小学数学六年级上册“求阴影部分面积”专题教学设计

小学数学六年级上册“求阴影部分面积”专题教学设计一、教学内容与学情分析（一）教学内容定位本节课教学内容为人教版六年级上册第五单元“圆”的延伸与综合应用，同时也系统整合了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形等基本平面图形的面积计算公式。本专题并非孤立的新知传授，而是在学生已经掌握了所有直边图形和曲边图形（圆）面积计算方法的基础上，对已有知识进行的一次综合性、创造性的运用与深化。其核心在于引导学生观察、分析不规则图形（阴影部分）与规则图形之间的关系，通过转化、相加、相减、等积变形等数学思想方法，将未知问题转化为已知问题，从而求出阴影部分的面积。这是对学生空间观念、几何直观、逻辑思维以及解决问题能力的一次全面检验，在小学数学几何教学中占据着举足轻重的地位。（二）学情分析【基础】六年级学生已经具备了一定的平面图形面积计算基础，能够熟练运用长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形及圆的面积公式。他们具备初步的逻辑推理能力和空间想象力，但对于如何将复杂的、不规则的组合图形进行有效分解和转化，仍然感到困难。具体表现在：第一，面对复杂图形时，容易产生畏难情绪，找不到分析的突破口；第二，图形观察不细致，容易忽略图形之间的重叠、包含、相切等位置关系；第三，思维定势，习惯于套用公式，缺乏灵活运用“割补”、“平移”、“旋转”、“对称”等变换思想解决问题的能力。因此，本课的教学重点不在于公式的记忆，而在于思维方法的启迪与建模。（三）核心素养指向本课旨在通过系统的探究活动，重点发展学生的以下数学核心素养：1.空间观念：能够根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象并表达图形的运动和变化。2.几何直观：利用图形描述和分析问题，借助图形直观理解问题中的数量关系，发现解决问题的思路。3.推理能力：能有条理地思考问题，清晰地表达自己的思考过程，在解决问题的过程中，学会用“因为……所以……”等句式进行逻辑推理。4.模型思想：通过对不同类型阴影部分面积问题的分析与解答，归纳总结出解决此类问题的基本策略和数学模型，如“整体减空白”、“割补法”、“容斥原理”等。二、教学目标与重难点（一）教学目标1.【基础】知识与技能：使学生进一步理解和掌握基本平面图形面积计算公式，能够熟练、准确地计算组合图形中阴影部分的面积。2.【重要】过程与方法：引导学生通过观察、分析、操作、比较、讨论等学习活动，探索并掌握求阴影部分面积的常用方法，如“整体减空白”、“割补法”（平移、旋转、对称）、“等积变形”、“重组法”等，体会转化、数形结合等数学思想。3.【重要】情感态度与价值观：让学生在解决问题的过程中，感受数学的趣味性和挑战性，增强学习数学的兴趣和自信心；培养认真观察、独立思考、合作交流的良好学习习惯；体验数学思维的严谨性与灵活性，感受数学之美。（二）教学重难点1.【难点】教学重点：引导学生学会观察、分析阴影部分与整个图形及其各部分之间的关系，并能根据图形特征选择恰当的方法进行转化与计算。2.【难点】教学难点：灵活运用“割补”、“平移”、“旋转”等方法将不规则阴影部分转化为规则图形，并能理解转化过程中的等量关系。特别是对于需要两次甚至多次转化才能解决的复杂问题，以及需要运用“容斥原理”解决的问题。三、教学方法与准备（一）教学方法本课将采用“问题驱动式”与“自主探究式”相结合的教学模式。以一系列精心设计的核心问题为引领，激发学生的认知冲突和探究欲望。通过“观察—猜想—验证—归纳”的探究流程，让学生在独立思考、动手操作（可在脑中模拟割补）、小组讨论、全班交流的活动中，自主建构解决问题的策略。教师作为学习的组织者、引导者和合作者，适时点拨、提炼、总结，帮助学生从感性认识上升到理性思考。（二）教学准备1.教师准备：多媒体课件（PPT），动态演示图形的割补、平移、旋转过程；设计并印制高质量的学生探究学案。2.学生准备：铅笔、橡皮、直尺、圆规、量角器（备用）、彩色笔（用于标注和分割图形）。四、教学实施过程（核心环节）（一）唤醒经验，铺垫导入（约5分钟）1.温故知新：教师通过课件出示一组基本图形（长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆），请学生快速口答它们的面积计算公式，并随机提问公式的推导过程（如三角形面积为什么要除以2，圆面积公式是如何推导的）。这一环节旨在迅速激活学生已有的知识储备，为后续的灵活运用打下基础。2.直观感知：课件出示一个简单的组合图形，如一个大长方形内含一个挖空的小正方形，直接提问：“这个图形的面积怎么求？”学生很自然地回答“大长方形的面积减去小正方形的面积”。教师顺势板书“整体－空白”，并点明：这就是我们今天要学习的“求阴影部分面积”问题中最基本、最核心的思考方法。（二）基础探究，掌握核心方法——“整体减空白”（约15分钟）1.【基础】【高频考点】呈现例题1：课件出示一个边长为10厘米的正方形，以正方形内两条对边中点为圆心，以边长为直径，在正方形内画两个半圆（两个半圆不重叠，且与正方形边相切），求这两个半圆之外、正方形之内的阴影部分的面积。（图形描述：一个正方形，左右各有一个半圆，两个半圆的直径分别是正方形的左右两条对边，两个半圆在中间相切？不，此描述易产生歧义，更典型的应是：在正方形内，分别以两组对边中点为圆心，以边长一半为半径画两个半圆，它们相交于正方形中心？这样图形复杂。改为标准题型：一个边长为10厘米的正方形，以正方形的一条边为直径，在正方形内画一个半圆，求剩下的阴影部分面积。这太简单。为了体现方法，采用：一个边长为10cm的正方形，以其四个顶点为圆心，以边长的一半（5cm）为半径，在正方形内画四条弧，弧与弧两两相交，求中间像花朵一样的阴影部分面积？这又太难，适合用容斥原理。重新设计一个典型且难度适中的例题1：【例题1】：如下图，在一个长8厘米、宽4厘米的长方形内，画了两个最大的半圆。其中一个半圆以长方形的长为直径，另一个半圆以长方形的宽为直径。求长方形内，两个半圆外部部分的面积（即阴影部分的面积）。（注：此图形两个半圆可能相交或相切，需根据数据判断。若长8宽4，以长为直径的半圆半径4，占满整个长；以宽为直径的半圆半径2，在长方形一端。两个半圆不相交。题目设计为使图形简洁，应调整为：长8宽4，在长方形内画一个以长为直径的大半圆，再在剩余部分画一个以宽为直径的小半圆？这会产生包含关系。更稳妥的例题1应是最简单的“整体减空白”）为了不引起图形复杂性导致的认知负担，例题1直接选取最简单、最经典的组合：【例题1】（优化后）：一个圆形花坛，半径是5米。在花坛中间修建一个边长为3米的正方形水池。求花坛中种植花草的面积（即剩余部分的面积）是多少平方米？2.问题引领：（1）要求种植花草的面积，实际上是求什么图形的面积？（圆的面积减去正方形的面积）（2）这是一个组合图形，我们可以把它看成由哪两个基本图形组合而成？（一个圆里面挖掉了一个正方形）3.自主探究：学生独立列式计算，一生板演。教师巡视，关注学生计算过程和书写格式。1.4.圆的面积：S=πr²=3.14×5²=78.5（平方米）2.5.正方形面积：S=a²=3×3=9（平方米）3.6.阴影部分面积：78.59=69.5（平方米）7.【重要】归纳提炼：教师引导学生总结，当阴影部分是一个规则图形从另一个规则图形中被挖去时，我们通常采用“整体面积减去空白面积”的方法。这是解决此类问题的最基本策略。板书：S阴=S总S空。（三）变式训练，领悟核心思想——“转化法之割补”（约20分钟）1.【难点】【高频考点】呈现例题2：课件出示一个“外方内圆”的经典图形。具体为：一个边长为10厘米的正方形，在正方形内画一个最大的圆（即圆的直径等于正方形的边长）。然后，将圆外的四个角涂上阴影。求这四个角（阴影部分）的总面积。（图形描述：正方形，内部一个与四边相切的最大圆，圆外的四个角为阴影。）2.小组合作，探究策略：（1）引导观察：这个阴影部分是什么形状？是规则的扇形吗？学生发现每个角都不是标准的扇形（扇形需要圆心角），而是由正方形边和圆弧围成的不规则图形。（2）问题驱动：这四个不规则的角，如果单独求面积，我们不会求。但它们的总面积能不能用我们学过的知识来求呢？（3）学生讨论：很快会有学生发现，这四个角的面积总和，就等于“正方形的面积减去中间圆的面积”。（4）列式解答：1.3.正方形面积：10×10=100（平方厘米）2.4.圆的面积：3.14×(10÷2)²=3.14×25=78.5（平方厘米）3.5.阴影部分面积：10078.5=21.5（平方厘米）（5）追问思考：这里我们求四个不规则角的和，用的什么方法？（再次强化“整体减空白”的思路，将多个不规则部分视为一个整体，从更大的规则图形中减去内部规则图形。）6.【重要】呈现例题3（割补法的核心）：课件出示一个“外圆内方”的经典图形。具体为：一个圆的半径是5厘米，在圆内画一个最大的正方形（即正方形的对角线等于圆的直径）。求圆内正方形外部（即正方形外的四个弓形区域）的阴影部分面积。（图形描述：圆，内部一个顶点都在圆上的最大正方形，正方形外的四个弓形为阴影。）7.认知冲突与突破：（1）尝试求解：学生可能会尝试用“整体减空白”，即“圆的面积减去正方形的面积”。正方形的面积怎么求？这是新的挑战。已知半径5cm，直径10cm，即正方形对角线为10cm。（2）知识链接：回顾五年级学过的知识，正方形的面积除了边长×边长，还可以用“对角线×对角线÷2”来计算。教师可引导学生推导：连接正方形的一条对角线，将正方形分成两个等腰直角三角形，每个三角形面积=(底×高)÷2，底为对角线，高为对角线的一半。所以正方形面积=2×[(10×5)÷2]=10×5=50，或直接套用公式：10×10÷2=50。（3）顺利求解：1.8.圆的面积：3.14×5²=78.5（平方厘米）2.9.正方形面积：10×10÷2=50（平方厘米）3.10.阴影部分面积：78.550=28.5（平方厘米）（4）方法巩固：此题依然是“整体减空白”，只不过求空白（正方形）面积时需要转换思路。11.【难点】呈现例题4（割补法之平移、旋转）：课件出示一个“求草坪面积”的生活情境图。一个长方形草坪，长20米，宽15米。在草坪中间有两条纵横交错、宽都是2米的曲折小路（如图，路是弯曲的，但可以经过平移变直）。求草坪（阴影部分）的实际面积。（图形描述：长方形，内部有两条弯曲的小路，一条横向弯曲，一条纵向弯曲，两条路宽均为2米，且相交。剩余部分为草坪。）12.高阶思维引导：（1）问题：这个图形很复杂，小路是弯曲的，草坪被分割成好几块，直接计算非常困难。有没有巧妙的方法？（2）启发思考：如果我们将所有的小路都“挤”到一边去，让草坪变成一个完整的、规则的长方形，可能吗？（3）动态演示（关键）：教师利用课件动态演示“平移”的过程。将横向弯曲的小路的每一部分都沿着垂直方向向上（或向下）平移，使其成为一条紧贴长方形长边的、笔直的、宽2米的长条。同时，将纵向弯曲的小路的每一部分都沿着水平方向向左（或向右）平移，使其成为一条紧贴长方形宽边的、笔直的、宽2米的长条。神奇的事情发生了：原来被小路分割得支离破碎的草坪，经过这样平移后，竟然拼接成了一个完整的、新的长方形！（4）推导新长方形尺寸：新草坪的长=原长方形的长小路的宽（纵向路宽）=202=18（米）。新草坪的宽=原长方形的宽小路的宽（横向路宽）=152=13（米）。（5）计算：草坪面积=18×13=234（平方米）。（6）【重要】归纳总结：这就是“割补法”中的“平移”思想。其核心是“保持面积不变，改变图形形状”，将不规则、分散的部分通过平移集中起来，形成一个便于计算的规则图形。这种方法尤其适用于解决各种“路宽问题”和“等宽变形问题”。（四）拓展提升，挑战思维极限——“等积变形与容斥原理”（约15分钟）1.【难点】【热点】呈现例题5（等积变形）：课件出示一组图形。第一个是平行四边形，底为8厘米，高为4厘米，在平行四边形中画一个以底边为直径的半圆，半圆与平行四边形上边相切？不，改为更典型的等积变形题。调整为：下图是由两个完全相同的直角三角形叠放而成。其中一个三角形AOB，另一个三角形CDO，它们重叠的部分为阴影部分（一个较小的直角三角形）。已知AO=3，OB=4，AB=5，OC=4，CD=3，OD=5，且两个三角形直角顶点重合？这样复杂。直接用经典的“拉窗帘”模型：图形描述：两条平行线，其间有两个顶点在平行线上、底边也在平行线上的三角形ABC和三角形DBC，它们有共同的底边BC。三角形ABC的顶点A在一条平行线上，三角形DBC的顶点D在另一条平行线上。证明这两个三角形面积相等。然后以此为基础，设计阴影部分。为了使题目更贴近六年级，设计如下：在长方形ABCD中，AB=8厘米，BC=6厘米。点E、F分别是边AB、CD上的点，且AE=CF=2厘米。连接DE、BF，DE与BF相交于点O。求四边形EOFD的面积。（这个图形比较复杂，不太适合。不如直接用经典题：图中，三角形ABC的面积为20平方厘米，D是BC的中点，E是AC的中点，连接AD、BE交于点O。求阴影部分三角形AOE的面积？这涉及燕尾模型，太深。重新构思一个经典的“等积变形”例题：【例题5】：如图，在梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC、BD相交于点O。已知三角形AOD的面积为5平方厘米，三角形DOC的面积为10平方厘米。求阴影部分三角形BOC的面积。（图形：梯形，上底AD，下底BC，对角线交点O。三角形AOD和三角形DOC有公共顶点D，底AO和OC在同一直线上，它们的高相等，所以面积比等于底边比。同理，三角形AOB和三角形BOC的面积比也等于底边比。）2.探究与发现：（1）引导学生观察：在梯形中，三角形ABD和三角形ABC有什么共同点？（它们有共同的底边？不，它们等底等高？不是。）正确的引导：三角形ABD和三角形ACD，它们有共同的底AD，且因为AD平行于BC，所以这两个三角形的高相等（平行线间距离处处相等），因此三角形ABD的面积等于三角形ACD的面积。（2）等量代换：三角形ABD由三角形AOD和三角形AOB组成；三角形ACD由三角形AOD和三角形DOC组成。因为S△ABD=S△ACD，所以S△AOD+S△AOB=S△AOD+S△DOC。两边同时减去S△AOD，得到S△AOB=S△DOC=10平方厘米。（3）再次应用“等高模型”：在三角形ABC中，O是AC上的一点，连接BO。三角形AOB和三角形BOC是等高（从B到AC的垂线）的三角形，它们的面积比等于底边AO与OC的比。如何求AO:OC？观察三角形AOD和三角形DOC，它们也是等高的（从D到AC的垂线），所以它们的面积比S△AOD:S△DOC=AO:OC=5:10=1:2。因此，S△AOB:S△BOC=AO:OC=1:2。已知S△AOB=10，所以S△BOC=2×10=20（平方厘米）。（4）【重要】总结：这道题体现了“等积变形”的核心思想，即利用“平行线间的距离相等”、“同底等高”或“等底等高”来转化面积，建立已知与未知之间的联系，从而求出看似无法直接计算的图形面积。3.【难点】呈现例题6（容斥原理）：课件出示经典“花瓣”或“弯月”模型。如：一个等腰直角三角形，直角边长为4厘米。以直角顶点为圆心，直角边长为半径画一个四分之一圆。再以斜边中点为圆心，斜边的一半为半径画一个半圆。求两个圆弧重叠部分（阴影）的面积？这样过于复杂。改用经典的“两圆相交”求阴影部分面积：如图，两个半径为5厘米的等圆相交，圆心距为5厘米。求两个圆重叠部分（阴影部分）的面积。（图形描述：两个等圆相交，重叠部分像一片叶子。）4.方法探究：（1）问题：重叠部分是一个不规则的“叶子”形，无法直接求。（2）引导观察：这个“叶子”关于两个圆心的连线对称。它可以看成由两个完全一样的“弓形”组成。一个弓形可以怎么求？（扇形减去三角形）（3）尝试求解一个弓形：连接两圆心和两个交点，得到一个菱形？不，连接两圆心和其中一个交点，得到一个等边三角形（因为圆心距等于半径，所以三角形边长为5）。圆心角为60°。那么，一个弓形（在其中一个圆内）的面积=圆心角为60°的扇形面积边长为5的等边三角形的面积。1.5.扇形面积：60/360×π×5²=1/6×25π=(25π)/62.6.等边三角形面积：需要高=√(5²2.5²)=√(256.25)=√18.75，计算较复杂，需用小数。为简化，题目可给出π=3.14，要求计算结果保留两位小数。高≈√18.75≈4.33，三角形面积≈(5×4.33)/2=10.825。3.7.一个弓形面积≈(25×3.14)/610.825=(78.5)/610.825≈13.08310.825=2.258。4.8.阴影部分面积（两个弓形）≈4.516（平方厘米）。（4）【重要】引出“容斥原理”：也可以从整体角度思考，两个圆的面积之和减去覆盖了两次的正方形？不，是减去外围非重叠部分。更精确地说，阴影部分面积=两个扇形的面积之和减去菱形的面积？对于这类问题，有一种重要思想叫“容斥原理”，即阴影部分面积=圆A的面积+圆B的面积整个外轮廓图形的面积。这里的外轮廓图形是包含了重叠部分的整个形状，其实就是两个圆的外围凸包，不太好求。所以我们还是用割补法，但在此可以点出“容斥”的雏形：要求重叠部分，可以先求两个扇形，减去中间的三角形，再乘以2。（五）课堂练习，分层巩固（约10分钟）1.【基础】必做题：完成学案上的基础闯关题。包含两道题：（1）一个环形，外圆半径6cm，内圆半径4cm，求环形的面积。（2）一个边长8cm的正方形，以各边中点为圆心，以边长一半为半径画四个半圆（或四个1/4圆），求中间四叶草形状的面积。（此题设计需考虑，但作为基础可能偏难。改为：一个边长8cm的正方形，以其四个顶点为圆心，以边长一半为半径画四个1/4圆，求中间重叠部分的面积。这依然是难题。因此，必做题要简单些：一个直径为10cm的半圆，内部有一个最大的圆，求半圆内剩余部分的面积。这需要画图。总之，基础题设计为“整体减空白”的直接应用。）鉴于图形描述的复杂性，必做题可选择教材或练习册中的基础题，确保所有学生都能完成，巩固“S总S空”的基本方法。2.【重要】选做题：完成学案上的能力提升题。题目类似于例题4的“平移法求草坪面积”，或者例题2、3的“外方内圆”、“外圆内方”变式，但数据不同，需要学生独立分析图形结构，选择正确方法。3.【难点】挑战题：完成学案上的思维拓展题。题目为“求两圆相交部分面积”的简单版本（如给出特殊角度，使三角形为正三角形，方便计算），鼓励学有余力的学生尝试用割补法或初步感受容斥原理。（六）全课总结，构建模型（约5分钟）1.畅谈收获：请学生说一说，通过今天的学习，你学会了哪些求阴影部分面积的方法？在解决问题时，最关键的一步是什么？（最关键的是观察图形，分析阴影部分与基本图形的关系。）2.教师系统梳理，板书总结：1.3.方法一：整体减空白（最通用、最基础）2.4.方法二：割补法（平移、旋转、对称）——将不规则变规则，分散变集中。3.5.方法三：等积变形（利用平行线、中线等）——转化面积而不改变大小。4.6.方法四：辅助线法（添加辅助线，构造基本图形）——这是实现上述方法的基础手段。5.7.方法五：容斥原理（初步渗透）——多退少补。8.【重要】核心思想提炼：所有这些方法的背后，都闪耀着一种伟大的数学思想——转化。将未知的、不规则的、复杂的图形面积问题，转化为已知的、规则的、简单的基本图形面积问题。这就是我们解决数学问题的金钥匙。五、学案设计（含答案）【学案】人教版六年级数学上册求阴影部分面积专题班级：__________姓名：__________评价等级：__________【学习目标】1.我能熟练运用基本图形的面积公式。2.我能通过观察、分析，找到阴影部分与整体图形的关系，并能用“整体减空白”等方法正确计算阴影部分面积。3.我能尝试用平移、旋转、割补等方法将不规则图形转化为规则图形来求面积。【基础闯关】1.计算下面图形中阴影部分的面积。（图1：一个外圆内方的组合，圆的直径8cm，正方形顶点在圆上。）分析：阴影部分面积=（圆的面积）（正方形的面积）。圆的半径：8÷2=4（cm）圆的面积：3.14×4²=3.14×16=50.24（cm²）正方形面积：可以看作两个三角形，对角线为直径8cm，所以正方形面积=8×8÷2=32（cm²）或8×(8÷2)÷2×2=8×4=32。阴影部分面积=50.2432=18.24（cm²）答：阴影部分面积为18.24平方厘米。（图2：一个直角梯形，上底5cm，下底8cm，高4cm，梯形内有一个以高为直径的半圆，半圆与上底和下底相切？为简化，直接采用：一个长方形，长10cm，宽6cm，在长方形内画一个最大的圆，求圆外部分的面积。）分析：最大圆的直径等于长方形的宽6cm，半径3cm。长方形面积：10×6=60（cm²）圆的面积：3.14×3²=3.14×9=28.26（cm²）阴影部分面积（圆外部分）：6028.26=31.74（cm²）答：阴影部分面积为31.74平方厘米。【能力提升】1.求下面图形中阴影部分的面积。（图3：一个边长10cm的正方形，内部有两条宽2cm的“十”字形小路，小路与边平行，求除去小路后的草坪面积。）分析：可以用平移法，将横向的两条路（或一条）平移到最上边和最下边？但十字路只有两条。更准确：将两条路都平移到边上。平移后，草坪变成一个长(102)、宽(102)的新正方形。新正方形边长=102=8（cm）草坪面积=8×8=64（cm²）答：阴影部分（草坪）面积为64平方厘米。（图4：一个等腰直角三角形，直角边为8cm，以直角顶点为圆心，直角边为半径画一个1/4圆，求三角形内、1/4圆外部分的面积。）分析：阴影部分面积=三角形面积扇形（1/4圆）的面积。三角形面积：8×8÷2=32（cm²）扇形面积：1/4×3.14×8²=0.25×3.14×64=0.25×200.96=50.24（cm²）出现问题了！扇形面积比三角形还大？说明图形画错了，应该是1/4圆覆盖了整个三角形？实际上，以直角顶点为圆心，直角边为半径画的1/4圆，会完全包含这个等腰直角三角形，因为斜边是8√2≈11.3，大于8，所以扇形会超出三角形。正确的画法应该是求圆内三角形外的部分。调整如下：改为：一个等腰直角三角形，直角边为8cm，以斜边中点为圆心，斜边一半为半径画一个半圆，求三角形与半圆不重叠部分的阴影面积？又复杂了。为了保证数据的合理性，能力提升题之一保留为经典的“外圆内方”或“外方内圆”的变式。例如：在一个直径为10米的圆形喷水池外围，修一条宽1米的环形小路。求这条小路的面积。分析：这是求圆环的面积。外圆半径=10÷2+1=5+1=6（米），内圆半径=5米。圆环面积=π×(6²5²)=3.14×(3625)=3.14×11=34.54（平方米）。答：小路的面积是34.54平方米。这个题目很好地巩固了“整体减空白”和圆环公式。【思维拓展】1.如图，三角形ABC是直角三角形，AC长8厘米，BC长6厘米。以AC、BC为直径在三角形内画两个半圆，两个半圆的交点D在AB上。求图中阴影部分的总面积。（图形：直角三角形，两直角边为直径的半圆相交于斜边上一点，阴影部分是两个半圆在三角形外的部分？还是在三角形内的部分？典型的“月牙形”问题，但那是希波克拉底定理的内容。难度极大。为了更贴合六年级实际，思维拓展题选用以下经典题：如图，正方形的边长为4