六下第二单元比和比例能力提高题和奥数题

六下第二单元比和比例能力提高题和奥数题同学们，在小学阶段的数学学习中，“比和比例”是一块承上启下的重要内容。它不仅是对前面所学分数、除法等知识的综合运用与深化，也为初中学习更复杂的代数知识奠定了坚实的基础。本单元的学习，不仅仅是掌握基本概念和性质，更重要的是培养我们运用这些知识解决实际问题的能力，以及初步的逻辑思维和抽象概括能力。下面，我们将一起探索一些比和比例中的能力提高题和奥数题，挑战自我，拓展思维。一、核心知识回顾与点拨在进入提高题之前，我们先来简要回顾一下本单元的核心知识点，这是解决复杂问题的基石。1.比的意义与基本性质：*两个数相除又叫做两个数的比。比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。*重点：理解比与分数、除法的关系，能熟练进行比的化简（化为最简整数比）和求比值。2.比例的意义与基本性质：*表示两个比相等的式子叫做比例。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。*重点：会根据比例的基本性质判断两个比能否组成比例，会解比例。3.正比例与反比例的意义：*两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，它们成正比例；如果积一定，它们成反比例。*重点：能准确判断两种量成什么比例关系，并能运用正、反比例知识解决问题。4.按比例分配：*把一个数量按照一定的比来进行分配。*重点：掌握按比例分配的解题步骤和不同方法（归一法、分数法）。点拨：解决比和比例的问题，关键在于找准“对应关系”和“不变量”。很多复杂的题目，只要抓住这两点，就能迎刃而解。同时，要善于运用转化的思想，将比与分数、份数等概念灵活转换。二、能力提高与奥数题型精讲（一）比和比例的基本应用与转化题型特点：这类题目主要考查对比的基本性质、比例的基本性质的灵活运用，以及比与分数之间的转化能力。例题1：已知甲、乙两数的比是3:4，乙数与丙数的比是6:7，求甲、乙、丙三个数的连比。思路分析：要得到甲、乙、丙三个数的连比，关键是使乙数在两个比中所占的份数相同。甲:乙=3:4，乙:丙=6:7，乙数分别是4份和6份。4和6的最小公倍数是12，因此我们可以根据比的基本性质，将两个比中的乙数都化为12份。解答：甲:乙=3:4=(3×3):(4×3)=9:12乙:丙=6:7=(6×2):(7×2)=12:14所以，甲:乙:丙=9:12:14答：甲、乙、丙三个数的连比是9:12:14。巩固练习1：若a:b=2:3，b:c=4:5，且a+b+c=140，求a、b、c的值。---例题2：一个分数，分子与分母的和是48，如果分子加上6，分母减去6，这个分数就等于1。原分数是多少？思路分析：“分子加上6，分母减去6，这个分数就等于1”，说明此时分子和分母相等。设变化后的分子与分母都为x，则原来的分子为x-6，原来的分母为x+6。根据“分子与分母的和是48”可列方程。或者，也可以从“分数等于1”推出分子分母相等，即变化后分子分母的比是1:1，再结合和的变化来求解。解答（方法一：方程法）：设变化后的分子与分母都为x。原来的分子：x-6原来的分母：x+6(x-6)+(x+6)=482x=48x=24原来的分子：24-6=18原来的分母：24+6=30原分数是18/30。解答（方法二：比例法）：变化后分子与分母的比是1:1，它们的和是48（因为分子加6、分母减6，总和不变）。变化后的分子=48×(1/(1+1))=24变化后的分母=48×(1/(1+1))=24原来的分子：24-6=18原来的分母：24+6=30原分数是18/30。答：原分数是18/30。巩固练习2：一个分数，分子与分母的比是2:3，如果分子加上2，分母不变，这个分数就等于1。原分数是多少？（二）利用比例关系解决分数应用题题型特点：这类题目将比和比例与分数应用题结合起来，需要通过分析数量关系，找出对应的比例关系或分率来求解。例题3：甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的3/4。如果从乙桶倒出8千克油给甲桶，则甲桶油的重量是乙桶油的5/6。甲、乙两桶油原来各有多少千克？思路分析：题目中，甲、乙两桶油的重量都发生了变化，但两桶油的总重量是不变的。我们可以把总重量看作单位“1”。原来甲桶油是乙桶的3/4，即甲:乙=3:4，那么甲桶占总重量的3/(3+4)=3/7。后来甲桶油是乙桶的5/6，即甲:乙=5:6，那么甲桶占总重量的5/(5+6)=5/11。甲桶增加的重量（8千克）对应的分率就是(5/11-3/7)。解答：原来甲桶油占总重量的：3/(3+4)=3/7后来甲桶油占总重量的：5/(5+6)=5/11两桶油总重量：8÷(5/11-3/7)=8÷(35/77-33/77)=8÷(2/77)=8×(77/2)=308(千克)原来甲桶油重量：308×3/7=132(千克)原来乙桶油重量：308×4/7=176(千克)答：甲桶油原来有132千克，乙桶油原来有176千克。巩固练习3：某班男生人数是女生人数的4/5，后来又转来1名男生，这时男生人数是女生人数的5/6。这个班现在有多少人？（三）正比例与反比例的实际应用题型特点：这类题目主要考查对正、反比例意义的理解和判断，并运用其性质解决诸如行程问题、工程问题、几何问题等。例题4：一辆汽车从甲地开往乙地，去时每小时行60千米，返回时每小时行80千米，往返共用了7小时。甲、乙两地相距多少千米？思路分析：甲、乙两地的距离是固定的。根据“路程=速度×时间”，当路程一定时，速度和时间成反比例。去时速度与返回速度的比是60:80=3:4，那么去时时间与返回时间的比就是4:3。再根据往返总时间是7小时，按比例分配求出各自的时间，进而求出路程。解答：去时速度:返回速度=60:80=3:4因为路程一定，速度与时间成反比例，所以去时时间:返回时间=4:3总份数：4+3=7去时时间：7×(4/7)=4(小时)甲、乙两地相距：60×4=240(千米)或80×(7-4)=80×3=240(千米)答：甲、乙两地相距240千米。巩固练习4：一批零件，原计划每天加工50个，若干天可以完成。实际每天加工60个，结果提前2天完成。这批零件共有多少个？---例题5：用边长为3分米的方砖铺地，需要200块；如果改用边长为5分米的方砖铺地，需要多少块？（用比例解）思路分析：铺地的总面积是一定的。每块方砖的面积和所需方砖的块数成反比例关系。注意是方砖的面积与块数成反比，而不是方砖的边长。解答：设改用边长为5分米的方砖需要x块。(3×3)×200=(5×5)×x9×200=25x1800=25xx=1800÷25x=72答：需要72块。巩固练习5：一个圆柱形玻璃容器的底面半径是10厘米，里面装有水，水中浸没着一个底面半径为5厘米的圆锥形铅锤。当铅锤从水中取出后，水面下降了0.5厘米。这个铅锤的高是多少厘米？（提示：圆锥体积等于下降的水的体积，利用体积公式和比例关系思考）（四）按比例分配的复杂应用题型特点：这类题目不仅仅是简单的按比例分配，可能涉及到多个量的比，或者需要先求出相关量的比，再进行分配。例题6：甲、乙、丙三人合买一台电视机，甲付钱数的1/2等于乙付钱数的1/3，等于丙付钱数的3/7。已知丙比甲多付了120元，这台电视机多少钱？思路分析：题目中给出了甲、乙、丙三人付钱数之间的关系：甲×1/2=乙×1/3=丙×3/7。我们可以设这个相等的量为单位“1”，或者设为k，然后分别表示出甲、乙、丙三人的付钱数，进而求出他们的付钱数之比，再根据“丙比甲多付了120元”求出每份数，最后求出总价。解答：设甲×1/2=乙×1/3=丙×3/7=k则甲=2k，乙=3k，丙=7k/3甲:乙:丙=2k:3k:(7k/3)=6:9:7(各项同时乘以3，消去分母)总份数：6+9+7=22丙比甲多的份数：7-6=1(份)每份的钱数：120÷1=120(元)这台电视机的价钱：120×22=2640(元)答：这台电视机2640元。巩固练习6：甲、乙、丙三个数的和是105，已知甲数的1/2等于乙数的5/6，乙数的2/3等于丙数的4/5。求甲、乙、丙三个数各是多少？（五）综合性与拓展性问题题型特点：这类题目往往融合了多个知识点，需要较强的分析能力和综合运用能力，有时还需要一些解题技巧。例题7：A、B两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元，它们的价格比是7:4。这两种商品原来的价格各是多少元？思路分析：题目中两种商品的价格都上涨了70元，价格差是不变的。我们可以抓住“价格差不变”这个关键来解题。原来A:B=7:3，差是7-3=4份；后来A:B=7:4，差是7-4=3份。4和3的最小公倍数是12，将差的份数统一为12份。解答：原来A:B=7:3=21:9(差为21-9=12份)后来A:B=7:4=28:16(差为28-16=12份)A商品价格上涨了28-21=7份，对应70元。每份的价格：70÷7=10(元)原来A商品的价格：21×10=210(元)原来B商品的价格：9×10=90(元)答：A商品原来210元，B商品原来90元。巩固练习7：甲、乙两个车间原有人数的比是4:3，从甲车间调48人到乙车间后，甲、乙两个车间人数的比是2:3。甲、乙两个车间原来各有多少人？三、总结与提升比和比例的知识体系庞大且应用广泛。要想熟练掌握并灵活运用，需要做到以下几点：1.深刻理解概念，夯实基础：对比的意义、性质，比例的意义、性质，正反比例的意义等核心概念要了然于胸，这是解决一切问题的前提。2.善于总结题型，掌握方法：像前面讲到的“抓不变量”、“比例转化”、“按比例分配”等，都是解决特定问题的有效策略。要在练习中不断总结归纳。3.多思多练，举一反三：数学思维的培养离不开练习，但更重要的是“思”。做完一道题后，要思考是否有其他解法，能否将方法迁移到其他类似问题上。4.注重知识间的联系与综合运用：比和比例与分数、除法、几何图形的面积体积计算等都有着密切的联系，要学会融会贯通。希望同学们通过以上题型的学习和练习，能够对“比和比例”的知识有更深刻的理解和更灵活的运用。遇到难题时，不要畏惧，要勇于尝试，仔细分析，相信你一定能在数学的世界里找到乐趣，收获成长！巩固练习参考答案：*巩固练习1：a=32,b=48,c=60*巩固练习2：4/6