2026年6月杭州高一期末数学试题

2025学年第二学期杭州市高一年级教学质量检测

数学试题卷

考生须知：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，请核对考生条码信息，确认无误后，将条码贴在答题卡上的“条码粘贴处”，并将

自己的学校、姓名、试场号、座位号填写在答题卡相应的位置上。

3.回答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色水笔将答案写在答题卡相应的答题

区内。答案写在试题卷上一律无效原牛考院。

4.考试结束，将答题卡交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

1.已知i为虚数单位，若z=4+2i,则|z|=()

A.√6B.2√3C.2√5D.2√6

2.已知tana=2,则sin²α=()

ABCD

3.在机器学习中，常用来衡量两个集合A,B之间的相似度，其中

card(A）表示集合A的元素的个数。已知M={1,2,3,4},N={2,4,6},则J(M,N)=()

ABCD

4.已知一组数据的平均数和方差分别为20,26，若向该组数据中添加一个数据20，记这

组新数据的平均数和方差分别为x,s²,则（）

A.x>20B.x<20C.s²>26D.s²<26

5.设α,β是两个不同的平面，m是一条直线，且mCa,则“m//β”是“a//β”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

6.已知函数f(x)=x²+ax+b,且f(-1)>f(2),则（)

A.|b+4|<|b-2|B.|a+4|<|a-2|

C.|b+4|>|b-2|D.|a+4|>la-2

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7.若单位向量a,b,c满足a+b+√2c=0,则向量a-c与b—c夹角的正弦值为（)

ABCD.

8.已知点和分别在函数和：上，平行于轴

a>1,A,BCy=aˣ,的图像BCx

，AB=BC=2,且AB·BC=0,则点A的横坐标约为（)

（参考数据：1g2≈0.3010,lg3≈0.4771）

A.8.8B.7.8C.6.8D.5.8

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数(a∈R)为奇函数，则（）

A.a=0B.f(x)≥2

C.f(x)的图像关于原点对称D.f(x)在区间（0,1）上单调递减

的部分图像如图所示，则（）

A.w=2

B.B.f(φ)=√3

D.函数y=f(x)-1在区间上有7个零点

11.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC,PA=2,则（)

A.直线PB与AC所成角的最大值为90°

B.若∠PCA=30°,∠PBA=45°,则∠PCB=45°

C.若∠PCA=30°,∠PCB=45°,则二面角A-PC-B的正切值为√2

D.若△ABC的面积为4，则直线PC与平面ABC所成角的正切值的最大值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,4),则a·b的最大值为_.

13.设随机事件M,N相互独立，且P(M)=0.5,P(N)=0.4,则P(M+N)=_·

14.用maxM表示数集M中最大的数。若x=1是函数y=ax²+bx+c的零点，且abc=16,

则max{a,b,c}的最小值为

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(13分）

某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为

样本，将样本数据分为5组：（50,60）,(60,70),[70,80],(80,90),[90,100]，并绘制出频

率分布直方图，如图所示。

频率/组距

0.035

0.010

0.005

5060708090100得分

（第15题图）

（1）估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）;

（2）采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为[50,60]和（80,90）的学生中

抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率。

16.(15分）

在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已

（1）求B;

(2）设b=3,2AD=DC,且BD为∠ABC的平分线，求BD.

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17.(15分）

已知函数

(1）设a=2,

(i)求f(1)的值；

(ii)解不等式f(x+1)>f(ax);

(2）若3x∈(0,+∞),f(x+1)=f(x)+f(1),求a的取值范围。

18.(17分）

如图，在正三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AB=4,A₁B₁=AA₁=2.

（1）求证：AA₁⊥BC;

（2）求棱台ABC-A₁B₁C₁的体积；

（3）若棱台ABC-A₁B₁C₁内有一个正方体，且此正方体在该棱台内能任意转动，求此

正方体棱长的取值范围。

19.(17分）

已知函数（第18题图）

（1）判断函