2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（上）期中数学试卷一、填空题（满分54分，1-6每题4分，7-12每题5分）.1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是命题（填“真”或“假”．2．若球的表面积为，则该球的半径为．3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为．4．已知，，，则．5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为．6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有个．7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有条．8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为．9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是．10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为．11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为．12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：①存在点，存在点，满足平面；②任意点，存在点，满足平面；③任意点，存在点，满足；④任意点，存在点，满足．其中所有正确结论的序号是．二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．两条异面直线所成角的范围是（）A． B． C． D．14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24降雨量的等级划分如下：等级降雨量（精确到小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是如图所示），则这降雨量的等级是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨三、解答题（本大题共5小题，共14+14+16+16+18＝78分）17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：（1），，，四点共面；（2）平面平面．18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．（1）求圆锥的表面积；（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．19．如图，已知正方体．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角的大小．20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．21．（18分）如图，是圆柱的直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点．（1）求圆柱的侧面积和体积；（2）求三棱锥体积的最大值；（3）若，是的中点，点在线段上，求的最小值．

参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．“若直线平面，直线在平面上，则直线直线”是假命题（填“真”或“假”．解：若直线平面，直线在平面上，则直线直线或直线与直线异面，故命题为假命题．故答案为：假．2．若球的表面积为，则该球的半径为．解：设球的半径为，因为球的表面积为，所以，所以．故答案为：．3．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为1．解：圆锥的母线长为3，侧面展开图扇形的半径为3，设该圆锥的底面半径为，则，解得．故答案为：1．4．已知，，，则或．解：利用等角定理，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，若，，则有或，又，所以或．故答案为：或．5．如图所示直角梯形上下两底分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为3．解：根据题意，原图直角梯形中，下两底分别为2和4，高为，其面积，则其直观图的面积．故答案为：3．6．如图，在三棱锥中，平面，，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数有4个．解：因为平面，所以，又，，所以平面，所以平面，所以几何体中的直角三角形有△，△，△和△，共4个．故答案为：4．7．如图为正六棱柱．其6个侧面的12条面对角线所在直线中，与直线异面的共有5条．解：连接，因为六边形为正六边形，所以，故，所以，，，四点共面，，不是异面直线，同理得到与共面，不是异面直线，而，又，，与相交，故12条面对角线中，与不是异面直线的面对角线为，，，，，，其余面对角线均与异面，分别为，，，，，共5条．故答案为：5．8．如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为．解：由题意可知，，设扇形的半径为，则，阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为．故答案为：．9．用一平面去截球所得的截面面积为，已知球心到该截面的距离为，则该球的体积是．解：设截面小圆的半径为，球的半径为，则截面面积为，所以，又球心到该截面的距离为，所以，所以，所以该球的体积是．故答案为：．10．已知为线段上的点，且，若，到平面距离分别为1和3，则到的距离为或．解：过作平面垂直于，并与交于直线，作于，于，于，若、在平面的同侧，如图所示：则在平面中，，则，又，，解得．若、在平面的异侧，如图所示：则，又，，解得．故答案为：或．11．已知是大小为的二面角内一点，到，的距离分别为3和4，则点到棱的距离为．解：令于，于，平面，则，，由，得，，又，是平面内的两条相交直线，则平面，又，，平面，于是，，，是二面角的平面角，，则，在△中，由余弦定理得，而到的距离是四边形外接圆直径，所以．故答案为：．12．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点．给出下列四个结论：①存在点，存在点，满足平面；②任意点，存在点，满足平面；③任意点，存在点，满足；④任意点，存在点，满足．其中所有正确结论的序号是①③．解：对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，，则根据中位线的性质可得，又平面，平面，故平面，同理平面，又，，平面，故平面平面．又平面，故平面．故①正确．对②，当在时，平面不成立，故②错误；对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，1，，，1，，．设，0，，，则，1，，其中，，，故，则当时，即．故对任意的，，存在满足条件，即任意点，存在点，满足．故③正确；当，即在点时，若，则，不满足，，即不在上，故④错误．故答案为：①③．二、单选题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分）13．两条异面直线所成角的范围是（）A． B． C． D．解：由异面直线所成角的定义可知：把异面直线平移到同一点处，它们所成的锐角或直角就是异面直线所成的角，故两条异面直线所成角的范围是，故选：．14．设，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，则“，”是“”的（）A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件解：、是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，“，”，若，可以与平面斜交，推不出，若“，，是平面内两条不同的直线，是平面外的一条直线，，，“，”是“”的必要而不充分的条件，故选：．15．如图，已知、、、、、分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线相交的是（）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线解：如图，由正方体的结构特征可得，又，则四边形为等腰梯形，知与相交，故正确；平面平面，且平面，、平面，与直线，与直线不相交，故、错误；平面，平面，，平面，与是异面直线，故错误．与直线相交的是直线，故选：．16．某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：．24降雨量的等级划分如下：等级降雨量（精确到小雨中雨大雨暴雨在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨量器．若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是如图所示），则这降雨量的等级是（）A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨解：圆锥的体积为，因为圆锥内积水的高度是圆锥总高度的一半，所以圆锥内积水部分的半径为，将，代入公式可得，图上定义的是平地上积水的厚度，即平地上积水的高，平地上积水的体积为，且对于这一块平地的面积，即为圆锥底面圆的面积，所以，则平地上积水的厚度，因为，由题意可知，这一天的雨水属于中雨．故选：．三、解答题（本大题共5小题，共14+14+16+16+18＝78分）17．如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点，求证：（1），，，四点共面；（2）平面平面．【解答】证明：（1）、分别为，中点，，三棱柱中，，、、、四点共面；（2）、分别为、中点，又、分别为三棱柱侧面平行四边形对边、中点，四边形为平行四边形，平面中有两条直线、分别与平面中的两条直线、平行平面平面．18．如图所示圆锥中，为底面的直径．，分别为母线与的中点，点是底面圆周上一点，若，，圆锥的高为．（1）求圆锥的表面积；（2）求证：与是异面直线，并求其所成角的大小．解：（1）因为圆锥中，为底面的直径，，分别为母线与的中点，，圆锥的高为，所以，所以底面圆的半径为，所以母线长为，所以圆锥的表面积；（2）证明：如图，连接，，取中点，连接，，，则易知平行且等于的一半，又平面，平面，且，所以根据异面直线的判定定理可得与是异面直线；由，可得与所成角为或其补角，因为，所以可得三角形为等边三角形，所以，，，，所以，所以，所以与所成角为．19．如图，已知正方体．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求直线与平面所成的角的大小．解：（1）证明：由题意，在正方体中，，平面，平面，平面；（2）证明：平面，平面，，在正方形中，，又，且平面，平面，平面．（3）设正方体棱长为2，，连接，由（2）得，平面，所以，即所求直线与平面所成的角．在中，，，则，即，故所求直线与平面所成的角的大小为．20．（18分）如图，是一块正四棱台形铁料，上、下底面的边长分别为和，高．（1）求正四棱台的侧面与底面所成二面角的大小；（2）现削去部分铁料（不计损耗），将原正四棱台打磨为一个圆台，使得该圆台的上、下底面分别为原正四棱台上、下底面正方形的内切圆及其内部．求削去部分与原正四棱台的体积之比．解：（1）设正方形，的中心分别为，，连接，则平面，分别取，的中点，，连接，，，则，．又，分别为等腰梯形底边，的中点，所以，由，可得四边形是一个直角梯形，，又，所以为侧面与底面所成二面角的平面角，因为正四棱台上、下底面的边长分别为和，高．则，所以．所以侧面与底面所成二面角的大小为；（2）设圆台上底面圆半径，下底