小学三年级数学商中间末尾有0除法深度探究导学案

小学三年级数学商中间末尾有0除法深度探究导学案

一、教学背景与顶层设计

（一）【基础】学科定位与学段特征

本教学设计针对小学三年级数学学科，学段为三年级上学期。该学段学生正处于从具体形象思维向初步抽象逻辑思维过渡的关键期，具备表内除法及两位数除以一位数的竖式计算经验，但对“位值制”与“除法分步均分”的深层对应关系理解尚浅。本课作为苏教版三年级上册第四单元《两、三位数除以一位数》的核心课时，承担着将除法计算从“基本会算”推向“理解模型、精准占位、灵活应用”的重任。

（二）【重要】核心素养指向

本设计严格对标《义务教育数学课程标准（2022年版）》“数与代数”领域第二学段要求，着力培育以下核心素养：

1.数感：通过估算与精确计算的反复对照，感知商的区间与数值大小关系。

2.运算能力：在理解算理的基础上掌握0占位的竖式书写规范，形成正确、熟练、自觉验算的技能。

3.推理意识：在“被除数某一位不够除或为0”时，由已有经验推导出“商0占位”的逻辑必然性。

4.模型意识：将“平均分”情境与竖式中“分—减—落—除”的步骤建立一一对应关系。

（三）【热点】课标新视角——跨学科主题学习渗透

本设计有机融入中华优秀传统文化（民间手工艺面人、泥塑）与德育（节约资源、图书捐赠），在数学学习中同步落实文化自信与价值引领，符合当前素养导向命题趋势。

二、优化后教学标题

三年级数学商中间或末尾有0除法算理与占位策略深度教学

三、教学内容结构化分析

（一）【高频考点】教材知识图谱

依据苏教版教材编排逻辑，本课时需系统性解决两类四种情形：

1.商中间有0的情形

（1）类型A（被除数中间有0）：如306÷3，十位上的0除以除数，直接商0占位。

（2）类型B（被除数中间无0但不够除）：如412÷4，十位上的1除以4不够商1，必须商0占位。

2.商末尾有0的情形

（1）类型C（被除数末尾有0且前位除尽）：如480÷4，个位0除以除数，商0占位。

（2）类型D（被除数末尾无0但前位除尽且余0）：如570÷5，十位除尽后个位落0，商0占位；或有余数但除数大于余数延伸至小数情境前的特殊处理。

3.【难点】易错归因

（1）漏写商0，导致商由三位数变成两位数。

（2）0占位后未将后续数位落下来继续除。

（3）横式得数漏写末尾的0。

（4）验算时未将商中间的0计入乘法计算。

（二）【非常重要】跨单元知识联结

本课既是表内除法的延伸，又是五年级上册“除数是小数的除法”及六年级“分数基本性质”的基石。商0占位的本质是计数单位分解与重组，对未来学习小数除法中“补0继续除”具有前置建模意义。

四、教学目标多维分层

（一）基础性目标（人人达成）

1.理解并熟记“0除以任何不是0的数都得0”的结论。

2.掌握三位数除以一位数时，商中间或末尾商0的竖式简便写法，能正确计算2-3道同类式题，正确率90%以上。

3.能结合具体情境进行商的位数估算，养成先估后算的习惯。

（二）拓展性目标（大部达成）

1.能清晰阐释“商的十位或个位为什么要写0”的算理，能用“计数单位不够分”进行逻辑表达。

2.能通过验算（乘法）逆向验证商中间有0的除法结果。

3.能解决“不够商1时商0占位”的实际问题，并正确处理余数。

（三）挑战性目标（优生达成）

1.在无具体情境下，能根据商中间或末尾有0的特征，逆向推断被除数可能满足的条件（如□12÷4，商中间有0，□里可以填几）。

2.对比辨析“被除数中有0”与“商中有0”的非充要关系，发展批判性思维。

五、【非常重要】教学实施过程全景设计（核心篇幅）

本环节严格遵循“三学一测”高效课堂范式，以“文化情境线—认知冲突线—思维进阶线—迁移应用线”四线并进，总用时约40分钟，将70%以上课时交还给学生进行深度思维活动。

（一）学情前测与认知冲突唤醒（3分钟）

1.温故练习（纸笔）

（1）口算热身：600÷3=0×7=0+8=24+0=52×2×0=

（2）竖式再现：请两名学生在黑板板演，其余学生在本上计算。

①486÷2②639÷3

教师快速巡视，重点关注：除法竖式书写格式是否规范（数位对齐），除到哪一位商写在哪一位，余数必须比除数小。

2.【热点】认知冲突引爆

教师在黑板随机快速写下算式：306÷3。提问：这道题和我们刚才算的两道题有什么不一样？学生立刻发现“被除数中间有0”。教师追问：中间的0要不要除以3？除完之后商写几？不写行不行？以此激活学生前认知，切入核心矛盾点。

（二）【难点】核心探究层一：商中间有0的算理建构——以306÷3为例（8分钟）

1.双轨并行，拆分算理

（1）估一估【重要】：

学生独立估算，反馈：300÷3=100，306比300大，所以商比100大，大约是102。

教师评价：估算能帮我们确定商的范围，避免漏0后写出12这种明显不合逻辑的结果。

（2）分一分【非常重要】：

利用百格方片与计数棒（或课件动态演示），学生小组内操作：3个百元片分给3人，每人1百；0个十元件，每人0个十；6个元件，每人2个。

学生完整表述：306平均分成3份，每份是1个百、0个十、2个一，合起来是102。

（3）写一写：

学生尝试将分的过程转化为竖式。预设有两种典型生成：

生成A（逐位全写式）：先算百位3÷3=1，余0；落十位0，0÷3=0，写0，0×3=0，0-0=0；落个位6，6÷3=2，写2。

生成B（简便式）：百位商1，乘减后十位0直接商0占位，不写乘减过程，直接落个位6。

2.【高频考点】竖式优化与算理点睛

教师将两种竖式并置于黑板。核心追问：商的十位为什么要写0？学生结合分物过程回答：因为十位一个也没有，要用0占位，否则结果变成12，就错了。

教师进一步引导对比：哪一种写法更简洁？为什么可以省略乘减那一步？学生讨论得出：0除以任何非0数都得0，0乘3得0，0减0还得0，写出来既不改变结果又占用时间，因此可以省略。

3.专项强化

即时练习：404÷2906÷3

两名学生板演，重点考察十位0的处理。讲评时追问：商的十位是几？为什么？

（三）【难点】核心探究层二：商中间有0的进阶形态——以412÷4为例（7分钟）

1.情境迁移，制造新冲突

多媒体展示民俗街区泥塑工坊：工人师傅要把412个泥塑，每4个装一盒，需要多少个盒子？

学生列式：412÷4。

2.【非常重要】自主尝试与错例显化

学生尝试竖式计算。教师针对性巡视，刻意收集两类资源：

（1）正确资源：百位4÷4=1，十位1÷4不够商1，商0占位，12÷4=3，商103。

（2）典型错例A：十位漏商0，把1落下来和个位2组成12直接除以4，商13。

（3）典型错例B：十位商0后，没有把个位2落下来，计算中断。

3.辨析与建模

将正确与错误的板演并置投影，由小组成员开展“啄木鸟医生”诊断会。

核心辩题：十位上的1除以4不够商1，怎么办？

引导学生调用旧知：“不够商1就要商0”。追问：为什么不够商1？因为1个十平均分成4份，每份不够1个十，所以十位商0。

教师强化口诀：百位除完看十位，不够商1就商0，落下个位合成伙，继续除完别慌张。

4.对比归纳

师生共同总结商中间有0的两种情形：

（1）0÷除数——直接商0；

（2）小于除数且非0的数÷除数——不够商1，商0占位。

（四）【高频考点】核心探究层三：商末尾有0的算理建构——以480÷4与350÷5为例（7分钟）

1.正向迁移，自主探究

情境延续：工人师傅将480个精品泥塑装箱，每4个装一盒，需要多少个盒子？

学生独立列出480÷4，先估算（400÷4=100，商肯定比100大），再用竖式计算。

2.关键点拨

预设学生出现两种算法：

算法A：个位0÷4=0，商0，0×4=0，0-0=0。

算法B：十位除尽（8÷4=2），个位0直接商0，省略乘减。

教师通过追问“个位0为什么要商0”，引导学生理解：被除数个位是0，且前面分完没有剩余，个位0除以除数得0，这一位的商必须是0。

3.制造认知冲突——被除数末尾没有0，但商末尾有0

出示：350÷5。

学生估算：300÷5=60，商应该是60多。

学生尝试竖式。教师重点巡视十位：35个十除以5，商7个十，即70，个位0哪里来？

核心突破：个位落下来的0，0÷5=0，商0。

追问：这和480÷4有什么不同？学生发现：480是被除数末尾直接有0，350是被除数末尾有0但十位除完没剩余，把0落下来继续除。

教师总结：无论被除数末尾是否有0，只要除到个位，前面除尽，个位是0或比除数小（本课特指0的情况），个位就要商0占位。

4.即时诊断

专项练习：840÷6750÷5640÷4

要求：先判断商是几位数，再计算。重点关注末尾0的处理和横式得数是否漏写0。

（五）【基础】算法模型结构化梳理（3分钟）

1.师生共建“商0占位”预警雷达图

从“哪一位商0”“为什么商0”“怎么避免漏0”三个维度展开。

学生以小组为单位，用关键词归纳，全班拼图式汇报。

教师以思维导图形式板书记录，形成本课核心知识晶体：

（1）位置：中间、末尾。

（2）原因：这一位是0除以除数；这一位比除数小不够商1；前面除尽这一位是0且不够分。

（3）策略：算前估位数；算中看数位；算完验一验。

2.验算强化

教师选取306÷3=102，追问：怎么确定我们算对了？引导学生用乘法验算：102×3，十位的0要不要乘？明确：0乘3得0，必须写0占位，否则102变成12。

学生独立验算412÷4、480÷4，深刻体会乘除法互逆关系中0的守恒。

（六）【热点】巩固应用与变式拓展（8分钟）

1.基础性过关（面向全体）

完成苏教版教材“想想做做”对应习题，选取具有代表性的三组：

（1）608÷2840÷4（被除数中有0或末尾有0）

（2）516÷5721÷7（被除数中无0但商中间有0）

（3）450÷3560÷4（商末尾有0）

要求：竖式规范，验算打底，限时5分钟，组内互批。

2.综合应用（跨学科融合）

情境题1（美术与数学）：美术兴趣小组用605厘米长的彩带编织中国结，每个中国结需要3厘米彩带，最多能做多少个？

学生列式605÷3=201（个）……2（厘米）。

重点引导：商的个位为什么是1而不是0？因为5÷3=1余2。这与本课“商末尾有0”形成对比，强化“只有刚好分完且个位是0或不够分时才商0”的条件。

情境题2（传统文化与数学）：民俗展览馆每周开放7天，六月份一共接待参观者868人，平均每天接待多少人？

学生列式868÷7=124。追问：商的中间有0吗？没有。为什么？引导学生对比306和868的差异，打破“被除数中间有0商中间就一定有0”的思维定势。

3.【难点】思维爬坡（挑战性）

开放题：在□里填上合适的数。

（1）使商中间有0：6□2÷3

学生小组讨论，发现：百位6÷3=2，没有余数，要使十位商0，十位必须比3小，可以填0、1、2。

（2）使商末尾有0：47□÷4

分析：百位4÷4=1，十位7÷4=1余3，个位落下来是3□，要使商的个位是0，必须3□除以4不够商1，且没有余数。3□必须是4的倍数且小于4？实际上3□≥30，必须够除，所以此问调整数据更优。可改为：使商末尾有0且无余数：47□÷4，则3□必须被4整除且个位商0意味着？这里教师需引导学生辨析：真正的商末尾有0且无余数，被除数末尾必须是0且前位除尽，或经过推理。此题调整为：52□÷5，□里填几商末尾有0？学生分析：52□÷5，十位2落下来22÷5=4余2，个位落□，要想商个位是0，必须2□＜5，□可填0、1、2、3、4，但要整除则2□必须被5整除，□只能填0或5？进一步冲突。此环节优生可深度思辨。

（七）【基础】当堂达标检测与精准反馈（5分钟）

1.检测题组设计（分层）

A层（基础）：列竖式计算。804÷2=760÷4=615÷3=

B层（应用）：3个班一共收集了624个废塑料瓶，平均每个班收集多少个？如果每4个塑料瓶可以再生成一支圆珠笔，这些塑料瓶一共可以再生成多少支圆珠笔？

C层（推理）：算式3□2÷3，要使商的中间有0且没有余数，□里可以填几？

2.反馈机制

组内交换批改，统计正答率。针对高频错题（如760÷4学生易写成190漏写0），由“小老师”持红笔上台圈画错误点，讲评占位必要性。

（八）【拓展延伸】文化阅读与数学史渗透（1.5分钟）

教师以极简语言介绍教材“你知道吗”板块：0为什么不能做除数？结合分物情境，如果除数是0，平均分给0个人没有意义；如果被除数和除数都是0，结果不确定。渗透数学规定的严谨性，激发学生对数学本质的敬畏。

（九）课堂总结与反思支架（0.5分钟）

学生不举手，随机抽号进行“一分钟总结”，要求用一句话说出“今天学到的关于0的新知识”或“计算时最要提醒自己注意的一点”。教师提炼关键词：占位、不够商1、验算。

（十）【课后延伸】分层作业设计

1.必做作业（巩固技能）

完成练习纸中剩余4道竖式计算，包含三种商0类型，要求验算。

2.选做作业（实践应用）

留心观察生活中“平均分”时出现0的情况，编一道需要用商中间或末尾有0的除法解决的数学故事，第二天晨会分享。

3.挑战作业（跨学科探究）

查阅资料：我国古代算筹记数中如何表示“0”？从数学史的角度写一篇50字左右的微型数学日记。

六、【重要】板书设计逻辑图谱（黑板最终定格画面）

左侧区域：核心例题区

306÷3=102412÷4=103480÷4=120

十位0÷3=0十位1÷4不够商1个位0÷4=0

（商0占位）（商0占位）（商0占