恩图，列式解决含有重复部分的实际问题。2.过程与方法：通过观察、猜测、操作、交流等活动，经历韦恩图的产生过程，体会直观图对分析问题、解决问题的价值，初步培养学生的几何直观和模型意识。3.情感态度与价值观：在自主探究和合作交流中，感受数学与生活的密切联系，体会数学的简洁美与逻辑美，激发学习数学的兴趣，增强应用数学的意识。4.核心素养聚焦：本节课重点指向的核心素养包括：数学抽象（从具体情境中抽象出集合问题）、逻辑推理（分析重复关系，推导计算方法）、数学建模（构建韦恩图模型解决问题）、直观想象（利用韦恩图理解数量关系）。四、教学重难点【难点】教学重点：理解韦恩图的产生过程，能看懂韦恩图，并能借助韦恩图分析数量关系。【难点】教学难点：理解韦恩图中各部分（特别是重叠部分）的含义，并能用不同的算式解决实际问题。五、教学准备多媒体课件（PPT）、磁性黑板、学生姓名卡片（每人一张，可）、学习单（含练习题）、呼啦圈（2个，用于现场演示）。六、教学实施过程（核心环节，详细展开）（一）创设情境，引发冲突——唤醒“重复”的直觉1.激趣导入：上课伊始，老师微笑着对同学们说：“同学们，上课之前，我们先来玩一个脑筋急转弯，看看谁的反应最快。”课件出示题目：“两位妈妈和两个女儿一起去动物园，他们只买了3张票，却顺利地进去了，这是为什么？”【重要】学生们立刻被这个问题吸引，纷纷开动脑筋。短暂的思考后，有学生举手回答：“因为她们是外婆、妈妈和女儿！妈妈既是女儿的妈妈，又是外婆的女儿，所以虽然只有三个人，却有两个妈妈和两个女儿的身份。”老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，并顺势点明：“大家看，生活中像这样一个人有两种身份，导致人数看起来比实际多的情况，我们就说这里面有‘重复’现象，也叫‘重叠’1。今天，我们就一起来研究数学中的‘重叠问题’。”2.情境呈现：课件出示学校即将举行“阳光体育活动周”的通知：“请三年级各班选拔9名同学参加跳绳比赛，8名同学参加踢毽比赛。”接着，课件出示三（1）班的报名统计表（用表格形式列出具体学生姓名，如：跳绳的有杨明、李芳、刘红、陈东、王华、张伟、赵军、丁旭、徐强；踢毽的有杨明、李芳、刘红、于丽、周晓、朱雨、陶伟、卢强）。【重要】教师引导学生观察表格：“从这个统计表中，你能获得哪些数学信息？”学生很容易回答：“跳绳的有9人，踢毽的有8人。”教师接着抛出核心问题：“根据这两个信息，你能提出一个数学问题吗？”学生提出：“参加这两项比赛的共有多少人？”教师追问：“那你们猜一猜，一共有多少人？”大部分学生会不假思索地回答：“9+8=17（人）。”3.制造冲突：教师故作神秘地笑了笑：“真的是17人吗？让我们来数一数具体的名单。”教师带领学生一起数，这时学生会发现杨明、李芳、刘红这三个同学的名字既出现在跳绳名单里，又出现在踢毽名单里。“咦？怎么只有14人？怎么会这样？”学生的认知冲突被瞬间点燃，教室里议论纷纷。“为什么我们算出来是17人，实际上却只有14人呢？”学生们恍然大悟：“因为有3个人两项都参加了，我们数了两次！”【重要】教师抓住契机：“看来，光把两个队伍的人数加起来，有时候并不能得到真正的总人数。问题出在哪里？出在‘重复’上！那有没有一种好办法，能让别人一眼就看出，哪些同学只参加了一项，哪些同学两项都参加了，而且参加的总人数是多少呢？今天，我们就来当一回小小数学家，自己来创造一个图，解决这个问题。”（二）自主探究，构建模型——经历韦恩图的诞生1.明确任务，合作探究：教师为每个小组发放写有所有参赛学生名字的卡片（每组一套，每张名字卡片可以随意移动）和一张大白纸。【非常重要】提出探究要求：（1）小组合作，利用这些名字卡片，在大纸上摆一摆、画一画，重新整理这些信息。（2）整理的结果要让人一眼就能看出：①参加跳绳的有哪几个？②参加踢毽的有哪几个？③两项都参加的有哪几个？④参加比赛的一共有多少人？（3）完成后，小组内互相说说你们是怎么想的。2.教师巡视，收集资源：在学生小组活动的过程中，教师深入各小组进行巡视，了解学生的不同思路和做法，并收集有代表性的作品用于后续的展示交流。教师不急于指导，而是鼓励学生大胆尝试，用自己的方式表达。巡视中，可能会发现以下几种典型的表征方式：方案A：分类列举式。学生将名字分成三类：只跳绳的、只踢毽的、两项都参加的，并分别写在三个地方。方案B：连线式。学生把重复的同学的名字写中间，然后用线条连向两边。方案C：重叠式。学生画了两个圈，但两个圈是分离的，中间用一条线隔开，将重复的同学名字写在线的旁边。方案D：接近维恩式。学生尝试让两个圈重叠，但可能标注不清或位置不对。3.展示交流，思维碰撞：【热点】请有代表性的小组代表上台，利用磁力贴片在磁性黑板上展示他们的作品，并向全班同学解释他们的设计思路。首先展示分类列举式的作品。学生代表说：“我们是把名字分成三类，只跳绳的放在左边，两项都参加的放在中间，只踢毽的放在右边。这样一看就知道谁参加了什么，一共多少人加起来就行了。”教师肯定这种思路：“很好，你们抓住了分类的关键，把重复的人单独拿出来了，这是一种非常重要的数学思想！”接着，展示另一种不同的方案，比如分离的两个圈，但重复的名字在中间单独列出的。教师引导对比：“大家看看这两种方法，有什么相同的地方？又有什么不同的地方？”引导学生发现，两种方法都把重复的人“特殊处理”了。但第一种是简单的列表，第二种尝试用圈来表示一个整体。在对比中，教师不断追问：“这两个圈表示什么？”“如果要把这些名字都放进这两个圈里，是不是可以把这两个圈像这样移动一下？”教师利用手中的两个呼啦圈进行演示，慢慢将两个分离的圈部分重叠在一起。【非常重要】当两个圈部分重合时，奇迹发生了！重复的那三个名字，正好可以放在重叠的区域里，而只参加一项的同学，分别住在两边不重叠的区域里。这个动态的演示过程，将学生零散的、粗糙的想法，完美地整合成了一个结构清晰、直观明了的图形——韦恩图。学生们看着这个由自己的创意演变而来的图形，眼睛里闪烁着兴奋的光芒。教师适时地介绍：“同学们，你们太了不起了！你们通过自己的思考和创造，竟然想出了和一百多年前英国著名数学家韦恩一模一样的办法！这个图用封闭的曲线来表示一个整体，在数学上叫做‘集合’，因此它也叫‘韦恩图’，或者‘集合图’13。让我们为自己鼓掌！”（三）数形结合，深化理解——解读韦恩图的灵魂1.明确各部分含义：【重要】教师在黑板上画出规范的韦恩图，并引导学生共同填写。教师指着左边圆圈问：“这个圈里住着谁？”学生答：“参加跳绳的同学。”教师在圈上方板书：“跳绳的同学”。指着右边圈：“这个圈呢？”学生答：“参加踢毽的同学。”教师板书：“踢毽的同学”。然后指着中间重叠的部分，问道：“那这个既是左边又是右边的‘交界处’，表示什么？”学生齐答：“两项都参加的同学！”教师板书：“两项都参加”。2.区分不同区域：教师进一步引导学生深入观察，用手势和语言细化区域的划分。“同学们，现在看左边这个圈，它其实是由哪两部分组成的？”引导学生说出左边圈是由“只跳绳的”和“两项都参加的”组成的。同样，右边圈是由“只踢毽的”和“两项都参加的”组成的。【非常重要】教师用不同颜色的粉笔将“只跳绳的”区域（6人）、“两项都参加的”区域（3人）、“只踢毽的”区域（5人）分别描出来，并请学生数一数每个区域的人数。通过这种细致的拆分，学生对集合图的内部结构有了清晰而深刻的认识。3.多重列式，构建模型：【难点】“现在我们有了这个神奇的地图，谁能用算式算出一共有多少人？”让学生独立列式，然后汇报交流。学生可能会出现多种解法：预设1：9+83=14（人）。【高频考点】学生解释：9人是跳绳集合，8人是踢毽集合，中间的3人既在跳绳里又在踢毽里，当我们把两个集合加起来时，这3人被加了两次，所以要减去一次，剩下的就是总人数。预设2：6+3+5=14（人）。学生解释：左边没重复的6人，加上中间重复的3人，再加上右边没重复的5人，就是总人数。预设3：93+8=14（人）或9+(83)=14（人）。学生解释：从跳绳的9人里去掉重复的3人，得到只跳绳的6人，再加上踢毽的8人；或者反过来，从踢毽的8人里去掉重复的3人，加上跳绳的9人。教师将学生的各种算式板书在黑板上，并请每一个发言的学生结合黑板上的韦恩图，讲清楚算式中每个数字对应的是图的哪一部分。【非常重要】通过“数”与“形”的一一对应，学生深刻地理解了每一种算法的道理，体会到解决同一个问题可以有不同的思路。最后，教师引导学生总结：“不管用哪种方法，我们的核心思想都是——把重复的部分处理掉，要么减去多加的一次，要么直接分开加。韦恩图就像一个翻译官，帮我们把复杂的关系变得清清楚楚！”（四）巩固练习，应用拓展——感受集合的魅力1.基础练习（动物运动会）：【基础】课件出示题目：“动物王国也要开运动会了，会游泳的动物有：鱼、青蛙、鸭子、乌龟；会飞的动物有：蜻蜓、蜜蜂、鸭子、蝴蝶、老鹰。请把动物的序号填在合适的圈里。”学生独立完成在学习单上，然后集体订正。重点让学生说说，为什么“鸭子”要填在两个圈的重叠部分？它表示什么？这个练习旨在巩固对韦恩图基本结构的认识，能正确地将对象分类放置到集合图中。2.变式练习（生活中的数学）：【热点】“学校乐队有18人，舞蹈队有12人，其中有5人同时参加了这两个队。乐队和舞蹈队一共有多少人？”此题将具体情境中的数据抽象出来，要求学生脱离图形，直接分析数量关系列式解答。完成后，让学生尝试在脑海中画出韦恩图，并用自己的话说一说解题思路。这步是从直观走向抽象的过渡。3.拓展练习（开放探究）：【难点】课件出示：“三（2）班参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有10人。请问这两个小组的总人数可能是多少人？”【非常重要】此题没有给出重叠的具体人数，是一个开放性问题。学生分小组讨论。可能出现的答案：生1：如果没有重叠，就是22人。生2：如果重叠1人，就是21人；重叠2人，就是20人……生3：最多重叠10人（音乐小组全参加美术），总人数最少是12人。通过讨论，学生发现总人数是一个范围：最少是较大集合的人数（如果小集合完全包含在大集合中），最多是两个集合人数之和（如果没有任何重叠）。教师引导学生用韦恩图来模拟这些不同的可能性，进一步深化了对集合关系的理解，尤其是包含关系和并列关系的认识，思维得到了极大的拓展。（五）回顾反思，总结提升——梳理认知的结构1.畅谈收获：教师引导学生回顾整节课的学习历程：“同学们，时间过得真快，一节课马上就要结束了。回想一下，今天这节课我们经历了怎样的学习过程？你有什么收获？无论是知识上的，还是方法上的，都可以和大家分享。”学生可能回答：“我学会了用韦恩图来解决有重复人数的问题。”“我知道了，在计算两个队伍的总人数时，要把重复的人减去。”“我发现画图能让问题变得特别清楚，一眼就能看出来。”“我们小组一起摆卡片，像数学家一样创造了韦恩图，我觉得特别有成就感！”2.教师总结：教师对学生的发言进行梳理和提升：“同学们说得真好。今天我们从一个生活中的‘重复’问题出发，经历了观察、猜想、操作、创造的过程，自己发明了韦恩图这个强大的工具。我们学会了用图来分析数量关系，找到了解决问题的多种方法。其实，集合的思想在生活中无处不在，希望同学们课后能用今天学到的本领，去发现和解决更多有趣的数学问题，做一个生活的有心人。”七、板书设计数学广角——集合（韦恩图）┌─────────────┐│三（1）班参赛情况│├─────────────┤│跳绳的同学踢毽的同学││┌─────┐┌─────┐│││││││││只跳绳的││只踢毽的││││（6人）││（5人）│││││││││└──┬──┘└──┬──┘││