2026《金版教程》数学RJ选择性必修第一册A版 2.5.1 第2课时 直线与圆的位置关系的应用

第二章直线和圆的方程§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系2.5.1直线与圆的位置关系第2课时直线与圆的位置关系的应用

(教师独具内容)课程标准：能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．教学重点：1.利用坐标法解决与圆有关的实际应用问题.2.坐标法解决平面几何问题的“三步曲”．教学难点：直线与圆的位置关系在解决实际问题中的具体应用，以及树立合理运用图形性质简化代数法的数形结合思想．核心素养：通过直线与圆位置关系的应用，提升直观想象、逻辑推理及数学运算素养．核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．1．(实际问题)一辆卡车宽1.6m，要经过一个半圆形隧道(半径为3.6m)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距地面的高度不得超过(

)A．1.4m B．3.5mC．3.6m D．2.0m2．(实际问题、最值问题)设村庄外围所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路所在直线方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离为________．3．(与圆有关的最值问题)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－4y＋7＝0，则y－x的最小值是______．核心素养形成题型一直线与圆的方程的实际应用为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离．【感悟提升】

利用直线与圆的方程解决实际问题的步骤(1)认真审题，明确题意．(2)建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而在实际问题中建立直线与圆的方程的模型．(3)利用直线与圆的方程的有关知识求解问题．(4)把代数结果还原为对实际问题的解释．【跟踪训练】

1．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？题型二用坐标法解决几何问题如图，直角三角形ABC的斜边长为定值2m，以斜边的中点O为圆心作半径为n的圆，直线BC交圆于P，Q两点，求证：|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2为定值．[证明]

如图，以O为原点，直线BC为x轴，建立平面直角坐标系，于是有B(－m，0)，C(m，0)，P(－n，0)，Q(n，0)．设A(x，y)，由已知，点A在圆x2＋y2＝m2上，故|AP|2＋|AQ|2＋|PQ|2＝(x＋n)2＋y2＋(x－n)2＋y2＋4n2＝2x2＋2y2＋6n2＝2m2＋6n2(定值)．【感悟提升】

坐标法建立平面直角坐标系应坚持的原则(1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴．(2)充分利用图形的对称性．(3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称．(4)关键点的坐标易于求得．【跟踪训练】2.如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的平面直角坐标系用坐标法证明：|RT|＝|ST|.题型三与圆有关的最值问题

(1)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，点P在直线x＋y＋2＝0上运动，过P作C的两条切线，切点分别为A，B，当四边形PACB的面积最小时，∠ACB＝_____．120°(2)已知实数x，y满足方程(x－3)2＋(y－3)2＝6，则x＋y的最大值为________，最小值为________．随堂水平达标3．台风中心从A地以每小时20km的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地区为危险地区，B城市在A地正东40km处，B城市处于危险区内的时间为(

)A．0.5h B．1hC．1.5h D．2h2．设P是圆M：(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(

)A．6 B．4C．3 D．24．实数x，y满足方程x＋y－4＝0，则x2＋y2的最小值为___．85．如图，圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则拱桥所在圆的直径为____米．13课后课时精练基础题(占比50%)中档题(占比40%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★★★考点直线截圆所得劣弧最短问题与圆有关的最值问题直线与圆的方程的实际应用由直线与圆的交点个数求参数圆外与圆上点所成角最大问题直线与圆相切问题与圆有关的最值问题题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点直线与圆相切；光的反射问题直线与圆的方程的实际应用直线与圆相切问题；面积的最值直线与圆相切；与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题直线与圆相切问题；面积的最值直线与圆相切问题；面积的最值一、选择题1．过点M(1，2)的直线l将圆(x－2)2＋y2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l的方程是(

)A．x＝1 B．y＝2C．x－2y＋3＝0 D．x－y＋1＝08．一束光线经过点M(25，18)射到x轴上，被反射到圆C：x2＋(y－7)2＝25上，则经过圆心的反射光线所在直线的方程为_____________，在x轴上反射点A的活动范围为________．x＋y－7＝04.4三、解答题10．已知圆C：(x－1