2026《金版教程》数学选择性必修第一册B版2.3.1　 圆的标准方程

第二章

平面解析几何2.3圆及其方程2.3.1圆的标准方程课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程．教学重点：1.圆的标准方程的特点.2.用待定系数法求圆的标准方程．教学难点：用数形结合法求圆的标准方程以及选择恰当的坐标系解决与圆有关的问题．核心素养：1.通过探究圆的标准方程及点与圆的位置关系培养直观想象素养和逻辑推理素养.2.通过根据已知条件求圆的标准方程培养数学抽象素养和数学运算素养．(教师独具内容)核心概念掌握核心素养形成随堂水平达标目录课后课时精练核心概念掌握知识点一圆的标准方程(1)圆的基本要素圆的基本要素是________和________．(2)圆的标准方程一般地，如果平面直角坐标系中⊙C的圆心为C(a，b)，半径为r(r>0)，设M(x，y)为平面直角坐标系中任意一点，则点M在⊙C上的充要条件是________，即________________________，两边平方，得______________________，此式通常称为圆的标准方程．为了方便起见，我们称圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2时，指的是方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2的圆．圆心半径|CM|＝r(x－a)2＋(y－b)2＝r2位置关系判断方法几何法代数法点M(x0，y0)在圆上|MC|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_____r2点M(x0，y0)在圆内|MC|_____r(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2点M(x0，y0)在圆外|MC|_______r(x0－a)2＋(y0－b)2_______r2知识点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为C(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，则＝＝<<>>(x＋1)2＋(y－3)2＝3(－2，2)5点A在圆上核心素养形成(2)若方程(x－m)2＋(y－2)2＝m2－m－2表示圆的标准方程，则m的取值范围是_________________________．解析由m2－m－2>0，得m>2或m<－1.(－∞，－1)∪(2，＋∞)【感悟提升】几种特殊位置的圆的标准方程条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)圆心在x轴上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圆心在x轴上且过原点(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圆心在y轴上且过原点x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与x轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)与y轴相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)(2)方程(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)表示的圆(

)A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线x－y＝0对称D．关于直线x＋y＝0对称解析：该圆的圆心(－a，a)在直线x＋y＝0上，故该圆关于直线x＋y＝0对称．故选D.题型二判断点与圆的位置关系

例2已知点A(1，2)在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．[条件探究]将本例改为：已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围．【感悟提升】1．判断点与圆的位置关系的方法(1)几何法：计算该点与圆心的距离，与半径作比较．(2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，比较式子两边的大小，并作出判断．2．灵活运用若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．【跟踪训练】2．若点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则实数a的取值范围为(

)A．[1，5] B．[2，5]C．[3，5] D．[4，5]解析：点A(a，2)不在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5a的外部，则点A(a，2)在该圆的内部或圆上，故(a－1)2＋(2＋1)2≤5a且a>0，解得2≤a≤5，故实数a的取值范围为[2，5]．故选B.题型三求圆的标准方程

例3求过点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的标准方程．【感悟提升】求圆的标准方程的常用方法(1)直接法：求出圆心和半径，直接写出方程．(2)待定系数法：一般步骤为(3)几何法：确定圆心坐标和半径，常用到圆的以下几何性质：①弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心；③圆心与切点的连线长是半径；④圆心与切点的连线必与切线垂直．【跟踪训练】3．已知某圆圆心在x轴上，半径为5，且截y轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解法二：由题意设所求圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴所得线段长为8，∴圆过点A(0，4)，代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圆的标准方程为(x＋3)2＋y2＝25或(x－3)2＋y2＝25.题型四与圆有关的最值问题

例4

(1)已知点A(8，－6)与圆C：x2＋y2＝25，点P是圆C上任意一点，求|AP|的最小值．[结论探究]在本例(2)条件不变的情况下，如何求x2＋y2－2x的最大值和最小值？【跟踪训练】4．(1)已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3，求x2＋y2的最大值和最小值．题型五与圆有关的实际应用问题

例5有一种大型商品，A，B两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A地是B地的两倍，若A，B两地相距10公里，顾客选择A地或B地购买这种商品的原则是运费和价格的总费用最低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？【感悟提升】解与圆有关的实际应用问题的方法由于圆具有很好的对称性，在实际应用中，一般通过建立平面直角坐标系，把实际问题转化为圆的半径、弦长等问题来求解，最后不要忘记根据实际意义作答．建立平面直角坐标系时，注意根据垂径定理等找垂直关系．随堂水平达标1．已知圆C：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，则圆心C与半径r分别为(

)A．C(1，－1)，r＝4 B．C(－1，1)，r＝4C．C(1，－1)，r＝2 D．C(－1，1)，r＝2解析：圆C的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝4，即圆心C与半径r分别为C(－1，1)，r＝2.故选D.2．已知圆C的方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝12，则点A(1，6)在(

)A．圆内 B．圆上C．圆外 D．不确定4．(多选)已知圆C过点A(1，4)，B(3，2)，且圆心C在直线y＝0上，则(

)A．圆心坐标为C(－1，0)B．半径r＝5C．点M1(2，3)在圆内D．点M2(2，4)在圆外5．若圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9上相异两点P，Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为________．解析：圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．已知圆的圆心为(－1，3)，由题设知，直线kx＋2y－4＝0过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，所以k＝2.2课后课时精练基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号1234567难度★★★★★★★考点判断含参数的点与圆的位置关系已知圆心位置求参数已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程直接法求动点的轨迹方程；圆外一点与圆上一点距离的最值已知圆上两点及圆心到直线的距离求圆的标准方程已知两圆关于直线对称求对称圆的标准方程利用点与圆的位置关系求圆的标准方程题号891011121314难度★★★★★★★★★★★★★考点已知直径两端点求圆的标准方程；已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程已知圆上两点及圆心位置求圆的标准方程；已知圆上一点及圆心求圆的标准方程已知圆上一点及含参数的圆心求圆的标准方程；面积的最值问题圆外一点与圆上一点距离的最值求菱形的内切圆的标准方程圆外一点与圆上一点距离的最值求圆弧的方程；利用函数的单调性求最值一、选择题1．点P(a，10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(

)A．在圆外

B．在圆上C．在圆内

D．与a的值有关3．过点A(－6，2)，B(2，－2)且圆心在直线x－y＋1＝0上的圆的方程是(

)A．(x－3)2＋(y－2)2＝25 B．(x＋3)2＋(y＋2)2＝25C．(x－3)2＋(y－2)2＝5 D．(x＋3)2＋(y＋2)2＝5二、填空题6．圆C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝5关于直线y＝x对称的圆C2的标准方程为______________________．(x＋1)2＋(y－2)2＝57．已知圆M的圆心坐标为(3，4)，且A(－1，1)，B(1，0)，C(－2，3)三点一个在圆M内，一个在圆M上，一个在圆M外，则圆M的方程为_________________．(x－3)2＋(y－4)2＝258．已知圆过点A(1，－2)，B(－1，4)，则周长最小的圆的方程为_______________，圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程为__________________．x2＋(y－1)2＝10(x－3)2＋(y－2)2＝20三、解答题9．分别求满足下列条件的圆的标准方程：(1)经过点A(3，2)，B(2，3)，圆心在x轴上；(2)经过直线x＋2y＋3＝0与x－2y＋3＝0的交点，圆心为点C(－2，1)．10．已知圆C的圆心坐标为(x0，x0)，且过点P(4，2)．(1)求圆C的标准方程(用含x0的方程表示)；(2)当x0为何值时，圆C的面