高等数学（上册）- 教案全套 张芳 第1-7章预备知识、函数的极限与连续-常微分方程

教 案 首 页课程名称高等数学总学时：64学时其中：讲课：64学时实验实训：学时课程性质A:理论课（√） B:（理论+实践）课（ ） C:实践课（ ）授课对象院 专业 班级授课时间授课地点教材上册主要参考资料《高等数学》主编：同济大学，第七版教学目标知识目标能力目标能够对简单的实际问题建立数学模型，并学会求解；培养写作能力，全面提升职业核心能力；逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标的主人。教学重、难点及解决办法重点：一元函数微积分难点：不定积分和定积分解决办法：1.对于抽象的数学概念，传统教学与现代化教学相结合，实现教学手段多样化，做到教学资源网络化以解决难点。2.对于现代数学的结合，开展拓展式教学，开阔学生的视野3.对于基本理论、计算等教学基本要求，实行辅导答疑形式多样化，以求得重点内容的熟练掌握。4.信息反馈制度促进教学方法与教学手段的完善5.课程组持之以恒地开展教学观摩活动主要教学方法（手段）以板书为主，多媒体为辅。课程教学设计教法设计：以培养目标为依据，以任务为导向，进行教学，根据任务整合序化教学内容。学法设计：针对学生专业特点及就业方向，以任务为导向，找准教学切入点。《高等数学》教案 学年第学期学名称部 课名称学 山东工程职业技术大学教务处制备注：一、教案和讲稿的区别1．讲稿，所承载的是知识信息。教案，所承载的是课堂教学的组织管理信息。2．讲稿的思路形成，受教学过程的知识逻辑支配，而教案的思路形成，受教学过程的管理逻辑支配。3．讲稿与教案，二者是决定与被决定的关系。4．在内容上，讲稿涉及的是知识性和能力开发项目，教案涉及的是组织性项目。5．在表现形式上，讲稿篇幅较长，是课程教学内容和教师个人观点的浓缩或延伸；教案篇幅较短。二、教学反思所谓教学反思，是指教师对教育教学实践的再认识、再思考，并以此来总结经验教训，进一步提高教育教学水平。教学反思一直以来是教师提高个人业务水平的一种有效手段，教育上有成就的大家一直非常重视之。现在很多教师会从自己的教育实践中来反观自己的得失，通过教育案例、教育故事、或教育心得等来提高教学反思的质量。山东工程职业技术大学课程名称高等数学课程名称高等数学总学时：64学时其中：讲课：64学时）实验实训：学时课程性质A:理论（√） 理论+实践（ ） C:实践（授课对象院 专业 班级授课时间授课地点教材《高等数学》主要参考资料《高等数学》主编：同济大学第七版教学目标知识目标（技能（专素质目标神、创新意识和创新精神以适应社会经济的变革发展，做时代的主人。教学重、难点及解决办法重点：一元函数微积分难点：不定积分和定积分解决办法：1.2.对于现代数学的结合，开展拓展式教学，开阔学生的视野3.4.信息反馈制度促进教学方法与教学手段的完善5.课程组持之以恒地开展教学观摩活动主要教学方法（手段）以板书为主，多媒体为辅。课程教学设计教法设计：以培养目标为依据，以任务为导向，进行教学，根据任务整合序化教学内容。学法设计：针对学生专业特点及就业方向，以任务为导向，找准教学切入点。。山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容1.1映射与函数1、映射2、函数教学目标知识目标：通过本节课的学习使学生掌握映射和函数的相关概念，了解函数的几种特性能力目标：通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。素质目标：培养学生深刻思维能力、团结合作能力、语言表达能力教学重、难点及解决办法重点：映射的概念、函数的概念、函数的三要素及函数符号的理解。难点：映射概念的理解、函数三要素的判断解决方法：从实际出发，利用图形结合的方法引入邻域的概念、运用引导对比理解判断函数三要素教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主复习、讨论为辅教学手段：板书教学准备课前了解新一届大一学生数学基础情况，了解学生入学初期学习心理，有针对性安排教学材料、准备教案，安排适当的课后教学评价山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本节课学习目标：➀映射概念；➁定义域；➂对应法则；➃函数表示；➄分段函数；识记陈述，让学生在学习本节课之前对内容有整体概括了解5分钟2简单介绍映射邻域概念映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素在集合B中都有唯一的元素和它对应这样的对（包括集合AB以及A到B的对应法则叫做集合A到集合B的映射 记作：f:ABABaAbB，如a和元素b对应，则元素baa叫做元素b的原象。区间本书涉及到的各种类型区间有：设a,bR且ab,开区间 (a,b){xR|ax；闭区间 [a,b]{xR|ax；半开半闭区间(a,b]{xR|axb}；[a,b){xR|axb}；无穷区间(,)R，(a,){xR|xa}；[a,){xR|x；(,b){xR|x；学生阅读自主讨论，培养学生知识迁移能力（复习旧知识，引识记5分钟入新知识）(,b]{xR|xb}；邻域:a与是两个实数且0，称集合{xaxa为点a的a叫做这邻域的中心，叫做这邻域的半径。记作U(a){xaxa} a a a点a的去心邻域记做U0(a)，U0(a){x0xa}。 x3（联想引入，思维训练）查阅资料函数概念发展历史引入函数概念函数的两个要素：对应法则、定义域什么是对应法则？什么是定义域？学生阅读课本总结①函数定义设x和y是两个变量，D是一个给定的数集．如果对于任给的xDyfyx的函数yf(xD叫做这个函数的定义域x叫做自变量y叫做因变量{y|yf(xx称为函数的值域．分组研讨学生阅读自主讨论，培养学生数学阅读的能力10分钟函数定义的几点说明：1yf(x)fgyg(xy等．（2）对应法则和定义域是函数的两个要素.即两个函数相同的充要条件是对应法则、定义域相同，与自变量的选取无关，如：yx与yx2ylnx2与y2lnxyx2与yx是同一个函数．（3）函数的表示方法有三种：解析式法、表格法、图像法.（4）函数的定义域就是自变量能够取到的、使解析式有意义的一切实数值例如函数y 4x2的定义域就是闭区［2,2函数y1的定义域就是开区间(1,1)． 1x24（实际动手，边学边练）求解函数的定义域：例1 求y 2x1定义域3x x2x6例2 求y 定义域x例3 求y x2-x-6arcsin2x-1定义域7学生演示教师引导学生分组学习，加深知识记忆15分钟5（拓展思维）如何判断两个函数是同一个函数，判断下列函数是不是同一个函数？ylnx2,y2lnx w u,y x（3） y 9-x2，y (3-x)(3x)学生讨论教师重复提示函数的两个要素，引导学生注意15分钟阅读教材，总结函数的表示方法学生根据函数含义自行举例学生根据函数含义自行举例，加深对函数定义的理解（1） x,y案例应用：统计我们凯文职业学院某月每天的温度，做出温度和日期的6（实操训练）对应图表。（2） x,y20分钟案例应用：将上述温度和日期的对应图表用图像表示出来，x轴表示日期，y轴表示温度（3） yx22x分段函数注意表达式以及定义域0,-1x0例f(x)x2x3 ，求f(1),f(-0.5),3x-6,3x5f(3.5)学生7（定义介绍）阅读课自主学生阅读课本，自主学习15分钟学习小结4分钟作业练习册P17/181分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容1.1映射与函数1、函数的性质；2、复合函数、反函数的概念；3、基本初等函数及图像4、初等函数概念教学目标知识目标：通过本节课的学习使学生掌握复合函数、反函数、初等函数的相关概念，会将复合函数拆分为简单函数，熟悉基本初等函数的图像能力目标：能够掌握复合函数分解与合成，通过教学培养学生的抽象概括能力、逻辑思维能力。素质目标：培养学生深刻思维能力、用运动的观点观察事物、分析事物的能力教学重、难点及解决办法重点：复合函数的概念及分解，基本初等函数的图形难点：复合函数的判断和分解，反三角函数的定义域、值域解决方法：利用结构图加深对复合函数的理解、运用引导对比理解判断反三角函数的定义域、值域及图形教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主预习为辅教学手段：板书、课件展示教学准备课前了解新一届大一学生数学基础情况，了解学生入学初期学习心理，有针对性安排教学材料、准备教案，安排适当的课后教学评价山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配上节课学习内容：1（复习）➀函数概念；➁定义域；➂对应法则；➃函数表示；思维训练通过复习加深学生记忆5分钟➄分段函数；函数的四个特性：1、有界性若存在正数M，使得f(x)M，则称f(x)在I上有界。例如sinx在实数域上有界。y y M My=f(x)xo x o I xI 有界 无界-M -M2、单调性x1x2且x2f(x1f(x2f(x)在I上单调增加（1）如果与定义域内任意两个点x1,x2且x1x2，有f(x1)f(x2)，则f(x)在I上单调减少例证明y3x2在其定义域内的单调性3、奇偶性IxI，有f(-x)f(x)f(xI学生阅2（函数特性）识记读自主讨论，培养学生知识迁移能15分钟力xI，有f(-x)f(xI上是奇函数例判断下列函数的奇偶性（1）y3x4-5x27（2）y2x3sinx3）y1a-x-ax24、周期性如果存在不为零的数TxIf(xT)f(x，则称f(xIsin(xsinx是最小正周期。3引入案例任意两个函数是否都能合成一个函数；如何分解一个复合函数。这是重点内容，直接涉及后面的复合函数求导定义：已知两个函数yf(u)，u，yZ1u，x，uZ2，yfyf(u和u经过复合而成的复合函数f(u为外部函数，称u是中间变量.需要注意的是，不是任意两个函数都能够复合成复合函数.只有当内部函数u(x)的值域Z2与外部函数yf(u)的定义域D1的交集非ZDy4cosx2 1是由y4u，ux复合而成的复合函数；y ln(1x2)是由y ulnv1x2复合而成的复合函数.但函数yarcsinu，u3x2是不能复合成一个复合函数的.抛出问（介学生题，培20绍复讨论养学生分合函学习善疑能钟数）力x例y cos分解：2y u,ucosv,vx22例yesinx1分解yeu,usinv,vx21练习：分解下列复合函数(1)y2x2x2ex2(2)y2x100(3)y[sin(3x5)]2(4)ysin2(12x)1ycosx-1yelnsinx注意：复合函数分解到简单函数为止。简单函数就是有基本初等函数经过有限次四则运算合成的函数。4（操练深化）应用案例在课堂进行中解答学生自行研究锻炼学生实际动手能力，感知数学应用15分钟5（反函数概念）定义yf(x)D，值域为W．一般地，对于任yWDxx适合关系f(x)y．yx看作因变量，按照函数概念，就得到xyf(x的反函数，可学生根据函数含义自行拓展学生根据函数含义自行拓展，加深对反函数定义的理解15分钟记作xf1(y).6（基常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及反三角函数统称为基本初等函数．由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算所构成，且可用一个解析式表示的函数，叫做初等函数，否则就是非初等函数．本教材所讨论的函数绝大多数都是初等函数.学生自主阅读课本15分钟本初等函数）小结本节课主要复习学生高中阶段学习的函数的基本知识，通过学习反函数定义引出反三4分钟作业练习册P181分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容1.2数列的极限1.数列极限的定义；2.收敛数列的性质。教学目标知识目标：通过本节课的学习使学生掌握数列的极限以及数列的性质能力目标：通过对数列极限存在性的判定，渗透数形结合思想，充分挖掘思维的批判性和深刻性，以及潜在的探索发现能力和创造能力．素质目标：培养学生求实事求是的数学态度，能体会到极限思想的与众不同。教学重、难点及解决办法教学重点：数列极限的概念及其性质教学难点：数列极限的证明与性质解决办法：讲练结合、多媒体直观展示教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主讨论为辅教学手段：板书、课件展示教学准备复习基本初等函数的图像及特征。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配能力训练任务及案例引例1天截去它的一半，很多天后，木棍的长度会很短，随着天数的增加，木0．引例2·长就无限接近于圆的周长.思维训练通过案例引起学生学习的兴趣5分钟1（告知）本单元学习目标：数列极限的概念识记让学生对要学习的知识框架有基本了解5分钟2（引入极限含义）查阅资料了解极限含义学生阅读自主讨论培养学生发现问题的能力10分钟3（任务2）11 n以 为例，可观察出该数列具以下特性：a11n随着n的无限增大， n无限地接近于1随着n的无限11 |111|增大， n与１的距离无限减少随着n的无限增大， n 无师生研讨画图法教师启发讲解30分钟|111|限减少， n 会任意小，只要n充分大。|111|0.1如：要使 n ，只要n10即可；|111|0.01要使 n ，只要n100即可；任给无论多么小的正数，都会存在数列的一项aN，从该项之|111|后(nN)， n 。即0,N，当 时， nN|111| n 。n1如何找Ｎ？（或Ｎ存在吗？）解上面的数学式子即得： ，N[1]1取 即可。这样0,当 nN时，|111|11 n n N 。11 11 11 n综上所述，数列 的通项 n随n的无限增大， n无nN时，|111| 11 n n有 。此即 以１为极限的精确定义。2．数列极限的定义：定义1 设an为数列,a为实数,若对任给的正数,总存在正整数N,使得当nN时有|ana,则称数列an收敛于a,实数a称为数列an的极限,并记作imana或aa(n).n nnanaanan取正整数,所以在数列极限的记号中把nnlimana aa(n)n 或n .若数列ananan4（任务3）数列极限的性质：定理1（极限的唯一性）如果数列收敛，那么它的极限唯一定理2（收敛数列的有界性）如果数列收敛，那么数列一定有界收敛数列的保号性limanaa0(a0)那么存n在正整数N0,当n>N时，都有an0(或an0)学生根据集极限定义自行拓展培养学生知识迁移能力20分钟5（操练）求解下列极限：1例１．证明 lim0,这为正数。nn1证明：0，N1，则当nN时，便有11011，所以lim10.n n N nn（注这里取整保证N为非负整数1保证N为正整数）例２．证明 limqn0(|q|.nlg证：0妨设1，N ，当nN，lgq便有 qn0qn所以limqn0(|q|.n(1NN并不一定是整数。)2n1例３．证明 lim 0.n9n370N21nN 学生讨论15分钟2n102n12n2， 所 以9n37 9n37 n3 n2lim2n10.n9n373n2例４．证明 lim 3.nn233n2 9 9证明:由于 3 (n3)，因此，0，n23 n23 n 9 3n2 N max3, ，则当n N时，便有 2 3 ，n33n2所以lim 3.nn23小结本节课采用讲练结合手段教学，既不会导致学生的疲劳感，又能锻炼学生自主学习能力，通过多媒体演示直观展示极限过程，加深学生对数列极限的理解。4分钟作业练习册P261分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容1.3函数的极限1.函数极限的定义；2.左右极限的定义，极限存在的条件；3.函数极限的类型。教学目标知识目标：通过本节课的学习使学生掌握6中自变量变化过程中的极限能力目标：能用函数极限解决相关数学以及实际问题素质目标：培养学生求实事求是的数学态度，能体会到极限思想的与众不同。教学重、难点及解决办法教学重点：函数极限的概念教学难点：函数极限的证明解决办法：讲练结合、多媒体直观展示教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主讨论为辅教学手段：板书、课件展示教学准备复习基本初等函数的图像及特征，数列极限的定义及求法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配能力训练任务及案例1案例1（老人分遗产）一个老人有17头牛，他打算把这17头牛的 分给21 1老大， 分给老二， 分给老三请问改怎么分？提示采取极限思想，3 917 1一头牛分 ，剩下 。答案：老大9头，老二6头，老三2头牛。18 18案例2（无穷直角三角形面积）思维训练通过案例引起学生学习的兴趣5分钟本单元学习目标：函数的六种极限过程xx，xx，xx，x，x，0 0 0x让学生1对要学（告识记习的知识框架5分钟知）有基本了解2（引入极限含查阅资料了解极限含义学生阅读自主讨论培养学生发现问题的能力10分钟义）3（任务2）阅读课本，学习极限xx0设一个函数yf(x)，给定点x0（1）xxx（数轴的正方向xx0 0右侧趋向x0,f(x)函数值趋向一个数，这个数就是f(x)的极限，记作师生研讨画图法教师启发讲解30分钟limf(x)。xx0（2）举例例1 计算lim(x21)x1yx21的图像是xx22。因此lim(x21)x1x2-1例2 计算limx1x-1这个极限就不能直接把x=1导入到函数里面，因为无意义。所以应当先分解。x2-1lim lim(x1)2x-1 练习1、lim(3x2x-4)x2x2-42、limx2x-2x2-7x123、lim 2x4x-5x42xx，xx，x，x，0 0x学生20分钟4根据培养学（任集极生知识务限定迁移能3）义自力行拓展5（操练）求解下列极限：-x,x0例1f(x),x0，画出函数图像，讨论limf(x)，limf(x)，1- x0 x0x,x0limf(x)x0-1,x02signxx0limf(xlimf(xlimf(x)0- x0 x0 x01,x0x21,x0例3f(x) ，limf(x)，limf(x)x,x0 x0- x0axnaxn-1a例4分析lim0 1 nxbxnbx b0 1n,mnaxnaxn-1a aKey:lim0 1 n0,mnm xxx ,mn学生讨论15分钟小结本节课采用讲练结合手段教学，既不会导致学生的疲劳感，又能锻炼学生自主学习能力，通过多媒体演示直观展示极限过程，加深学生对函数极限的理解。4分钟作业练习册P331分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§1.4无穷小与无穷大§1.7无穷小的比较教学目标知识目标：理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念；会用等价无穷小求极限。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：无穷小的比较教学难点：运用等价无穷小的代换求极限。解决办法：讲练结合教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主讨论为辅教学手段：板书、课件展示教学准备复习极限的概念，讨论已学过的求极限的方法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配让学生1对要学（告本节课学习目标：无穷小，无穷大识记习的知识框架5分钟知）有基本了解2学生阅读，无穷小概念极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小。特别注意，无穷小不是很小很小的数。例下列函数在什么情况下是无穷小？1（1） yx-1（2） y=2x-1（3） y2x1x（4） y 4学生阅读自主讨论培养学生发现问题的能力（无10穷小分的概钟念）3无穷大在某极限过程下，函数值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。（1）无穷大就是很大很大的一个数吗？（2）无穷大与无穷小什么关系无穷大与无穷小是倒数关系。下列函数在怎么样的情况下是无穷大？1（1） yx-1（2） y=2x-1（3） y2x,师生研讨教师启发讲解（无10穷大分的概钟念）1x（4） y 4（5） y=lnx4无穷大的倒数是无穷小；非零的无穷小的倒数是无穷大.1例lim2x2x4学生思考（无穷小培养学10与无生动脑分穷大能力钟的关系）5设和limc（c为常数）若c0，则称是比高阶的无穷小，记作；若c0，则称是与同阶的无穷小.特别地，若c称与是等价无穷小，记作～.无穷小替换定理设~，~则limlimlimlim （1）无穷小替换要注意什么事项？（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来，并记忆用无穷小替换定理处理下题lim x例1x0tan2xtanx3lim 2例2x0sinx培养学生识记能力（无穷小学生听讲25的比较）limxsin1例3x0 x6案例tanx3案例1求lim 3（要求：两种方法）x0sinxm1x2x2案例2 求x案例3 求证x0，ex-1与x是等价无穷小3sinxx2cos1案例4lim x（注：这个问题是个竞赛题，需要学生x01cosxln1 x讨论解决）学生练习锻炼学生动手实践能力25小结本节课采用讲练结合手段教学，既不会导致学生的疲劳感，又能锻炼学生自主学习能力，教师适度讲解化解难点，加深学生对无穷大和无穷小的理解。4分钟作业练习册P371分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§1.5极限的运算法则教学目标知识目标：掌握极限的运算法则。能力目标：学生能根据极限的运算法则解决相关的极限求解问题。素质目标：培养学生求实事求是的数学态度，培养踏实细致、严谨科学的学习习惯。教学重、难点及解决办法教学重点：掌握极限的运算法则教学难点：运用极限的运算法则求相关形式的极限。解决办法：讲练结合教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主讨论为辅教学手段：板书、课件展示教学准备复习函数的极限概念，讨论已学过的求极限的方法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配面的学习中，我们会遇到越来越多的复杂的函数，那函数有没有较好的运算法则来支撑我们求函数的极限呢？让学生1对要学（告识记习的知识框架5分钟知）有基本了解2对于函数极限有如下的运算法则：如果limf(x)A,limg(x)B，那么xxo xxolim[f(x)g(x)]ABxxolim[f(x)g(x)]ABxxolimf(x)A(B0)xxog(x) B商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作0）.学生阅读自主讨论培养学生发现问题的能力（引15入分任钟务）3（推论）当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]Climf(x)xxo xxolim[f(x)]n[limf(x)]nxxo xxo这些法则对于x的情况仍然适用.师生研讨教师启发讲解25分钟4例1求lim(x23x)x22x3x21例2求limx1 x1x216例3求limx4x4分析：当x4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法x216 x4则.注意函数y 在定义域 内，可以将分子、分母约去公x4因式x4后变成x4，由此即可求出函数的极限.3x2x3例4求lim 2x x1xx2锻炼学25分钟（应学生生动手用练练习实践能习）力小结本节课采用讲练结合手段教学，既不会导致学生的疲劳感，又能锻炼学生自主学习能力，教师适度讲解化解难点，加深学生对两个重要极限的理解。4分钟作业练习册P451分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§1.6极限存在法则两个重要极限教学目标知识目标：掌握极限存在法则及两个重要极限的形式及特征，会用两个重要极限求极限。能力目标：学生能根据两个重要极限的形式及特点解决相关的极限求解问题。素质目标：培养学生求实事求是的数学态度，培养踏实细致、严谨科学的学习习惯。教学重、难点及解决办法教学重点：极限存在法则和两个重要极限教学难点：运用两个重要极限求相关形式的极限。解决办法：讲练结合教学方法及手段教学方法：讲授为主，学生自主讨论为辅教学手段：板书、课件展示教学准备复习极限的四则运算法则，讨论已学过的求极限的方法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配本节学习目标：limsinx0并应用x0 x 1xlim1 e并应用x0 x运用无穷小替换求极限让学生1对要学（告识记习的知识框架5分钟知）有基本了解2sinx学生阅读自学，lim 0x0 x（1）这个极限要注意三点，那三点？（2）这个极限如何使用？（3）这个极限如何证明？学生阅读自主讨论培养学生发现问题的能力（引15入分任务钟1）3（应用练习）limsinx0应用x0 x学生先讨论：如何应用这个极限？limsint0对吗？为什么？t0 t例1 limsinxx02x例2limsin2xx0 x例3limsin2xx0 3x例4limtanxx0 x师生研讨教师启发讲解25分钟4 1x理解lim1 ex0 x学生听讲、讨论（第培养学15二个生识记分重要能力钟极限）（1）这个极限要注意什么？（2）你打算如何使用这个极限？ 1t（3）lim1e??t0 t5（实际应用） 1xlim1 e应用x0 x 1x例1lim1 x0 2x2x例2lim11 x0 x1例3m1xx（注：这个也是公式）x学生练习25分钟小结本节课采用讲练结合手段教学，既不会导致学生的疲劳感，又能锻炼学生自主学习能力，教师适度讲解化解难点，加深学生对两个重要极限的理解。4分钟作业练习册P521分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§1.8函数的连续性与间断点函数连续的概念函数的间断点教学目标知识目标：理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解初等函数的连续性以及函数的间断点。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：函数连续性的定义与函数的间断点教学难点：函数的左连续与右连续与间断点解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备复习极限、左右极限的概念，讨论增量的表示方法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本节课学习目标：增量函数的连续性间断点识记让学生对要学习的知识框架有基本了解5分钟2（引入增量）增量（1）自变量的增量132t01到2时间增加了多少？这个增加的时间t211就是时间的增量2y=2x+1,x13.5，x（2）函数的增量随着自变量的增量而改变的函数的增量1当t01到2t例2x从1增加到3.5时，函数y增加了多少？xx0x0xyf(x1)-f(x0)，f(x1)f(x0)y学生分组研讨教师画图讲解有助学生理解30分钟3（类比连续第二种定义）增量定义函数连续师生研讨教师启发讲解有助于两个定义的过度40分钟函数的连续，从图像上来说就是函数图像不间断。x0limy0x0第二个定义：函数在x0连续，limf(x)f(x0)xx0根据连续性ln(1x) 2求limln(sinx)，lim ，limarccos(xx-x)x x0 x x024间断点根据连续的第二个定义，启发学生，函数在一个点如果不连续，会有几种情况：limf(xlimf(x)均存在，但是不相等xx xx-0 0limf(x)与limf(x)均存在（即limf(x)存在，但是不等于函xx xx- xx0 0 0数值f(x0)limf(xlimf(x)至少一个不存在xx xx-0 0例1判断f(x)1的间断点xx2,0x1例2设f(x) 讨论f(x)在x=1处的连续性是什么间x1,x1断点x4 ,x0例3f(x)x 讨论f(x)在x=0处的连续性是什么间断点,x040分钟（间断点）注意间断点的分类5（案例）案例应用x1-1案例1求limx0 x例2 求m1x2x21x1x2-1案例3 f(x) 的间断点类型x(x-1)ex,x0 例4设f(x) x2a,x0常数a值时数f(x在- ,上连续25分钟小结本节课采用讲练结合手段教学，结合多媒体教学手段，很好的将知识直观展示给学生，学生接受比较直观便于理解，性质部分淡化证明，采用图形结合的方式加深学生对性质的理解。4分钟作业练习册P55、611分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间教学内容§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性§1.10闭区间上连续函数的性质教学目标知识目标：了解连续函数的运算；了解闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，等)。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神教学重、难点及解决办法教学重点：连续函数的性质教学难点：介值定理、零点定理解决办法：数形结合教学方法及手段启发探索、讲练结合、数形结合讲授、讨论、指导、练习教学准备复习函数连续性的两个等价定义及判断函数在一点连续的方法。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本节课学习目标：连续函数的运算与初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质识记让学生对要学习的知识框架有基本了解5分钟2（续函数的运算与初等函数的连续性）一、连续函数的算术运算定理1 若函数f(x),g(x)在点x0处连续,则f(x)(c为常数,f(x)g(x), f(x)g(x), f(x)(g(x)0)点0也g(x) 0连续.二、反函数与复合函数的连续性定理2 若函数yf(x)在区间Ix上单调增（或单调减少且连续，则它的反函数xy)也在对应的区间Iy{y|y f(x),xIx}上单调增加（或单调减少）且连续.定理3 若lima,函数f(u)在点a出连续,则有xx0limff(a)f[lim. (10.1)xx0 xx0定理4 设函数u(x)在点0连续,且(0)u0,而函数yfu)在点uu0连续,则复合函数f[(x)]在点x0也连续.三、初等函数的连续性定理5 基本初等函数在其定义域内是连续的.定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连续的.学生分组研讨教师画图讲解有助学生理解30分钟3（闭区间上连续函数的闭区间上连续函数的性质性质１（最值定理）闭区间上的连续函数必有最大值和最小值．这里要求连续函数所在的区间必须是闭区间，这一点很重要，因为我们常常可以发现在开区间上连续的函数没有最值的情形，如开区间35性质）(a,b)的函数f(x)x就是一个例子．性质2（有界定理）在闭区间[a,b]上连续的函数一定在该区间上有界．性质3（介值定理）闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的一切值．零点定理）f(x在闭区间[ab]f(a)f(b)（fff(x在开区间(ab)内至少有一个零点，即至少存在一点b使f()0．从几何上讲，如果函数f(x)在闭区间[a,b]上的图形是一条连续曲线，其两个端点分别位于x轴的上、下两侧，那么这曲线与x轴至少有一个交点．例7 证明方程x5x22x10在区间内至少有一根.小结理解。4分钟作业练习册P65、701分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容复习第一章相关知识，讲解相关题目教学目标知识目标：通过习题的讲解，全面掌握第一章的主要知识点和主要题型。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：复习题（一）一、二、三、四教学难点：复习题（一）五、六解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备知识目标：通过习题的讲解，全面掌握第一章的主要知识点和主要题型。山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§2.1导数的概念1、引例；2、导数的定义；3、导数的几何意义；4、函数可导性与连续性的关系教学目标知识目标：理解导数的概念，了解用导数的概念推导基本初等函数导数公式的过程。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：导数的定义教学难点：利用导数的定义求函数的导数解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备了解学生对于导数的了解情况；导数和极限的关系。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（引入案例）任务1 理解变速直线运动速度、切线斜率任务2抽象导数概念任务3简单计算导数、高阶导数任务4总结基本函数的导数运算公式案例1（电流强度模型） 电流强度模型设在时间[0,t0]这段时间内通过导线横截面的电流是QQ(t)，利用导数概念分析电流强度思维训练带着问题学习增强学生求知欲5分钟2（细杆的线密度模型）x在[0,x]上的质量是x的函数m=m(x),求杆上点x0处的线密度2（1）瞬时速度设一个物体的路程与时间的函数是s=s(t)，试研究在时刻t0时的瞬时速度vtlims(t0t)-s(t)0 t0 t（2）切线斜率函数y=f(x)在x0处的切线斜率tanlimf(x0x)-f(x)x0 x学生分组研讨学生资助阅读思考，有助于理解问题求解过程30分钟（导数定义的引入）3增量定义函数连续函数的连续，从图像上来说就是函数图像不间断。x0limy0x0第二个定义：函数在x0连续，limf(x)f(x0)xx0根据连续性ln(1x) 2求limln(sinx)，lim ，limarccos(xx-x)x x0 x x02师生研讨教师启发讲解有助于两个定义的过度（类比连40续第分二种钟定义）4（导数概念）导数通过任务2，抽象出任意函数f=f(x)在x0的导数概念fxlimf(x0x)-s(x)0 x0 xlimf(x)-f(x0)xx0 x-x0fxlimf(x0x)-s(x) 0 x0 x右导数：limf(x)-f(x0)xx0 x-x0fxlimf(x0x)-s(x)- 0 x0- x左导数：limf(x)-f(x0)xx0- x-x0导函数的概念f'(x)例求yx3的导函数及在x=2处的导数学生听讲教师总结讲解便于学生理解定义40分钟ysinxx0处的导数ycosxx0处的导数例设f(x)xx1x2x3xn,求f0例设f(x)xax,其中x在xa处连续，求fa例设函数fx在xa处可导且lim h 1求fah0f(a2h)f(a) 45（案例）案例应用案例1 电流强度模型设在时间[0,t0]这段时间内通过导线横截面的电流是QQ(t)，利用导数概念分析电流强度案例2 细杆的线密度模型设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0,x]上的质量是x的函数m=m(x),求杆上点x0处的线密度25分钟6函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)表示曲线yf(x)在点（x0f(x0）处的切线斜率，即kf(x0)可知曲线yf(x)在点(x0,y0)处的切线方程为yy0f(x0)(xx0)过切点且垂直于切线的直线称为曲线在该点的法线.当f(x0)0时，曲线yf(x)在点(x0,y0)处的法线方程为yy 1 (xx)0 f(x) 001例求等边双曲线y在点（1，1）处的切线方程和法线方程x25分钟（导数的几何意义）7（）可导与连续之间的关系）f(xx0f(xx0处一定连续引入尖点和可导之间的联系函数 1f(x)xsinx,x0, x0讨论函数f(x)在x0处的连续性与可导性.20分钟小结本节课采用教师讲解和学生自学相结合的方式教学，教师讲解有助于化解学生难以理解的难点和不易发现的知识点，学生自学有助于对知识点的认识。4分钟作业练习册P831分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§2.2导数的求导法则1教学目标知识目标：掌握导数的四则运算法则，能求解一些简单函数的导数，会求简单的复合函数的导数。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：导数的四则运算法则、复合函数的求导法则教学难点：复合函数的求导法则解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备复习运用导数的定义求导数的方法，复习幂函数、三角（正余弦）函数和对数函数的求导公式。山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本节课学习目标：导数的四则运算反函数的求导法则复合函数求导数法则识记带着问题学习增强学生求知欲5分钟2导数的四则运算（1）学生阅读教材内容（2）学生总结导数如何四则运算（3）u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)u(x) u(x)v(x)-u(x)v(x) v(x) v2(x)例y2x3x21,求y例yxex2x，求ydy例ylogax，求dx例yexsinx，求dydx例y xcos4x4lnxsin，求y7学生阅（导学生读学习20数四阅读增强自分则运回顾主学习钟算）能力3复合函数求导数（1）学生阅读课本内容总结如何求复合函数的导数师生研讨教师启发讲解有助于细节理解25分钟（复2设yf(x)]yfu),u(x)。所以yxux合函数求（3）例ysin x，求y导）例y a2-x2，求y例ylntanx，求y2例ysinln2x1，求y100/104（反函数求导）反函数求导（1）学生阅读，总结反函数求导的办法dy 1（2） dx dxdy例根据xlogy的导数，求yax的导数axsinyyarcsinx的导数例yarctanxy例yarcsin x，求y师生研讨教师启发讲解有助于细节理解15分钟5（案例）案例应用案例1 f(x)xsinx，求f(x)1cosx案例2 若水以2立方米/分的速度灌入一个高为10米的底面半径是5米的圆锥形水槽中，问当水深为6米时，水位的上升速度是多少？学生练习20分钟小结本节课采用学生阅读课本、师生研讨方式安排教学，简单问题学生自学，复杂问题师生研讨互动，加深记忆，配以适当练习，检验学生掌握情况。4分钟作业练习册P941分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§2.3高阶导数§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目标知识目标：理解高阶导数的概念，会求初等函数的一阶、二阶导数。会求隐函数及由参数方程所确定的函数的导数能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：高阶导数的求法、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学难点：熟练求出本节课所学函数的导数解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备总结复习显函数的导数求法，尤其是复合函数求导法山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本节课学习目标：函数的二阶导数函数高阶导数的推导隐函数及由参数方程所确定的函数的导数识记带着问题学习增强学生求知欲5分钟2（高阶导数的引入）高阶导数的概念我们知道，变速直线运动的速度v(t)是路程函数s(t)对时间t的导数，即vds或vs.dt而加速度a又是速度v对时间t的导数，即advd(ds)或a(s).dt dtdtd ds这种导数的导数 ( )或a(s)叫做s对t的二阶导数，记作dtdtd2s 或s(t).dt2所以，直线运动的加速度就是路程函数s对时间t的二阶导数。学生阅读学生阅读学习增强自主学习能力10分钟3（高阶导数的概念）高阶导数的概念对函数f(x)的导函数f(x)再求一次导数，就叫做函数f(x)的二2阶导数，记作f(x)或dy，即d2xf(x)limf(xx)f(x)ny，y(4)(n) d3y d4y dny y或 ， .y称为一阶导数高于一阶的导数均称d3x d4x dnx分组讨论教师启发讲解有助于推理找规律25分钟为高阶导数。4（高阶导数求解）求高阶导数就是接连多次求导，因此可用函数的求导方法计算高阶导数，但一般函数的高阶导数的表达式是相当繁琐的例1 求下列函数的二阶导数：（1）ycos2x； （2）yxlnx.2例2 函数y2x3x23，求y(n).例3 求yxn的高阶导数.例4 求正弦函数ysinx的n阶导数.师生研讨教师启发讲解有助于细节理解15分钟5（隐函数及由参数方程所确定的函数的导数）一、隐函数的导数显函数yf(x)的函数称为显函数ysinxylnx+ex隐函数F(xy)0所确定的函数称为隐函数例如xy310yy31xF(xy)0中x取某区间内的任一值时相应地总有满y值存在F(xy)0在该区间内确定了一个隐函数把一个隐函数化成显函数叫做隐函数的显化隐函数的显化有时是有困难的甚至是不可能的但在实际问题中有时需要计算隐函数的导数因此我们希望有一种方法不管隐函数能否显化都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来隐函数求导方法小结：（1）xy当作复合函数求导的中间变量来看待.（2）从求导后的方程中解出y来.y.但求某一点的导数时不但要把x值代进去，还要把对应的y值代进去.对数求导法这种方法是先在yf(x)的两边取对数然后再求出y的导数设yf(x)两边取对数得lnylnf(x)师生研讨教师启发讲解有助于细节理解25分钟两边对x求导得1y[lnf yf(x)[lnf(x)]y对数求导法适用于求幂指函数y[u(x)]v(x)的导数及多因子之积和商的导数二、由参数方程所确定的函数的导数设y与x的函数关系是由参数方程xt)确定的y(t)所表达的函数为由参数方程所确定的函数在实际问题中需要计算由参数方程所确定的函数的导数但从参数方程中消去参数t有时会有困难因此我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数设x(t)具有单调连续反函数t()且此反函数能与函数y()(x)]若x(t和y)则dydydtdy1(t)dx dtdx dtdx dtdy即 dy或dydtdxdx dxdt若x(t)和y(t)都可导则dy(t)dx三、相关变化率xx(t)yy(t)都是可导函数xy间存在某种关系从而变化率dx与dy间也存在一定关系这两个相互依赖的变化率称为相关dt dt变化率相关变化率问题就是研究这两个变化率之间的关系以便从其中一个变化率求出另一个变化率5（自主练习）课后题学生练习30分钟小结本节课采用学生阅读课本、师生研讨方式安排教学，简单问题学生自学，复杂问题师生研讨互动，加深记忆，高阶导数淡化证明，带领学生归纳找规律。4分钟作业练习册P100、1081分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容§2.5函数的微分1、微分的定义；2、微分的几何意义；3教学目标知识目标：理解微分的概念与几何意义。了解微分的运算法则与一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：微分的概念及求法教学难点：微分的应用解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备总结复习函数的导数求法，尤其是复合函数求导法山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配本节课学习目标：带着问题学习增强学生求知欲5分钟1掌握微分的概念（告识记知）掌握微分和导数的关系及公式表达微分在近似计算公式中的应用微分概念学生阅读学习增强自主学习能力、体会微分奥妙（1）学生阅读47-48页资料，理解微分的含义（2）xy。y=f(x)x，也即dyf(x)dx例计算下列函数的微分2（微分概念）（1） yx86x21（2） yex2sinx学生阅读20分钟（3） ysin x（4） x2xy-siny0例yarctanx，求dy例yarcsin x，求dy微分和导数比较：3（微分计算）微分的近似计算学生总结近似计算（1）首先要搞清楚设计的关系式，自变量和因变量（2）yf(x0)xf(x)f(x0)f(x0)(x-x0)xx2增x2.2sx2s=s(2)0.2=0.8平方厘米例（膨胀问题）20200.1教师引导学生思考教师引导讲解有助于学生理解15分钟案例应用让学生身临其境感受高等数学的用处25分钟案例1 有一个球体机械加工零件要使他的体积从972π立方厘米增加4到973π立方厘米，试估计其半径的增加了月多少？（案例应案例2 有一个机械零件长是365，现在要加工边长，但是不知道将具分组讨论用）体近似值，请计算出来。3y(3xf(2)的近似值5设函数yf(u)，根据微分的定义，当u是自变量时，函数yf(u)的微分是dyf(u)duuxuyf[(x)]的微分为dyf(u)(x)dx由于， dxdu，所以， dyf(u)duu（中间变量yf(u的微分总保持同一形式dyf(udu，这一性质称为一阶微分形式不变性学生阅读20分钟（一阶微分形式不变性）小结本节课采用学生阅读课本、师生研讨方式安排教学，简单问题学生自学，复杂问题师生研讨互动，加深记忆，高阶导数淡化证明，带领学生归纳找规律。4分钟作业练习册P1201分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间课时数教学内容习题课，复习第二章的主要内容，讲解相关的练习册习题。教学目标知识目标：全面复习第二章的主要内容，熟练掌握基础题型。能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：导数的求法教学难点：复合函数求导方法解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备检查学生练习册的完成情况山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间教学内容§3.1微分中值定理罗尔中值定理，拉格朗日定理，柯西中值定理教学目标知识目标：理解罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理，并会应用拉格朗日中值定理证明不等式能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法教学重点：罗尔定理，拉格朗日定理教学难点：柯拉格朗日定理的理解解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备1、微分的定义；2、微分公式和法则山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本次课学习目标：罗尔定理拉格朗日定理柯西定理识记陈述板书10分钟2一、罗尔定理1.罗尔定理几何意义：对于在[a,b]上每一点都有不垂直于x轴的切线，且两端点xf(x)x轴。yCyf(x)A Bo a 2 b x从图中可以看出：符合条件的点出现在最大值和最小值点，由此得到启发证明罗尔定理。为应用方便，先介绍费马（Fermat）引理费马引理 设函数f(x)在点x的某邻域U(x0)内有定义并且在x处0 0可导f(xf(x)(ff(x))f(x00 0 0f(xf(x0)（ff)，可以类似地证明.于是对于x0xU(x0),有f(x0x)f(x0),从而当x0时,f(0)f(0);x0时,f(x0x)f(x0)0;根据函数f(x)在x处可导及极限的保号性的得0f'(x)f'(x)limf(x0x)f(x0)00 0f'(x)f'(x)limf(x0x)f(x0)0，所以f'(x)0,证毕0 0 0定义导数等于零的点称为函数的驻点(或稳定点，临界点).学生教师讲解教师提示（引认真25入任听讲分务分组钟1）研讨罗尔定理f)1在闭区间,]2区间(ab内可导（3）ff那么在,)a)f)即f'0证明：f(x)在Mm，于是有两种可能的情形：f(x在f(xM.由此得f(x)0.因此，任取(a,b)，有f()0.（2）MmffM和mf(x)在区间]端点处的函数值.不妨设Mf若mf可类似证明),则必定在,)有一点使f)M.因此任取x,]有f)f),从而f0.证毕【例1】验证罗尔定理对f(x)x22x3在区间[1,3]上的正确性解显然f(x)x22x3(x3)(x1)在[1,3]上连续，在上可导，且ff0, 又f(x)2(x1), 取1,(1(1,3)),有f()0.说明：1 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立;2 使得定理成立的可能多于一个，也可能只有一个.【例2】证明方程x55x10有且仅有一个小于1的正实根.f(x)x55x1,f(x)在ff由介值定理存在f(x00,即x1的正实根.0设另有x0使f0.因为f在x0之间满足罗尔定理的条件,所以至少存在一个（xx之间）使得f0.01但f(x)5(x41)0,(x(0,1)),矛盾,所以x0为方程的唯一实根.3（任务2）二、拉格朗日中值定理在罗尔定理中，第三个条件为(iii)f(a)f(b)，然而对一般的函数，此条不满足，现将该条件去掉，但仍保留前两个条件，这样，结论相应地要改变，这就是拉格朗日中值定理：定理2：若函数满足：f(x在[ab]0.7f(x)在(a,b)上可导； 2- - 5 1 2则在(a,b)内至少存在一点-0.22 15-0.得 f)fb)f(a)。 7ba 5即fb)-fa)=f¢xb-a)若此时，还有f(a)f(b)， f0。可见罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情况，因而用罗尔中值定理来证明之。证明上式又可写为 ff(b)f(a)0 ……(1)baf(b)f(a)作一个辅助函数(x)f(x) (xa) ……(2)ba显然，F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，且F(a)f(a)f(b)f(a)(aa)f(a)baF(b)f(b)f(b)f(a)(ba)f(a)baF(a)F(b)，所以由罗尔中值定理，在(a,b)内至少存在一点,使得F0。 又F(x)f(x)f(b)f(a)ba ff(b)f(a)0 或 ff(b)f(a)。ba ba教师启发讲解板书师生探讨20分钟由定理还可得到下列结论：1yf(xI0f(xI上是一个常数。证明I(x1x2yf(x在[x1x2连续，在(x1,x2)可导，由拉格朗日中值定理，则在(x1,x2)内至少存在一点，使得f(2)f(1)f(21)由假设可知在I上，f(x)0，从而在(x1,x2)上，f(x)0，f0， 所以f(x)f(x0)0 f(x)f(x0)，可见，f(x)在I上的每一点都有：f(x)f(x0)（常数。【例3】证明当x0时 x <+x)<x.1+xf(xxf(x在[0，x]上满足拉格朗日中值xÎ,x)使fx)-f)=fx)x-0由于 f(x)= 1 ，f=0，f'(x)= 1，代入上式有1+x 1+x+x)-= 1 即+x)= 1x 1+x x 1+x又由于0<x<x 1<x+1<1+x所以1 < 1 <1 1 <+x)<11+x 1+x 1+x xx即 <+x)<x1+x（1）构造辅助函数fx)（2）正确确定区间左右端点，利用H2可得.4三、柯西中值定理定理3：若f(x),F(x)满足：(1[ab(2(ab(3)xab)F(x)0则在(a,b)内至少存在一点使得 ff(b)f(a)。FF(b)F(a)证明：令(x)f(b)f(a)F(x)f(x)，显然，(x)在[a,b]上F(b)F(a)连续，且在(ab)，事实上，(b)(a)f(b)f(a)F(b)f(b)f(b)f(a)F(a)f(a)F(b)F(a) f(b)F(a)f(b)f(a)(F(b)F(a))(f(b)f(a))0F(b)F(a)所以(x)满足罗尔定理的条件，故在(a,b)内至少存在一点，使得0，又 f(b)f(a)F(x)f(x)F(b)F(a)f(b)f(a)F()f()0F(b)F(a)因为F0， ff(b)f(a)FF(b)F(a)4】证明nxsx（1x1。2证令f(x)arcsinxarccosxf'(x) 1 1 0，1x2 1x2 由推论知f(x)=常数！再由f(0)，故arcsinxarccosx。2 2（任教师板书28务启发师生分3）讲解探讨钟【例5】若方程axnaxn1a x0有一个正根xx，0 1 n1 0证明方程anxn1a(n1)xn2a 0必有一个小于x的0 1 n1 0正根。证明令f(x)axnaxn1a x，在闭区间[0,x]上满足0 1 n1 0罗尔定理的三个条件，故f'()0(0x0)f'(x)anxn1a(n1)xn2a0 1 n1 aa(na 00 1 n1上式表明x0x）即为方程axnaxn1a x0的0 0 1 n1根。小结35分钟作业课后题P1302分钟教学反思山东工程职业技术大学课 时 教 案讲授人授课时间教学内容§3.2洛必达法则0、0000型未定式的极限0教学目标知识目标：使学生掌握利用洛必达法则求未定式极限能力目标：逐步培养学生的抽象、逻辑推理、分析解决实际问题的能力，掌握学习方法，培养自学能力。素质目标：学会用数学的思维方式去分析、解决学习、生活、工作中遇到的实际问题；具有主动探索、勇于发现的科学精神、创新意识和创新精神。教学重、难点及解决办法0教学重点：、型未定式的极限0教学难点：其他0000类型的未定式极限的求法解决办法：讲练结合教学方法及手段启发探索、讲练结合讲授、讨论、指导、练习教学准备1、微分中值定理山东工程职业技术大学教案附页教学过程教学内容及教师活动学生活动教案设计说明时间分配1（告知）本次课学习目标：洛必达法则识记陈述板书10分钟2（引入任务1）在第一章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用“商0 的极限等于极限的商”这一运算法则这种极限称为未定式记为 或 。0 0一 、型未定式的极限0定理1设函数f(x)与g(x)满足(1)xf0;f(x)lim 存在（或为无穷大xag(x)f(x) f(x)那么，lim lim 。xag(x) xag(x)定义1 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.f(x)证明：由于极限im f）在点a处的值无关，又由于xag(x)xa时f,g0，故可以补充定义f（0。于是由条件（1）与（2）知，f,g在点a的某一邻域内是连续的。设xU(axa为端点的区间上，柯西中值定理的条件均满f(x) f(x)f(a) f足，因有 ,在之间）g(x) g(x)g(a) g学生认真听讲分组研讨教师讲解教师提示30分钟xaxa时有a，再条件（3）即证。注1．定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的极限存在或为∞2．定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的极限；若limf(x还是未定式，且f满足定理中对f(xg(x)xx0g(x)所要求的条件，则可以继续使用罗必塔法则，直到不再是未定式为止，即limf(x)limf(x)limf(x)xx0g(x) xx0g(x) xx0g(x)cosx sinx【例1】求lim lim 1 x2 x x2 12x33x2 3x23 6x 3【例2】求limx3x2x1lim3x22x1lim6x22x1 x1 x1xsinx 1cosx sinx 1【例3】lim lim lim x0 x3 x0 3x2 x06x 6x x x x【例4】limablimaabba (ab0)x0 x x0 1 bx0x或x时未定式也有相0 应的罗必塔法则，如下：定理2如果函数f(x)与g(x)满足：f(x)0且limg(x)或limf(x)且limg(x)）2）都存在且0； 3）imf(x)A；g(x)f(x) f(x)那么lim lim A。g(x) g(x)arctanx 1 2【例5】求lim2 lim 1x2lim x 1x 1 x 1 x1x2x x2xn【例6】求lim(n为正整,0)。xenxn1 n