第12章 证明（6类题型突破）【苏科】七下数学专题复习

第12章证明（6题型突破）重要题型【题型一判断是否是命题】例题：下列语句表示命题的是（

）A．作的平分线 B．直角都相等吗 C．画一条直线1 D．内错角不相等【变式训练】1．下列语句是命题的有（

）①连接；

②等边对等角；③同角的余角不相等；④作线段的垂直平分线；⑤你来吗？A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列语句中，属于命题的是（

）A．作的平分线 B．同旁内角互补C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢【题型二判断命题真假】例题：下列命题中，真命题是（

）A．两个锐角的和等于直角 B．相等的角是对顶角C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线【变式训练】1．下列命题：①内错角相等，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（

）A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④【题型三写出命题的逆命题】例题：命题“若，则”的逆命题是，这是命题（选填“真”或“假”）．【变式训练】1．写出“对顶角相等”逆命题：，其逆命题是（真/假）命题．2．写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题．【题型四三角形内角和定理的证明】例题：嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点A，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？）

(1)写出三个角、、的度数；(2)补充完整嘉琪对于括号里的说明．说明：，；____________（平角定义）______（等量代换）即三角形三个内角的和是______．【变式训练】1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（

）A．如图①，过点作B．如图②，延长到，过点作C．如图③，过上一点作，D．如图④，过点作2．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】

已知：如图①，求证：．（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．（3）若，，则_______．（4）若，则_______．【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．（5）若，，则_________．（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为____________________．（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由．

【题型五三角形内角和定理的应用】例题：如图，在中，，平分．(1)若，，求和的度数；(2)若，求的度数．【变式训练】1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接．(1)若，求证：．(2)若，，求的度数．2．如图，在中，，是的角平分线．(1)求的度数；(2)是边上一点，，是边上的高，判断和的数量关系，并说明理由．3．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．(1)已知和互为“伙伴角”，且，则．(2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D，E两点．①若，且和互为“伙伴角”，求的度数；②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数．【题型六三角形的外角和定理的应用】例题：如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【变式训练】1．（1）如图（a），平分，平分．若，则．（2）如图（b），平分，平分外角．若，则______．（3）如图（c），平分外角，平分外角．试确定和的数量关系并说明理由．2．如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，则的度数为；(2)如图②，分别作外角的角平分线，两条角平分线相交于点Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图③，延长线段交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．3．请阅读下列材料，并完成相应的任务：如图1，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”，在此图形中，可证．在探究之间的关系时，小明同学提供如下两种方法．方法一∶如图2，连接，则在中，，即，又∵在中，，∴，即．方法二∶如图3，连接并延长至F，∵和分别是和的一个外角，∴．．∵∴∴．解答下列问题．(1)根据“方法二”中辅助线的添加方式，补全方法二的证明过程；(2)如图1，当时，直接写出°．(3)应用：如图4，，直接写出．

第12章证明（6题型突破）重要题型【题型一判断是否是命题】例题：下列语句表示命题的是（

）A．作的平分线 B．直角都相等吗 C．画一条直线 D．内错角不相等【答案】D【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义：命题是表示对一件事情进行判断的语句分别对每一项进行判断即可．【详解】解：A．作的平分线，表示动作，没有作出判断，不是命题，B．直角都相等吗？表示提问，没有作出判断，不是命题，C．画一条直线，表示动作，没有作出判断，不是命题，D．内错角不相等是命题；故选：D．【变式训练】1．下列语句是命题的有（

）①连接；

②等边对等角；③同角的余角不相等；④作线段的垂直平分线；⑤你来吗？A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可．【详解】解：①连接，不是命题；②等边对等角，是命题；③同角的余角不相等，是命题；④作线段的垂直平分线，不是命题；⑤你来吗？不是命题；∴命题有2个，故选：B．2．下列语句中，属于命题的是（

）A．作的平分线 B．同旁内角互补C．画线段 D．你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢【答案】B【分析】本题考查命题概念，命题由题设和结论组成，是能判断真假的陈述句，根据命题概念逐项验证即可得到答案，熟记命题概念是解决问题的关键．【详解】解：A作的平分线，不是陈述句，不是命题，不符合题意；B、同旁内角互补，是命题，符合题意；C、画线段，不是陈述句，不是命题，不符合题意；D、你喜欢等腰三角形还是直角三角形呢，不是陈述句，不是命题，不符合题意；故选：B．【题型二判断命题真假】例题：下列命题中，真命题是（

）A．两个锐角的和等于直角 B．相等的角是对顶角C．两直线平行，同位角互补 D．经过两点有且只有一条直线【答案】D【分析】本题考查了命题的判断，根据直角，对顶角的定义，平行线的判定定理，直线公理逐项进行判断即可．【详解】解：A．当锐角为和时，和为，不是直角，故A选项不符合题意；B．两直线平行，同位角相等，但它们不是对顶角，故B选项不符合题意；C．两直线平行，同位角相等，故C选项不符合题意；D．经过两点有且只有一条直线，故D选项符合题意；故选：D．【变式训练】1．下列命题：①内错角相等，两直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；④两条直线被第三条直线所截，同位角相等；⑤直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离．其中真命题有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了命题真假的判断，平行线的性质和判定，平行线公理，垂线的性质，点到直线的距离，根据平行线的性质和判定，平行线公理，垂线的性质，点到直线的距离逐项判断即可．【详解】解：①内错角相等，两直线平行，正确，是真命题；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；③经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，是真命题；④两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题；⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，原命题是假命题，综上所述，真命题有2个，故选：B．2．下列命题：①对顶角相等；②同位角相等，两直线平行；③若，则；④若，则．其中是真命题的是（

）A．②③ B．①② C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】本题考查命题的真假，根据对顶角相等，平行线的判定，等式的性质，不等式的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：对顶角相等，故①为真命题；同位角相等，两直线平行，故②为真命题；若，则或，故③为假命题；若，当时，则，故④为假命题；故选B．【题型三写出命题的逆命题】例题：命题“若，则”的逆命题是，这是命题（选填“真”或“假”）．【答案】若，则真【分析】本题考查写逆命题，判断命题真假，方程的解．根据题意将原命题结论当成条件，将原命题条件作为新命题结论即为原命题的逆命题，再利用方程的解计算即可．【详解】解：∵原命题为：若，则，∴逆命题为：若，则；∵，∴，即，∴逆命题为真命题，故答案为：若，则；真．【变式训练】1．写出“对顶角相等”逆命题：，其逆命题是（真/假）命题．【答案】相等的角是对顶角假【分析】本题主要考查了逆命题及真假命题的判定，对顶角的定义，解题的关键是熟练掌握对顶角的定义．先写出“对顶角相等”逆命题，然后再进行判断即可．【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题．故答案为：相等的角是对顶角，假．2．写出命题“直角三角形只有两个锐角”的逆命题．【答案】只有两个锐角的三角形是直角三角形【分析】本题主要考查命题的逆命题，把原命题的题设和结论互换位置，则为逆命题，即可作答．【详解】解：∵命题“直角三角形只有两个锐角”∴逆命题：只有两个锐角的三角形是直角三角形．故答案为：只有两个锐角的三角形是直角三角形．【题型四三角形内角和定理的证明】例题：嘉琪在做作业时，发现人教版第五章有这样一道“拓广探索”试题：如图，直线经过点A，且，，．写出、、的度数；（通过这道题，你能说明为什么三角形三个内角的和是吗？）

(1)写出三个角、、的度数；(2)补充完整嘉琪对于括号里的说明．说明：，；____________（平角定义）______（等量代换）即三角形三个内角的和是______．【答案】(1)，，；(2)见解析．【分析】（1）本题考查平行线的性质、平角定义，掌握相关性质，即可解题．（2）本题考查平行线的性质、平角定义，掌握相关性质，即可解题．【详解】（1）解：，，，，，，；（2）说明：，；，，（平角定义），（等量代换）即三角形三个内角的和是．【变式训练】1．在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（

）A．如图①，过点作B．如图②，延长到，过点作C．如图③，过上一点作，D．如图④，过点作【答案】D【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案．【详解】∵，∴，∵，∴，故A选项不符合题意，∵，∴，∵，∴，故B选项不符合题意，∵，，∴，，∴，∵，∴，故C选项不符合题意，∵，∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意，故选：D2．三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于如何证明这个定理呢？我们知道，平角是，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角中去，请根据如下条件，证明定理．（1）【定理证明】

已知：如图①，求证：．（2）【定理推论】如图②，在中，有，点D是延长线上一点，由平角的定义可得，所以_______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【初步运用】如图③，点D、E分别是的边延长线上一点．（3）若，，则_______．（4）若，则_______．【拓展延伸】如图④，点D、E分别是四边形的边延长线上一点．（5）若，，则_________．（6）分别作和的平分线，如图⑤，若，则和的关系为____________________．（7）分别作和的平分线，交于点O，如图⑥，求出，和的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7），理由见解析【分析】（1）过点作，根据平行线的性质和平角的定义解决．（2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答．（3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答；（4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据三角形的内角和定理得，以此即可求解．（5）连接，根据三角形内角和定理的推论即可解答．（6）过点作，由（1）可知，，则，根据平行线和角平分线的性质可得，则，以此即可求解．（7）由（1）可知，，则，根据角平分线的性质和四边形的内角和为即可求解．【详解】（1）证明：如图，过点作，

∵，，，，．（2），，．故答案为：．（3），，，；故答案为：；（4），，，，，．故答案为：．（5）如图，连接，

，，，，，．故答案为：．（6）如图，过点作，则，

由（1）知，，，，，，，、分别是和，，，．故答案为：．（7），理由如下：由（1）知，，，、分别为和的角平分线，，，，，，即．【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据题干作出正确的辅助线是解题关键．【题型五三角形内角和定理的应用】例题：如图，在中，，平分．(1)若，，求和的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)，(2)【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，（1）先利用三角形内角和定理求出的度数，进而利用角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出的度数即可得到答案；（2）同（1）求解即可．【详解】（1）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵，即，∴，∴．【变式训练】1．如图，在四边形中，，平分交于点E，连接．(1)若，求证：．(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查三角形内角和定理，平角的定义，角平分线定义等．（1）根据三角形内角和定理及平角的定义求解即可；（2）根据三角形内角和定理及角平分线定义求解即可．【详解】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，∴，∵平分，∴，∵，，∴．2．如图，在中，，是的角平分线．(1)求的度数；(2)是边上一点，，是边上的高，判断和的数量关系，并说明理由．【答案】(1)详见解析(2)，详见解析【分析】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、垂直定义等．（1）根据三角形内角和等于以及角平分线定义即可解答；（2）由平行线性质可得，等角的余角相等得，再由即可得出结论．【详解】（1）解：是的角平分线，，即．在中，．，即．．（2）．理由如下：是边上的高，．．，．由（1）知，，．．．3．【定义】如果两个角的差为30°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”．例如：，则和互为“伙伴角”，即是的“伙伴角”，也是的“伙伴角”．(1)已知和互为“伙伴角”，且，则．(2)如图1所示，在中，，过点C作的平行线，的平分线分别交于D，E两点．①若，且和互为“伙伴角”，求的度数；②如图2所示，的平分线交于点F，当和互为“伙伴角”时，直接写出的度数．【答案】(1)或(2)①；②或【分析】本题是关于新定义的问题，考查了角平分线定义，平行线的性质，三角形内角和定理等，注意分情况讨论，是解题的关键．（1）考虑两种情况，即，根据伙伴角的定义，再结合补角的定义即可解答；（2）①设的度数为，则，根据角平分线的定义可得，再利用平行线的性质得到，利用伙伴角的概念，列方程即可解答；②考虑两种情况，即和，两种情况，设的度数为，利用角平分线的性质和三角形内角和定理，用表示，列方程，即可解答.【详解】（1）解：当时，，，；当时，，，，故答案为：或；（2）解：①设的度数为，，则，的平分线分别交于D，E两点，，，，，,可得，解得，；②设的度数为，，，平分，，根据①可得，，当时，可得；当时，可得；综上所述，的度数为或.【题型六三角形的外角和定理的应用】例题：如图，平分的内角，平分的外角，相交于点E．(1)若，求的度数；(2)若，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答本题的关键．（1）由角平分线的定义可得、，再根据平角的性质可得，最后根据角的和差即可解答；（2）先说明，再根据角平分线的定义可得，，最后根据角的和差即可解答．【详解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴．【变式训练】1．（1）如图（a），平分，平分．若，则．（2）如图（b），平分，平分外角．若，则______．（3）如图（c），平分外角，平分外角．试确定和的数量关系并说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）．理由见解析【分析】本题考查了角平分线的性质，考查了三角形内角和为的性质，考查了三角形外角等于不相邻两内角的和的性质．（1）根据角平分线性质可得，根据三角形内角和为可得，即可解题；（2）根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，，即可解题；（3）根据角平分线性质可得，，根据三角形内角和为可得，即可解题．【详解】解：（1）平分，平分，，，，，，故答案为：；（2）平分，平分，，，，，，，，，故答案为：；（3），理由如下：平分，平分，，，，，，．2．如图①，在中，与的平分线相交于点P．(1)如果，则的度数为；(2)如图②，分别作外角的角平分线，两条角平分线相交于点Q，试猜想与之间的数量关系，并说明理由．(3)如图③，延长线段交于点E，在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出的度数．【答案】(1)(2)，理由