人教版2026年九年级数学下册相似三角形单元测试题四

人教版2026年九年级数学下册相似三角形单元测试题四同学们，相似三角形是平面几何的重要组成部分，它不仅是对三角形全等知识的延伸，更是解决复杂几何问题、进行实际测量的有力工具。这份测试题旨在全面考察大家对相似三角形的定义、判定、性质及其应用的掌握程度。请大家认真审题，仔细作答，充分发挥自己的水平。考试时间：120分钟满分：120分一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.下列说法中，正确的是()A.两个等腰三角形一定相似B.两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D.两个等腰直角三角形不一定相似2.若△ABC与△DEF相似，且相似比为2:3，则△ABC与△DEF的周长比为()A.2:3B.3:2C.4:9D.9:43.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，若AD=2，DB=3，AE=1，则EC的长为()(此处应有示意图：△ABC中，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上)A.1.5B.2C.2.5D.34.能判定△ABC与△A'B'C'相似的条件是()A.∠A=∠A'B.AB/A'B'=AC/A'C'，且∠B=∠B'C.AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'D.AB/A'B'=AC/A'C'，且∠C=∠C'5.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，则下列结论错误的是()(此处应有示意图：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D)A.△ACD∽△ABCB.△BCD∽△BACC.△ACD∽△BCDD.△ACD∽△CBD6.两个相似三角形的面积比为1:4，则它们对应中线的比为()A.1:2B.1:4C.1:8D.1:167.如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，而且落在离网不远的位置。已知网高为h，击球点到网的水平距离为d，击球点的高度为H，则球的落地点到网的水平距离x与这些量之间的关系为()(此处应有示意图：网球运动轨迹，形成两个相似直角三角形)A.x=(hd)/HB.x=(Hd)/hC.x=(hd)/(H-h)D.x=(Hd)/(H-h)8.如图，四边形ABCD是平行四边形，则图中与△AEF相似的三角形是()(此处应有示意图：平行四边形ABCD，E在AB上，F在AD上，连接EF，可能与CD或BC边有交点，形成相似三角形)A.△CDFB.△BCEC.△ABCD.△ADC9.点P是△ABC边AB上一点，且AC²=AP·AB，则下列结论正确的是()A.△APC∽△ACBB.△APC∽△BCAC.△ACP∽△BCAD.△ACP∽△CBA10.如图，位似图形由△ABC放大得到△A'B'C'，已知OA=3，OA'=6，则△ABC与△A'B'C'的面积比为()(此处应有示意图：位似中心为O，△ABC与△A'B'C'位似，A、O、A'共线，B、O、B'共线，C、O、C'共线)A.1:2B.1:3C.1:4D.1:9二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.若线段a=3，b=6，c=2，则a、b、c的第四比例项d=______。12.已知△ABC∽△DEF，∠A=50°，∠B=60°，则∠F=______度。13.如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，若△ADE的面积为2，则四边形DBCE的面积为______。(此处应有示意图：△ABC中，DE平行于BC，D在AB上，E在AC上)14.两个相似三角形对应角平分线的比是2:3，它们的周长差是15cm，则较大三角形的周长是______cm。15.如图，小明站在C处看甲乙两楼楼顶上的点A和点E。C、E、A三点在同一直线上，点B、D分别在C、E、A所在直线上，B、D分别为甲乙两楼的底部。若CD=20米，BD=40米，小明身高CF=1.5米，且F、C、D在同一直线上，AB=15米，则甲楼的高度DE=______米。(此处应有示意图：小明在C点，F为头顶，CF=1.5m，远处有甲楼DE，乙楼AB，B、D、C在同一直线上，视线FAE过C点)16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D是AB的中点，点E在AC上，将△ADE沿DE折叠，使点A落在点A'处。若A'E⊥AC，则A'C的长为______。(此处应有示意图：Rt△ABC，∠C=90°，D为AB中点，E在AC上，折叠A至A'，A'E⊥AC)三、解答题(本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(8分)如图，已知△ABC中，点D在AB上，且∠ACD=∠B。求证：AC²=AD·AB。(此处应有示意图：△ABC，D在AB上，∠ACD=∠B)18.(8分)如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE。求证：△ABC∽△ADE。(此处应有示意图：△ABC和△ADE，有公共顶点A或顶点A重合，∠BAD=∠CAE)19.(8分)如图，在平行四边形ABCD中，E是BC延长线上一点，AE交CD于点F。若AB=5，BC=3，CF=1，求CE的长。(此处应有示意图：平行四边形ABCD，E在BC延长线上，AE交CD于F)20.(8分)如图，某同学想利用标杆测量一棵大树的高度。他在地面上放一个标杆CD，标杆高2米，他调整自己的位置，当他与标杆、大树的顶端A、C在同一条直线上时，他的眼睛E与地面的距离EF=1.5米，测得他到标杆的距离DF=2米，标杆到大树的距离BD=10米，求大树的高度AB。(此处应有示意图：人EF，标杆CD，大树AB，均垂直于地面BDF，E、C、A共线)21.(8分)如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC上，且AD=AE。求证：△ADE∽△ABC，并求出当AB=6，AD=2时，△ADE与△ABC的面积比。(此处应有示意图：等腰△ABC，AB=AC，D在AB上，E在AC上，AD=AE)22.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm。点P从点A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；同时点Q从点C出发沿CB方向向点B匀速运动，速度为1cm/s。设运动时间为t(s)(0<t<6)。(1)用含t的代数式表示线段PC和CQ的长度；(2)当t为何值时，△PCQ与△ACB相似？(此处应有示意图：Rt△ABC，∠C=90°，P在AC上从A向C运动，Q在BC上从C向B运动)23.(10分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E是AC的中点，ED的延长线与CB的延长线交于点F。(1)求证：FD²=FB·FC；(2)若FB=5，BC=4，求FD的长。(此处应有示意图：Rt△ABC，∠C=90°，CD⊥AB于D，E为AC中点，ED延长交CB延长线于F)24.(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0,6)，B(8,0)，点C在x轴上，且位于点B的右侧，连接AC。点P从点A出发沿线段AC向点C匀速运动，同时点Q从点C出发沿x轴负方向向点B匀速运动，它们的速度均为每秒1个单位长度。设运动时间为t秒。(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)在点P、Q运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。(此处应有示意图：平面直角坐标系，A(0,6)，B(8,0)，C在x轴正半轴B右侧，P在AC上，Q在CB上从C向B运动)---参考答案与评分标准（仅供阅卷参考）一、选择题(每小题3分，共30分)1.B2.A3.A4.C5.D6.A7.C8.A9.A10.C二、填空题(每小题3分，共18分)11.412.7013.1614.4515.616.1.5(或3/2)三、解答题(共72分)17.(8分)证明：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A(公共角)(2分)∴△ACD∽△ABC(AA相似判定)(4分)∴AC/AB=AD/AC(相似三角形对应边成比例)(6分)∴AC²=AD·AB(交叉相乘)(8分)18.(8分)证明：∵∠BAD=∠CAE∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE(3分)又∵∠ABC=∠ADE(已知)(5分)∴△ABC∽△ADE(AA相似判定)(8分)19.(8分)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD=5(2分)∴∠EFC=∠EAB，∠ECF=∠EBA(两直线平行，内错角相等)(4分)∴△EFC∽△EAB(AA相似判定)(5分)∴CF/AB=CE/BE(6分)∵CF=1，AB=5，BC=3，设CE=x，则BE=BC+CE=3+x∴1/5=x/(3+x)(7分)解得x=3/4即CE的长为3/4。(8分)20.(8分)解：过点E作EH⊥AB于H，交CD于G。(1分)则四边形EFDG、EFBH都是矩形。∴EG=DF=2米，GH=BD=10米，EH=EG+GH=12米DG=EF=1.5米，BH=EF=1.5米(2分)CG=CD-DG=2-1.5=0.5米(3分)∵CD∥AB∴△ECG∽△EAH(AA相似判定)(5分)∴CG/AH=EG/EH(6分)即0.5/AH=2/12解得AH=3米(7分)∴AB=AH+HB=3+1.5=4.5米(8分)答：大树的高度AB为4.5米。21.(8分)(1)证明：∵AB=AC，AD=AE∴AD/AB=AE/AC(2分)又∵∠A=∠A(公共角)(4分)∴△ADE∽△ABC(SAS相似判定)(5分)(2)解：∵AB=6，AD=2∴相似比AD/AB=2/6=1/3(6分)∴△ADE与△ABC的面积比为(1/3)²=1/9(8分)22.(10分)解：(1)由题意得：AP=tcm，CQ=tcm(1分)∵AC=8cm，∴PC=AC-AP=(8-t)cm(2分)(CQ=tcm已在上述体现)(2)∵∠C=∠C=90°∴当PC/AC=CQ/BC或PC/BC=CQ/AC时，△PCQ与△ACB相似(4分)①若PC/AC=CQ/BC则(8-t)/8=t/6(5分)6(8-t)=8t48-6t=8t14t=48t=24/7(6分)②若PC/BC=CQ/AC则(8-t)/6=t/8(7分)8(8-t)=6t64-8t=6t14t=64t=32/7(8分)∵0<t<6∴t=24/7和t=32/7均符合题意(9分)答：当t为24/7秒或32/7秒时，△PCQ与△ACB相似。(10分)23.(10分)(1)证明：∵∠ACB=90°，CD⊥AB∴∠ADC=∠ACB=90°，∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°∴∠A=∠BCD(2分)∵E是AC的中点∴DE=AE=CE(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)(3分)∴∠A