第9章 整式乘法与因式分解（10类题型突破）【苏科】七下数学专题复习

第9章整式乘法与因式分解（10类题型突破）重要题型【考点一计算单项式与多项式相乘】例题：（2023下·全国·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【变式训练】1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)；(7)； (8)．2．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)．3．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)； (6)．【考点二(x+p)(x+q)型多项式乘法】例题：（2023上·吉林长春·八年级统考期末）若，则的值为．【变式训练】1．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）若，则．2．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级天门市九真中学校联考阶段练习）如果P为整数，且，则m的值为．【考点三判断是否可用平方差公式运算】例题：（2023上·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2023上·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）下列各乘法中，不能用平方差公式的是（

）A． B． C． D．2．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）下列各等式中，不能用平方差公式的是(

)A． B． C． D．【考点四运用平方差公式进行运算】例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)； (2)； (3)．【变式训练】1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【考点五运用完全平方公式进行运算】例题：（2023上·八年级课时练习）计算：(1)； (2)；(3)； (4)．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)； (2)； (3)．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1) (2)【考点六整式乘法之化简求值】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．【变式训练】1．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．4．（2023下·山东济南·六年级校考阶段练习）先化简，再求值：(1)，其中，．(2)，其中【考点七利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】例题：（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：(1) (2)．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行简便计算．(1) (2)2．（2023上·八年级课时练习）用简便方法计算：(1)； (2)．【考点八判断是否是因式分解】例题：（2024上·安徽芜湖·八年级统考期末）下列因式分解结果正确的是（

）A． B．C． D．【变式训练】1．（2023上·新疆哈密·八年级期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）下列各式由左到右的变形中，是因式分解的为（

）A． B．C． D．3．（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【考点九已知因式分解的结果求参数】例题：（2022上·安徽六安·八年级校考开学考试）多项式因式分解的结果是，则，【变式训练】1．（2023上·河南洛阳·八年级统考期中）如果把多项式分解因式得，那么，．2．（2022下·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）已知多项式分解因式为，则．3．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为．【考点十利用提公因式法和公式法因式分解】例题：（2023春·江苏苏州·七年级期末）把下列各式分解因式：(1)； (2)．【变式训练】1．（2023春·湖南怀化·七年级溆浦县第一中学校考期中）因式分解：(1) (2)2．（2022秋·四川巴中·八年级统考期中）因式分解：(1)； (2)3．（2023秋·江苏南通·八年级校考阶段练习）因式分解：(1)；(2)；(3)．4．（2023秋·八年级课时练习）因式分解：(1)；(2)；(3)．

第9章整式乘法与因式分解（10类题型突破）重要题型【考点一计算单项式与多项式相乘】例题：（2023下·全国·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；（2）先利用多项式乘多项式法则，再合并同类项；（3）先利用多项式乘多项式法则作乘法，再加减．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是解题的关键．【变式训练】1．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)【分析】（1）直接利用单项式乘以单项式计算可得结果；（2）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；（3）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；（4）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果；（5）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；（6）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算即可；（7）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果；（8）先利用积的乘方计算，然后利用单项式的乘法计算，最后合并同类项即可得出结果．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：；（7）解：；（8）解：．【点睛】本题考查单项式与单项式相乘，掌握同底数幂的乘法法则是解题关键．2．（2023上·八年级课时练习）计算下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；（2）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；（3）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；（4）根据单项式乘以多项式进行计算，然后合并同类项即可求解；（5）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解；（6）根据单项式乘以多项式进行计算即可求解．【详解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．【点睛】本题考查了单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键．3．（2023下·浙江·七年级专题练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；（3）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；（4）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；（5）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案；（6）利用多项式乘以多项式的法则进行运算即可得到答案．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【点睛】本题考查的是多项式乘以多项式，掌握“多项式乘以多项式的法则：把一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加”是解题的关键．【考点二(x+p)(x+q)型多项式乘法】例题：（2023上·吉林长春·八年级统考期末）若，则的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值．【详解】解：解：，，．故答案为：4．【变式训练】1．（2023上·福建福州·八年级校考阶段练习）若，则．【答案】30【分析】本题主要考查了多项式乘多项式的运算，掌握多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加，利用等式的恒等性求出、是解题关键．先去括号，再根据等式的恒等性求出、的值，代入计算即可．【详解】解：，，，，；故答案为：30．2．（2023上·湖北省直辖县级单位·八年级天门市九真中学校联考阶段练习）如果P为整数，且，则m的值为．【答案】【分析】本题考查了多项式乘多项式，计算，令其对应项系数相等即可求解．【详解】解：∵∴解得：故答案为：【考点三判断是否可用平方差公式运算】例题：（2023上·海南省直辖县级单位·八年级校考阶段练习）下列能用平方差公式计算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式的结构特征逐一判断各个选项即可．【详解】解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；B、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；C、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；D、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；故选C．【变式训练】1．（2023上·甘肃定西·八年级校联考阶段练习）下列各乘法中，不能用平方差公式的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了平方差公式，解题关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础型题型．首先根据平方差公式的一般形式为：，对每个选项逐个判断即可．【详解】A、，不可以用平方差公式，故本选项符合题意；B、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意；C、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意；D、，可以用平方差公式，故本选项不符合题意．故选：A.2．（2023上·上海长宁·七年级上海市复旦初级中学校考期中）下列各等式中，不能用平方差公式的是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】此题考查平方差公式，根据平方差公式：解答．【详解】解：A.，能用平方差公式，故该选项不符合题意；B.，能用平方差公式，故该选项不符合题意；C.，能用平方差公式，故该选项不符合题意；D.，不能用平方差公式，故该选项符合题意；故选：D．【考点四运用平方差公式进行运算】例题：（2023·上海·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】直接利用平方差公式进行计算．【详解】（1）；（2）；（3）．【点睛】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解答本题的关键．【变式训练】1．（2024下·全国·七年级假期作业）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】本题考查了平方差公式的运算，（1）根据平方差公式直接计算即可；（2）根据平方差公式直接计算即可；（3）根据平方差公式直接计算即可；（4）根据平方差公式直接计算即可．【详解】（1）；（2）；（3）；（4）．2．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（2）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（3）原式利用平方差公式计算即可得到结果；（4）原式利用平方差公式计算即可得到结果；．【详解】（1）；（2）（3）；（4）．【点睛】此题考查了运用平方差公式进行计算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点五运用完全平方公式进行运算】例题：（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据完全平方公式展开即可；（2）根据完全平方公式展开即可；（3）根据完全平方公式展开即可；（4）根据完全平方公式展开，再进行加减计算即可．【详解】（1）解：；（2）；（3）；（4）．【点睛】本题考查完全平方公式，，，熟记公式是解题的关键．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】根据完全平方公式进行求解各个小题．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．【点睛】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2023上·天津和平·八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可；（2）本题考查整式的乘法公式，把看成一个整体，然后根据乘法公式：，即可．【详解】（1）；（2）．【考点六整式乘法之化简求值】例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）先化简，再求值：，其中．【答案】；1【分析】本题考查了多项式乘多项式中的化简求值，先利用完全平方公式及平方差公式进行化简，再将代入原式即可求解，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，将代入原式得：．【变式训练】1．（2023上·四川泸州·八年级泸县五中校考阶段练习）先化简，再求值：，其中，．【答案】，【分析】本题考查了整式的化简求值，根据完全平方公式、平方差公式、合并同类项把原式化简，把的值代入计算即可得到答案，熟练掌握整式的混合运算法则是解此题的关键．【详解】解：，当，，原式．2．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题考查的是整式的化简求值．先根据平方差公式和完全平方公式去括号，再合并同类项，最后代入求值即可．【详解】解：，当时，原式．3．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）先化简，再求值：，其中．【答案】，【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式，完全平方公式，单项式除以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项，再推出，即可利用整体代入法求出答案．【详解】解：，∵，∴，∴，∴原式4．（2023下·山东济南·六年级校考阶段练习）先化简，再求值：(1)，其中，．(2)，其中【答案】(1)，27(2)，【分析】（1）先利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项，最后代入求值；（2）先利用多项式乘多项式法则、完全平方公式计算，再合并同类项，最后代入求值．【详解】（1）解：，当，时，原式；（2）解：；当时，原式．【点睛】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【考点七利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】例题：（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值：(1)(2)．【答案】(1)1(2)4000000【分析】（1）利用平方差公式计算即可；（2）利用完全平方公式计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记公式，会利用乘法公式进行简便运算是解答的关键．【变式训练】1．（2023下·江西赣州·七年级校考阶段练习）利用乘法公式进行简便计算．(1)(2)【答案】(1)1(2)【分析】（1）运用平方差公式简便计算即可；（2）根据完全平方公式简便计算即可．【详解】（1）解：；（2）解：．【点睛】本题考查的是乘法公式，掌握完全平方公式及平方差公式是关键．2．（2023上·八年级课时练习）用简便方法计算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先对变形使其变化为两数和与两数差的积的形式，然后运用平方差公式简化运算；（2）利用完全平方公式分解因式，简便计算即可．【详解】（1）解：原式；（2）解：原式．【点睛】此题考查了利用平方差公式、完全平方公式分解因式进行简便计算，掌握公式是解题的关键．【考点八判断是否是因式分解】例题：（2024上·安徽芜湖·八年级统考期末）下列因式分解结果正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了分解因式的知识，熟知分解因式的方法是解题的关键．根据因式分解的概念，利用提公因式法、公式法等，逐项分析判断即可．【详解】解：A.，故本选项不正确，不符合题意；B.，本选项正确，符合题意；C.，故本选项不正确，不符合题意；D.，不能再分解，故本选项不正确，不符合题意．故选：B【变式训练】1．（2023上·新疆哈密·八年级期末）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个最简整式的积的形式”依次判定即可得，掌握因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：A、，不属于因式分解，选项说法错误，不符合题意；B、，属于因式分解，选项说法正确，符合题意；C、，选项说法错误，不符合题意；D、，属于整式乘法，选项说法错误，不符合题意；故选：B．2．（2023上·辽宁大连·八年级统考期末）下列各式由左到右的变形中，是因式分解的为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本题考查了因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫因式分解．熟练掌握因式分解的定义是解题的关键，根据因式分解的定义逐项作出判断即可．【详解】解：A．，是乘法运算，不是因式分解，不合题意；B．，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意；C．，是因式分解符合题意；D．，没有化为整式的积的形式，不是因式分解，不合题意．故选：C．3．（2023上·陕西商洛·八年级统考期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，据此对各选项分析判断即可求解．【详解】A选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；B选项：，它不是因式分解，故本选项不符合题意；C选项：等式右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；D选项：该变形符合因式分解的定义，是因式分解，故本选项符合题意．故选：D【考点九已知因式分解的结果求参数】例题：（2022上·安徽六安·八年级校考开学考试）多项式因式分解的结果是，则，【答案】【分析】本题考查了整式的因式分解，掌握多项式乘多项式法则及乘法与因式分解的关系是解决本题的关键．先利用多项式乘多项式法则算乘法，再利用乘法与因式分解的关系得结论．【详解】解：∵，又∵多项式因式分解的结果是，故答案为：．【变式训练】1．（2023上·河南洛阳·八年级统考期中）如果把多项式分解因式得，那么，．【答案】2【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，即可得结果；本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法得出相等的整式是解题关键．【详解】解：分解因式得，解得：,故答案为：，2．2．（2022下·山东青岛·八年级青岛大学附属中学校考期末）已知多项式分解因式为，则．【答案】【分析】先计算多项式乘多项式，再计算单项式乘多项式，即可解答．【详解】解：由题意得：，，∴，，，故答案为：．【点睛】本题考查了因式分解﹣十字相乘法，多项式相乘，熟练掌握因式分解与整式乘法的关系是解题的关键．3．（2023下·江苏苏州·七年级校联考期中）因式分解时，甲看错了a的值，分解的结果是，乙看错了b的值，分解的结果为，那么分解因式正确的结果为．【答案】【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.【详解】解：甲错了a的值，，，乙看错了