初中九年级数学《用列举法求概率》单元教学设计

初中九年级数学《用列举法求概率》单元教学设计

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，针对初中九年级学生的认知发展水平，对“用列举法求概率”这一核心内容进行单元整体规划。本单元旨在超越单一课时、单一技能的训练，通过结构化、情境化的学习任务，引导学生深度理解概率的古典定义，系统掌握列表和画树状图两种基本列举方法，并能在复杂真实情境中加以选择和创造性应用，发展学生的数据意识、模型观念和应用意识。

一、单元整体概览

  1.单元内容解析

  概率论是研究随机现象规律性的数学分支，在信息时代具有日益重要的价值。“用列举法求概率”是初中阶段概率学习的核心与枢纽，它上承“随机事件与概率”的初步概念，下启“用频率估计概率”的统计思想，是学生首次系统运用数学工具对随机现象进行量化分析的关键节点。本单元的核心在于“列举”，其数学本质是“对样本空间进行结构化、无遗漏、不重复的枚举”。列表法与树状图法是实现这种枚举的两种可视化、程序化的思维工具。列表法适用于涉及两个元素且顺序往往重要的两步试验，其结构体现了矩阵思维的雏形；树状图法则具有更强的普适性和扩展性，能够清晰展示试验的层次、步骤和所有可能路径，是解决多步试验问题的利器。二者共同服务于一个根本目标：计算等可能事件概率P

(

A

)

=

m

n

P(A)=\frac{m}{n}

P(A)=nm​中的n

n

n（所有等可能结果数）和m

m

m（事件A包含的结果数）。本单元的深层学习难点在于：如何从现实问题中准确识别并抽象出等可能的“基本结果”；如何在复杂情境（如非对称、条件约束、多步试验）中构建合适的列举模型；以及如何理解列举法的局限性，为后续学习频率估计概率埋下伏笔。

  2.学情深度分析

  九年级学生正处于形式运算思维的形成与巩固期。在知识基础上，他们已经学习了“随机事件”、“可能性大小”的直观描述，以及“概率的古典定义”（即P

(

A

)

=

m

n

P(A)=\frac{m}{n}

P(A)=nm​），但对其中的“等可能性”和“结果总数的确定”理解往往表面化。在思维特征上，学生具备一定的分类、有序思考能力，但面对复杂情境时，常出现列举不全、重复或忽略等可能条件的问题。在认知动机上，他们对与生活息息相关的概率问题（如抽奖、游戏公平性）有浓厚兴趣，但容易将直觉判断与数学计算混淆。因此，教学设计的起点应是通过认知冲突暴露学生的直觉误区，终点是帮助他们建立严谨、程序化的数学思维工具。

  3.单元学习目标

  基于以上分析，确立本单元的三维学习目标：

  （1）知识与技能：

  ①准确理解古典概型中“等可能性”的前提，能判断一个问题是否适用于列举法。

  ②熟练运用列表法系统枚举涉及两个因素（如掷两枚骰子、两次摸球）且顺序重要的等可能事件的所有结果。

  ③熟练运用画树状图法系统枚举两步及两步以上等可能试验的所有结果，理解“层”、“枝”、“结果”的含义。

  ④能根据具体问题的特征（因素数量、步骤顺序、有无放回等），灵活选择或综合运用列表法与树状图法。

  ⑤能利用列举的结果，计算简单事件和复合事件（至少、至多、同时发生等）的概率。

  （2）过程与方法：

  ①经历从实际问题抽象为概率模型、选择或创造列举工具、求解并解释结果的全过程，体会数学建模思想。

  ②通过对比列表法与树状图法的异同，体会方法选择的策略性，发展优化思想。

  ③在解决“游戏公平性”设计、方案决策等开放性问题中，提升分析、推理和解决问题的能力。

  （3）情感、态度与价值观：

  ①感受数学工具在分析随机现象中的力量，破除一些基于直觉的认知迷思（如“赌徒谬误”）。

  ②在合作探究与交流中，养成严谨、有序、全面的思维品质。

  ③认识到概率在决策、风险评估中的重要作用，形成理性的决策意识。

  4.单元教学重点与难点

  教学重点：列表法和画树状图法枚举所有等可能结果的基本规则与操作。

  教学难点：①准确识别并构造等可能的基本结果；②在复杂情境（如非等可能结果转化、有条件约束）中灵活、综合地应用列举法。

  5.单元教学构想与课时安排

  本单元设计为4课时，采用“总-分-总”的结构，从整体感知到方法分项突破，再到综合应用与拓展。

  第1课时：概念的深化与列举思想的引入——从“等可能性”的再认识到列举必要性的感知。

  第2课时：列表法的原理与应用——聚焦两步有序试验的枚举。

  第3课时：树状图法的原理与应用（一）——从两步到多步，从等可能到非等可能的转化。

  第4课时：列举法的综合应用与思维拓展——方法选择策略、模型构建与局限初探。

二、单元教学过程详案

  第1课时：聚焦“等可能”——列举思想的逻辑起点

  （一）情境导入，引发认知冲突（约10分钟）

  教师活动：呈现真实问题情境：“某电商平台‘双十一’促销，设置了一个抽奖转盘。转盘被分成大小不等的四个扇形区域，分别标有一、二、三、四等奖。一等奖区域圆心角为18度，谢谢参与区域圆心角为162度，其余两个区域均为90度。小明说：‘我转一次，中一等奖的概率是四分之一，因为一共有四种结果。’他的说法对吗？为什么？”

  学生活动：独立思考后小组讨论。学生很可能出现分歧：一部分直觉上觉得不对，因为区域大小不同；另一部分可能固守“有几种结果概率就是几分之一”的错误前概念。

  设计意图：直击本单元最核心、最易错的概念——等可能性。通过一个非等可能但结果类别清晰的问题，强烈冲击学生可能存在的错误观念，为古典概型的适用范围划定清晰边界，也为后续学习用频率估计概率（用于非等可能）埋下伏笔。讨论中，教师引导学生聚焦“每个扇形区域被指针指向的可能性真的相同吗？”这一关键问题。

  （二）概念辨析，明确列举前提（约15分钟）

  教师活动：承接上述讨论，引导学生回顾古典概型的定义P

(

A

)

=

m

n

P(A)=\frac{m}{n}

P(A)=nm​。提出系列追问：

  1.公式中的n

n

n指的是什么？（所有等可能的基本结果总数）

  2.什么是“基本结果”？它需要满足什么条件？（不能再分、互斥、且等可能）

  3.在转盘问题中，“中一等奖”是一个基本结果吗？如何定义这里的“基本结果”才满足等可能？

  学生活动：在教师引导下，逐步明晰：在古典概型中，必须将试验的所有可能结果划分为一系列“等可能”的基本事件。对于转盘，更合理的“基本结果”是指针落在某个特定的、角度相等的微小扇形上（极限思想），或者直接利用几何度量（面积比）来求概率，但这已超出列举法范畴。从而达成共识：列举法求概率首先必须确保所列举的每一个基本结果是等可能的。

  设计意图：将教学从具体问题提升到概念层面，对古典概型的条件进行“法理”般的审视。使学生深刻理解，列举法的有效性建立在“等可能性”这一基石之上。无效的列举（列举非等可能的结果）将导致错误的计算。

  （三）初步列举，体验有序思维（约15分钟）

  教师活动：呈现等可能背景的简单问题：“抛掷一枚质地均匀的硬币两次，求两次都是正面的概率。”提问：试验的基本结果有哪些？如何能不重不漏地列出所有可能？

  学生活动：尝试列举。学生可能写出（正，正）、（正，反）、（反，反），遗漏（反，正）。教师引导：如何避免遗漏？引出“有序思考”：将第一次和第二次的结果按顺序考虑。从而得出四种等可能结果：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反）。

  教师活动：进一步将问题抽象：“抛掷一枚硬币两次”与“同时抛掷两枚硬币一次”，在概率模型上是否等价？引导学生理解，关键在于界定清楚“基本结果”。在“同时抛掷两枚硬币”时，若将两枚硬币编号（如A、B），则结果等价于有序对；若不编号，则（正，反）与（反，正）被视为同一结果，但此时这两个结果合并后与（正，正）、（反，反）还等可能吗？通过讨论，强化“构造等可能基本结果”的意识。

  设计意图：从一个最简单的两步试验入手，让学生亲历列举过程，并自然产生对“有序性”的需求。通过对比辨析，深化对“基本结果”人为构造性的理解，认识到合理的编号、顺序是保证列举有效（即等可能性）的重要手段。

  （四）课堂小结与作业布置（约5分钟）

  小结：师生共同总结：今天学习的核心是“等可能性”是列举法求概率的生命线。在解决问题时，首先要问自己：我准备列举的这些结果，是等可能的吗？如何设计或描述才能保证它们是等可能的？

  作业：

  1.（基础）判断下列试验中的基本结果是否等可能：①从扑克牌中抽一张牌，看花色；②掷一枚图钉，看针尖朝上还是朝下；③从身高不同的三人中随机选一人。

  2.（探究）设计一个情境：抛掷两枚骰子，求点数之和为5的概率。请先思考：试验的所有等可能基本结果是什么？（是“点数之和”的2到12这11个数吗？）尝试用你能想到的方法列出所有可能情况，并计算概率。

  第2课时：构建“矩阵”——列表法的原理与应用

  （一）作业反馈，导入新方法（约8分钟）

  教师活动：展示上节课探究作业（掷两枚骰子）的典型学生成果。暴露问题：很多学生直接列出点数之和为2，3，…，12，共11种结果，并错误计算概率为1

11

\frac{1}{11}

111​。引导学生辨析：这些“和”是等可能的吗？如何验证？（直觉上，和为2与和为7的可能性显然不同）。

  学生活动：讨论如何寻找真正的等可能结果。受第一课时启发，学生能想到将两枚骰子区分（如红、蓝），记录每枚的点数，构成有序数对。

  设计意图：延续“等可能性”这一主线，从作业中的典型错误切入，让学生深刻感受到，对于复杂一些的两步试验，无序、粗糙的列举会失败，迫切需要一种系统、可视化的枚举工具。

  （二）列表法建模与建构（约20分钟）

  教师活动：提出挑战：如何清晰、系统地枚举出所有（红骰子点数，蓝骰子点数）的有序数对？引导学生类比坐标系或乘法原理的思维。

  学生活动：在教师引导下，共同构建列表法模型。

  步骤一：确定第一个因素（如红骰子点数）的所有可能，作为表格的行标题（1，2，3，4，5，6）。

  步骤二：确定第二个因素（如蓝骰子点数）的所有可能，作为表格的列标题（1，2，3，4，5，6）。

  步骤三：在表格内部单元格中，填写对应行列组合形成的有序结果。通常简写成坐标形式（1，1），（1，2）等，或直接关注所研究的事件属性（如和、积）。

  教师活动：带领学生完成表格，并计数：所有等可能结果数n

=

6

×

6

=

36

n=6\times6=36

n=6×6=36个。这体现了乘法原理。随后，让学生在表格中找出“点数之和为5”的所有结果：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4个。计算概率P

=

4

36

=

1

9

P=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}

P=364​=91​。

  设计意图：让学生参与列表法的“发明”过程，理解其本质是将两个维度的所有可能进行“笛卡尔积”式的组合，并以矩阵形式可视化呈现，确保不重不漏。强调列表法的适用条件：涉及两个因素，且每个因素有若干种明确的可能性。

  （三）列表法变式与巩固（约15分钟）

  教师活动：呈现一组递进问题，要求学生尝试使用列表法解决：

  问题1（有放回）：一个袋子中有红、白两球，摸出一球，记下颜色后放回，再摸一球。求两次都摸到红球的概率。

  问题2（无放回）：条件改为第一次摸出后不放回。再求两次都摸到红球的概率。

  学生活动：独立或同桌合作完成列表。问题1列表简单：行、列均为（红，白），结果（红，红）是其中之一。问题2列表时，学生可能遇到挑战：第二次摸球的可能性依赖于第一次的结果。教师引导：列表的行仍是第一次的所有可能（红，白）；但第二次的列呢？当第一次摸到红球后，袋中只剩白球，所以第二次只有“白”一种可能。因此，表格中有些单元格是“不可能”或“无结果”的。此时列表依然有效，但需要理解单元格的意义是“有序操作的可能结果”，无放回导致某些路径不存在。

  设计意图：通过对比有放回和无放回摸球，让学生体会列表法的普适性，同时也感受到无放回问题中，第二个因素的可能性依赖于第一个因素的选择，列表时需仔细分析。这为树状图法（更能直观表达依赖关系）的引入做了铺垫。

  （四）课堂小结与作业布置（约2分钟）

  小结：列表法是将两个因素的所有可能组合以矩阵形式枚举的利器，关键是要有序地确定行和列，并理解每个单元格对应一个基本结果。

  作业：

  1.（巩固）用列表法求掷两枚骰子，点数之积为偶数的概率。

  2.（思考）同时抛掷三枚硬币，你能用类似列表法的方法枚举所有等可能结果吗？尝试一下，并思考其局限性。

  第3课时：绘制“决策树”——树状图法的原理与应用

  （一）从列表局限到树状图生成（约10分钟）

  教师活动：请学生分享上节课思考题（抛三枚硬币）的尝试。学生会发现，列表法处理两个因素很直观，但处理三个因素时，需要画三维“表格”或嵌套表格，非常不便。提问：有没有一种方法，能像树枝分叉一样，自然地表达一步接一步的试验过程？

  学生活动：回顾“有序思考”的过程，尝试用“分支”的方式表示第一次抛掷（正、反），然后在每个结果后，再画分支表示第二次抛掷……

  设计意图：让学生亲身感受列表法在维度扩展上的局限性，从而产生对新工具的内在需求。从学生已有的“分步思考”经验出发，自然过渡到树状图。

  （二）树状图法的规范建构与理解（约20分钟）

  教师活动：以“抛掷三枚硬币（有序）”为例，在黑板上规范演示树状图的画法。

  第一步：从“树根”（起点）开始，画出第一层分支，表示第一次试验的所有可能结果（正、反），并在分支上标出概率（各1/2）。

  第二步：从第一层的每个“节点”（分支末端）出发，画出第二层分支，表示在第一次结果已知的条件下，第二次试验的所有可能结果（仍为正、反，概率各1/2）。

  第三步：同理，画出第三层分支。

  强调：①每一层对应试验的一个步骤；②从同一节点出发的分支，代表该步骤下所有互斥且等可能的结果；③一条从树根到树梢的路径，代表一个完整的等可能基本结果。

  学生活动：跟随教师一起画图，并数出共有2

×

2

×

2

=

8

2\times2\times2=8

2×2×2=8条路径（基本结果）。找出“恰好两个正面”的事件包含哪些路径（正正反、正反正、反正正），共3条，概率为3

8

\frac{3}{8}

83​。

  教师活动：深化概念：树状图上不仅可以标注结果，还可以在分支上标注每一步的概率，利用概率乘法计算每条路径的概率。这为高中学习条件概率和乘法公式奠定直观基础。

  （三）树状图法应用与拓展（约15分钟）

  教师活动：呈现两个挑战性问题，引导学生应用树状图。

  问题1（多步与非等可能转化）：小明闯关答题，需连续答对两题方可晋级。他答对第一题的概率是0.8。若第一题答对，则第二题答对的概率为0.6；若第一题答错，则第二题答对的概率仅为0.3。求小明晋级的概率。

  学生活动：发现这不是等可能问题。教师引导：树状图能否处理？可以！树状图的优势在于能清晰表达条件概率。第一层分支：对（P=0.8），错（P=0.2）。第二层分支从“对”节点出发：对（P=0.6），错（P=0.4）；从“错”节点出发：对（P=0.3），错（P=0.7）。计算路径“对→对”的概率：0.8*0.6=0.48。

  设计意图：突破古典概型限制，展示树状图在处理条件概率、非等可能多步试验中的强大能力。让学生体会到，列举思想（枚举所有可能路径）与概率计算相结合，可以解决更广泛的问题。

  问题2（方法选择策略）：“从甲、乙、丙三人中随机选两人参加活动。”请分别尝试用列表法和树状图法表示所有可能结果，并比较优劣。

  学生活动：尝试。列表法：行、列为甲、乙、丙，但会出现（甲，甲）这样的无效组合，且（甲，乙）和（乙，甲）代表同一选择，需要剔除一半，处理麻烦。树状图法：第一层选第一人（甲、乙、丙），第二层在剩余两人中选第二人，路径清晰，但同样（甲，乙）和（乙，甲）是不同路径，需合并为同一结果。通过对比，学生认识到，对于“无序组合”问题，无论列表还是树状图，直接列举都会产生顺序，需要后期“去序”，这体现了列举法在处理组合问题时的特点。

  （四）课堂小结与作业布置（约5分钟）

  小结：树状图是处理多步试验（尤其是步骤间有依赖关系）的直观工具。它能清晰地展示试验的层次和所有可能路径，适用范围比列表法更广。

  作业：

  1.（基础）用树状图分析“从A、B、C三本书中随机借两本（依次借，不放回）”的所有可能结果，并求恰好借到A和B的概率。

  2.（拓展）设计一个包含三步决策的实际问题（如天气影响出行，出行方式影响迟到概率），并用树状图进行分析。

  第4课时：策略与超越——列举法的综合应用与思维拓展

  （一）综合问题解决，形成方法选择策略（约20分钟）

  教师活动：呈现一个融合真实情境的复杂问题：“学校举办‘经典诵读’活动，要从《春晓》（A）、《静夜思》（B）、《登鹳雀楼》（C）三首诗中随机抽取两首作为集体朗诵篇目。抽签规则是：从不透明的箱中依次摸出两个签（不放回），第一次摸出的决定朗诵顺序（先诵），第二次摸出的决定后诵篇目。请问：（1）抽到的两首诗恰好是A和B的概率是多少？（2）如果规则改为：一次性摸出两个签，不考虑顺序，概率又是多少？”

  学生活动：分组探究。教师巡视，关注不同小组的方法选择：有的用树状图模拟“依次摸取”过程；有的尝试用列表法；对于第二问，有的小组在有序列举的结果上合并（A,B）和（B,A）；有的小组直接构建无序的组合模型（但需论证等可能）。

  教师引导与全班分享：

  1.对于第一问（有序模型），最适合的方法是树状图，清晰展示两步摸取。所有等可能结果数为6，事件“A和B（有序）”包含（A,B）和（B,A），概率为2

6

=

1

3

\frac{2}{6}=\frac{1}{3}

62​=31​。

  2.对于第二问（无序模型），引导学生认识到，在“一次性摸出两个”的规则下，三个基本结果{A,B}，{A,C}，{B,C}是否是等可能的？如何验证？可以通过有序树状图的结果来“映射”：{A,B}对应有序中的（A,B）和（B,A）两条路径，其余类似。因此每个无序组合对应的路径数相等（都是2条），所以在无序视角下，这三个组合依然是等可能的，概率各为1

3

\frac{1}{3}

31​。

  策略总结：师生共同提炼方法选择策略：①看步骤：明确试验是“一步完成”还是“多步完成”。多步试验优先考虑树状图。②看因素与顺序：若主要是两个因素，且顺序清晰（如坐标），列表法可能更简洁。③看是否有序：无论用哪种方法，首先要根据问题语境判断，结果是否与顺序有关。④灵活转化：复杂问题可以先用一种方法（如树状图）详尽枚举，再根据问题需求对结果进行合并或筛选。

  （二）列举法的局限与思维拓展（约15分钟）

  教师活动：提出挑战性问题：“一个袋子中有红球3个，白球2个，这些球除颜色外都相同。从中任意摸出3个球，求摸出的球中至少有2个红球的概率。”

  学生活动：尝试用树状图或列表法解决。学生会很快发现，步骤多（三步），且不是简单的“有放回/无放回”，列举将异常繁琐（需要画出三层，且每层的分支数在变化）。

  教师引导：承认列举法在此处的笨拙。提问：有没有更高效的计数方法？引出“组合”的思想。虽然九年级尚未系统学习组合数公式，但可以引导学生用“编号”后列举所有无序组合的思路，感受从“逐一列举”到“分类计数”的思维跃迁。例如，给红球编号R1,R2,R3，白球W1,W2。摸3个球，所有可能组合（无序）可以通过系统思考列出：2红1白的组合有几种？1红2白的组合有几种？…这本质是简单的组合计数。

  设计意图：通过一个列举法可行但低效的问题，让学生自然感受到列举法的局限性：当可能结果数量非常庞大时，人力枚举是不现实的。从而认识到数学需要发展更高级的计数工具（如排列组合），也为统计中用频率估计概率（当结果空间复杂或未知时）的必要性做铺垫。体现数学发展的动力：从具体到抽象，从繁琐到高效。

  （三）单元总结与反思（约10分钟）

  学生活动：以思维导图或结构图的形式，分组合作梳理本单元的核心知识、方法、易错点和思想。

  预期梳理出的网络应包括：

  *核心概念：等可能性、基本结果、古典概型。

  *核心方法：列表法（适用条件、步骤）、树状图法（适用条件、画法、路径概率）。

  *方法策略：如何判断问题是否适用列举法？如何选择列表还是树状图？如何处理有序/无序问题？

  *数学思想：有序思考、分类讨论、模型思想、转化思想。

  *应用与联系：解决游戏公平性、决策预测等问题；与后续组合计数、频率估计概率的联系。

  教师活动：点评各组的总结，并做最终升华：列举法是我们征服“不确定性”世界的第一把锋利的数学匕首。它教会我们，面对随机现象，不应停留于直觉猜测，而应通过严谨、系统的方式，厘清所有可能，方能精确计算其可能性。这把“匕首”有其锋芒所及的范围（等可能、有限结果），也让我们看到了更广阔的概率世界等待我们去探索。

  （四）单元评价作业布置

  设计一份综合性的单元作业，包含基础题、方法选择题、实际问题建模题和一道开放性的小论文题目（如：“谈谈我对