2025-2026学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷

-2026学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：（共10个小题，每小题4分，共40分）1．（4分）下列图案都是由五个大小相同的小正方形组成的，其中不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）“月壤”是月球表面上的一层细腻沙土，平均粒径约为0.000015m，具有极高的科研价值．数据0.000015用科学记数法表示为（）A．1.5×10﹣4 B．0.15×10﹣4 C．1.5×10﹣5 D．0.15×10﹣53．（4分）如图是折叠凳及其侧面示意图，若AC＝BC＝18cm，则折叠凳的宽AB可能为（）A．50cm B．36cm C．40cm D．25cm4．（4分）下列式子运算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．2a•5a＝10a2 C．a6÷a3＝a2（a≠0） D．（a+b）2＝a2+b25．（4分）某校组织了班徽创意设计大赛，小颖同学积极参赛，她先设计了一个正方形的班徽图形，修改时将原正方形的一组对边各增加4cm，另一组对边各减少4cm，修改后的图形面积与原来的面积相比（）A．减少了16cm2B．增加了16cm2C．增加了8cm2 D．不变6．（4分）综合实践课上，老师发给每人一张印有Rt△ABC的卡片，如图1，然后要求同学们画一个与Rt△ABC全等的三角形．嘉淇同学先画出了∠MB′N＝90°后，后续的作图步骤如图2所示，则能判定Rt△A′B′C′≌Rt△ABC的依据是（）A．SAS B．SSS C．HL D．AAS7．（4分）若k为自然数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（）A．被2整除 B．被3整除 C．被4整除 D．被6整除8．（4分）如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．点P，Q分别为AB，AC上的两个动点，则PQ+BQ的最小值是（）A．5 B．4 C．4.8 D．3.69．（4分）已知关于x的分式方程x+kx+1−kA．k＞12或k≠1 B．k＞12且k≠1 C．k＜12且k≠1 10．（4分）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD＝BD，AC＝7．动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，若点F在射线BC上，且CF＝AO，则当△AOP与△FCQ全等时，t的值为（）A．74秒B．76秒C．74秒或76秒D．二、填空题（共5个小题，每小题4分，共20分.）11．（4分）分解因式：a2﹣4b2＝．12．（4分）将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α＝°．13．（4分）若分式|x|−7x−7的值为0，则x＝14．（4分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，CD⊥AC，垂足为C，且CD＝AC，连接BD，若BC＝4，则△BCD的面积为．15．（4分）如果m＝k（k+1），其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：6＝2×（2+1），6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若p﹣q＝8，则st的值为三、解答题（共8个小题，共90分.）16．（10分）（1）计算：π0（2）解方程：xx−117．（10分）先化简，再求值：x−3x2−118．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，AD⊥BC，垂足点D．（1）尺规作图：在线段AD上，求作一个点E，使得AE＝CE；（2）连接BE，求∠EBD度数．19．（10分）如图，开心农场的农场主准备用60米长的护栏围成一边靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为（4a+b）米，宽为（a+b）米．（1）农场主计划在中间阴影部分的正方形地块做一个水池，其余空白部分绿化，若该正方形地块的边长为（a﹣b）米，求空白部分的面积S（用含a、b的代数式表示，并化简）；（2）当a＝5，b＝2时，求S的值．20．（12分）两个大小不同的等腰直角三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC．（1）找出图2中的全等三角形，并证明（注意：不得含有未标识的字母）；（2）判断DC与BE的位置关系，并证明；（3）若CE＝2，BC＝4，求△DCE的面积．21．（12分）琪琪家到书店的路程是3km，无风时琪琪骑自行车的速度是8km/h．（顺风速度＝无风时骑车速度+风速，逆风速度＝无风时骑车速度﹣风速）（1）若琪琪逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的53（2）设风速为akm/h（a＜8），若有风往返一趟（即从家骑行到书店，再从书店原路骑行返回家）的时间为t1h，无风往返一趟的时间为t2h．①t1＝；（用含a的式子表示，不用化简）②比较t1和t2的大小．22．（13分）数学课上老师给出这样一道题：若x满足（x﹣3）（x﹣8）＝7，求（x﹣3）2+（x﹣8）2的值．小睿同学经过观察思考，做出如下解法，老师将其解法分享给大家：解：设x﹣3＝m，x﹣8＝n，则（x﹣3）（x﹣8）＝mn＝7，m﹣n＝（x﹣3）﹣（x﹣8）＝5，∴（x﹣3）2+（x﹣8）2＝m2+n2＝（m﹣n）2+2mn＝25+2×7＝39．请参考上述解法，解决下面的问题：【初步应用】（1）若x满足（5﹣x）（x﹣3）＝﹣8，求（5﹣x）2+（x﹣3）2的值．【类比探究】（2）若x满足（x﹣2025）2+（2026﹣x）2＝2027，求（x﹣2025）（2026﹣x）的值．【拓展提升】（3）如图，点E，G分别在正方形ABCD的边AD，CD上，AE＝2，CG＝6，长方形EFGD的面积是24，分别以DE，DG为边作正方形MEDQ和正方形NGDH，PH∥QD，可得四边形FNPM为正方形，求正方形FNPM的面积（请写出解题过程）．23．（13分）某数学小组在学习全等三角形的过程中，对其中一个问题做了如下探究：【问题背景】（1）如图1，△ABC中，AB＝8，AC＝6，AD是中线，则AD的取值范围是；【变式思考】（2）如图2，△ABC中，AD是中线，分别以AB，AC为腰在外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，连接EF．求证：EF＝2AD；【探究延伸】（3）如图3，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠BAC+∠BAD＝180°，点F是BC的中点，∠CEF＝∠ADB，当EF＝6时，求BD的长．

2025-2026学年山东省德州市德城区八年级（上）期末数学试卷选择题、填空题答案速查题号12345678910答案CC．DBACBCBD11.（a+2b）（a﹣2b）12.1513.﹣714.415.34选择题、填空题解法提示10．解：①当点F在BC延长线上时，设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ，∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ，∵OP＝t，CQ＝AC﹣AQ＝7﹣3t，∴t＝7﹣3t，解得t=7②当点F在BC之间时：设t秒时，P、Q分别运动到如图位置，△AOP≌△FCQ，∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴当△AOP≌△FCQ时，OP＝CQ，∵OP＝t，CQ＝AC﹣AQ＝3t﹣7，∴t＝3t﹣7，解得t=7综上，t=74或故选：D．15．解：因为“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s，所以p＝t（t+1），q＝s（s+1），因为p﹣q＝8，所以t（t+1）﹣s（s+1）＝8，t2+t﹣s2﹣s＝8，（t2﹣s2）+（t﹣s）＝8，（t+s）（t﹣s）+（t﹣s）＝8，（t﹣s）（t+s+1）＝8，因为t、s都是正整数，所以t﹣s和t+s+1也为正整数，且t+s+1＞t﹣s，因为8＝1×8＝2×4，当t﹣s＝1，t+s+1＝8时，可得方程组t−s=1t+s=7解得：t=4s=3当t﹣s＝2，t+s+1＝4时，可得方程组t−s=2t+s=3解得：t=2.5s=0.5将t＝4，s＝3代入st，得s故答案为：34解答题参考答案16．解：（1）原式＝1+4﹣9＝5﹣9＝﹣4；（2）原方程整理得：xx−1去分母得：2x＝3﹣4（x﹣1），解得：x=7检验：当x=76时，2（故原方程的解为x=717．解：原式=x−3(x+1)(x−1)=x+1=x+1−x=1当x=−23时，原式18．解：（1）如图：点E即为所求．（2）∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝50°，∴∠ABC=∠ACB=12(180°−∠BAC)=65°，∠DAC=12∴AD是BC的垂直平分线，∴BE＝CE，∵CE＝AE，∴∠ACE＝∠DAC＝25°，∴∠BCE＝∠ACB﹣∠ACE＝40°，∵BE＝CE，∴∠EBD＝∠BCE＝40°．19．解：（1）若该正方形地块的边长为（a﹣b）米，空白部分的面积S为：S＝（4a+b）（a+b）﹣（a﹣b）2＝4a2+4ab+ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）＝（3a2+7ab）（平方米），答：空白部分的面积为（3a2+7ab）平方米；（2）当a＝5，b＝2时，S＝3a2+7ab＝3×52+7×5×2＝145（平方米）．20．解：（1）△ABE≌△ACD，∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∴AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC，∴∠BAE＝∠CAD，在△ABE和△ACD中，AB=AC∠BAE=∠CAD∴△ABE≌△ACD（SAS）．（2）DC⊥BE．如图，∵△ABE≌△ACD，∴∠AEB＝∠ADC．∵∠ADC+∠AFD＝90°，∴∠AEB+∠AFD＝90°．∵∠AFD＝∠CFE，∴∠AEB+∠CFE＝90°，∴∠FCE＝90°，∴DC⊥BE；（3）∵CE＝2，BC＝4，∴BE＝6，∵△ABE≌△ACD，∴CD＝BE＝6，∴△DCE的面积=12CE•CD21．解：（1）设风速为xkm/h，根据题意得：38−x=3经检验，x＝2是所列方程的解，且符合题意，答：风速为2km/h；（2）①由题意可知，t1故答案为：38−a②由题意可知，t1==12(8+a)+12(8−a)−3(8+a)(8−a)=96+12a+96−12a−192+3=3∵a＜8，∴t1﹣t2＞0，∴t1＞t2．22．解：（1）设5﹣x＝m，x﹣3＝n，则m+n＝（5﹣x）+（x﹣3）＝2，∵（5﹣x）（x﹣3）＝﹣8，∴mn＝﹣8，∴（5﹣x）2+（x﹣3）2＝（m+n）2﹣2mn＝22﹣2×（﹣8）＝20；（2）设x﹣2025＝m，2026﹣x＝n，则m2+n2＝2027，m+n＝1，∴2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝﹣2026，∴mn＝﹣1013，即（x﹣2025）•（2026﹣x）＝﹣1013；（3）设DE＝m，DG＝n，正方形ABCD的边长为x，则DE＝x﹣2，DG＝x﹣6，∴m﹣n＝（x﹣2）﹣（x﹣6）＝4，由条件可知mn＝24，∴S＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝16+4×24＝112．23．（1）解：如图1，延长AD至P，使AD＝DP，连接BP，∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∵∠ADC＝∠PDB，∴△ADC≌△PDB（SAS），∴BP＝AC＝6，∵AB﹣BP＜AP＜AB+BP，AB＝8，AC＝6，∴8﹣6＜AP＜8+6，∴2＜AP＜14，∵DP＝AD，∴AP＝2AD，∴2＜2AD＜14，解得1＜AD＜7，即AD的取值范围为1＜AD＜7，故答案为：1＜AD＜7；（2）证明：如图2，延长AD至G，使DG＝AD，连接BG，则AG＝2AD，∵D为BC的中点，∴CD＝BD，∵∠ADC＝∠GDB，∴△ADC≌△GDB（SAS），∴∠C＝∠GBD，AC＝BG，∴AC∥BG，∴∠ABG+∠BAC＝180°，∵AC＝AF，∴BG＝AF，∵∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠EAF+∠BAC＝180°，∴∠ABG＝∠EAF，在△EAF和△ABG中，AE=AB∠EAF=∠ABG∴△EAF≌△ABG（SAS），∴AG＝EF，∴EF＝2AD；（3）解：如图3，延长EF到G，