2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 2.1.1 倾斜角与斜率

第二章

直线和圆的方程2.1

直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率

(教师独具内容)课程标准：理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．教学重点：1.直线的倾斜角和斜率的概念.2.直线的斜率公式及应用．教学难点：1.直线的倾斜角与斜率的变化关系.2.直线的斜率公式的应用．核心素养：通过学习直线的倾斜角与斜率，提升数学运算、数学抽象及逻辑推理素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一直线的倾斜角(1)倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，我们以_____为基准，x轴_____与直线l____________之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．①当直线l与x轴____________时，它的倾斜角为0°；②当直线l与x轴_____时，它的倾斜角为90°.(2)倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围为____________．[拓展]

从运动变化的观点认识倾斜角当直线与x轴相交时，直线的倾斜角的大小是由x轴绕直线与x轴的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角的大小．x轴正向向上的方向平行或重合垂直0°≤α<180°知识点二直线的斜率(1)斜率的定义我们把一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母____表示，即________．(2)斜率公式如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，那么直线的斜率k＝_______．(3)直线的方向向量与斜率的关系若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝____．正切值kk＝tanα图示倾斜角(范围)α＝0°_______________________α＝90°____________斜率(范围)______k>0________k<0知识点三斜率与倾斜角的对应关系0°<α<90°90°<α<180°k＝0不存在[想一想]当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°，其斜率如何变化？为什么？提示：当倾斜角为锐角时，斜率为正，而且斜率随着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为直角时，斜率不存在；当倾斜角为钝角时，斜率为负，而且斜率随着倾斜角的增大而增大．2．(倾斜角的定义)如图1所示，直线l的倾斜角为_____．135°k1<k3<k23核心素养形成(2)设直线l过原点，它的倾斜角为α，如果将l绕原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

)A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°解析根据题意，画出图形，如图所示．当0°≤α<135°时，l1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为α＋45°－180°＝α－135°.故选D.【感悟提升】

与直线的倾斜角有关的注意点(1)明确倾斜角定义中的三个条件：①x轴正向；②直线向上的方向；③小于180°的非负角．(2)每一条直线都有一个确定的倾斜角，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等；倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等．【跟踪训练】

1．(1)已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(

)A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°解析：直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.(2)已知直线l向上的方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为__________．解析：有两种情况：①如图a，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°.②如图b，直线l向上的方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.60°或120°题型二直线的斜率

(1)如图所示，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1与l2垂直，则直线l1，l2的斜率分别为_____，______．(2)①直线过两点A(1，3)，B(2，7)，求直线的斜率；②求经过两点A(2m，1)，B(m，2)(m∈R)的直线l的斜率；③过原点且斜率为1的直线l绕原点逆时针旋转90°，求所得直线的斜率．(2)(多选)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若直线AB的一个方向向量为(1，4)，则点B的坐标可以为(

)A．(0，－4) B．(0，－8)C．(2，0) D．(－2，0)题型三直线斜率的应用

(1)已知A(a，2)，B(5，1)，C(－4，2a)三点在同一条直线上，则a的值为________．45°≤α≤120°【跟踪训练】

3．(1)已知点A(－6，－8)，B(0，4)，若过点P(2，0)且斜率为k的直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围为(

)A．[1，＋∞) B．(－∞，－2]C．[－2，1] D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)(2)已知直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2，5)，P3(3，1)是此直线上的三点，则x2＝___，y1＝____．70随堂水平达标1．下列命题中正确的是(

)A．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tanαB．若直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．平行于x轴的直线的倾斜角为180°D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°解析：对于A，当直线的倾斜角为90°时，直线没有斜率，故A错误；对于B，若直线的斜率为tan210°，则此直线的倾斜角是30°而不是210°，故B错误；对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为0°，而不是180°，故C错误；对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为90°，D正确．故选D.2．(多选)若斜率为1的直线经过(－2，－1)，(2，a)，(b，1)三点，则a，b的值是(

)A．a＝3 B．b＝－4C．a＝5 D．b＝03．若两直线的斜率互为相反数，则它们的倾斜角的关系是______．解析：若k1＝－k2，则tanα1＝－tanα2＝tan(180°－α2)，∴α1＝180°－α2，∴α1＋α2＝180°，∴两直线的倾斜角的关系为互补．互补4.如图所示，直线l的倾斜角为_____．解析：如图，可知∠OAC为直线l的倾斜角，易知∠ABO＝60°，∴∠BAO＝30°，∴∠OAC＝150°，即直线l的倾斜角为150°.150°课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★考点斜率公式；倾斜角的定义根据图形比较斜率的大小利用直线的斜率公式解决三点共线问题斜率的定义斜率的定义斜率与倾斜角的关系直线的方向向量与斜率的关系题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★★★考点斜率与倾斜角的关系斜率的定义；直线的斜率与方向向量的关系直线的方向向量与斜率的关系；倾斜角的范围斜率与倾斜角的关系利用斜率公式解决函数问题斜率的定义利用斜率公式解决最值(范围)问题2．直线l1，l2，l3，l4如图所示，则斜率最小的直线是(

)A．l1 B．l2

C．l3 D．l4解析：由题图，知kl3>kl4>0>kl1>kl2，故斜率最小的直线是l2.故选B.3．若m，n，p是两两不相等的实数，则点A(m＋n，p)，B(n＋p，m)，C(p＋m，n)(

)A．在同一条直线上B．是直角三角形的顶点C．是等腰三角形的顶点D．是等边三角形的顶点4．下列点中在倾斜角为45°且过点(1，2)的直线上的是(

)A．(－2，3) B．(0，1)C．(3，3) D．(3，2)6．(多选)已知直线过(0，a)，(b，0)两点，则下列说法正确的是(

)A．当a≠0，b＝0时，直线的倾斜角为直角B．当a＝0，b≠0时，直线的倾斜角为平角C．当ab<0时，直线的倾斜角为锐角D．当ab>0时，直线的倾斜角为钝角二、填空题7．已知直线l经过点P(3，m)和点Q(m，－2)，直线l的方向向量为(2，4)，则直线l的斜率为____，实数m的值为____．28．已知点M(2m＋3，m)，N(m－2，1)，则当m∈_____________________时，直线MN的倾斜角为