2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区顾村中学高二（下）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分）.1．直线的倾斜角为．2．点到直线上的距离为．3．圆的半径为．4．双曲线的实轴长为．5．已知直线与圆相交于，两点，则．6．已知抛物线，则抛物线的准线方程为．7．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是．8．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为．9．已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是．10．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为．11．已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为．12．已知实数，，，满足，，，则的最大值为二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂照，选对得相应满分，否则一律得分）13．设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件14．过点作圆的切线，则的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．15．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（）A． B． C． D．16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤））17．已知△的三个顶点分别是，，，为中点．（1）求中线和线段分别所在的直线方程；（2）求△的面积．18．已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．19．如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）设，求线段中点到轴的距离；（2）若直线的倾斜角为，求△面积．20．（17分）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．（1）求双曲线的焦距和离心率；（2）当为中点时，△的面积为7，求直线的斜率；（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．21．（18分）已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点不在轴上，求△的周长；（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成立？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应翘序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）1．直线的倾斜角为．解：因为直线，所以，设直线的倾斜角为，因为，所以，又，，所以．故答案为：．2．点到直线上的距离为．解：由题意，直线可化为，所以点到直线上的距离．故答案为：．3．圆的半径为．解：圆，化为标准方程为，所以圆的半径为．故答案为：．4．双曲线的实轴长为．解：因为双曲线方程为，所以，，即，，则双曲线的实轴长为．故答案为：．5．已知直线与圆相交于，两点，则．解：根据题意可知，圆的标准方程，其圆心坐标为，半径为2．圆心到直线的距离则．故答案为：．6．已知抛物线，则抛物线的准线方程为．解：抛物线，则，焦点为轴负半轴，故抛物线的准线方程为：．故答案为：．7．设，直线经过平面直角坐标系的第二、第三与第四象限，则的取值范围是．解：因为直线经过平面直角坐标系的第二、三、四象限，所以直线的斜率，在轴上的截距，因为直线，所以，则且，解得，即实数的取值范围是．故答案为：．8．已知抛物线上一点到焦点的距离为5，则点到轴的距离为．解：抛物线，，准线方程为，设，，由抛物线定义可知，，，点到轴的距离为．故答案为：．9．已知点是椭圆上的动点，则的取值范围是，．解：设，联立，消去、整理得：，令△，解得：，，，故答案为：，．10．设、分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，满足，则该双曲线渐近线的夹角为．解：、分别为双曲线的左、右焦点，在双曲线右支上存在点，满足，如图：由题意得，即，设斜率为正的渐近线的倾斜角为，则，，所以该双曲线渐近线的夹角为故答案为：．11．已知为双曲线的左焦点，是双曲线右支上一点，线段与以该双曲线实轴为直径的圆相切于线段的中点，则该双曲线的离心率为．解：设为双曲线的右焦点，记切点为，则，可知是的中点，则，，则，，故，故答案为：．12．已知实数，，，满足，，，则的最大值为5解：设，，，，，则，，因为，，可知，两点在以为圆心，半径为的圆上，又，且，即，可得，则，可知三角形为等边三角形，则，设线段的中点为，则，可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，过点，，分别作直线的垂线，垂足分别为，，，则，因为点到直线的距离，则，当且仅当点在线段上时，等号成立，可得，即所求最大值为5．故答案为：5．二、单选题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂照，选对得相应满分，否则一律得分）13．设常数，已知直线，直线，则“”是“直线与直线平行”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件解：当时，直线，直线，两直线斜率相同，截距不同，故平行，所以是直线的充分条件；当时，则，得，解得或，时，，，即，两直线重合，不满足平行，故舍去，因此，直线的必要条件．综上，“”是“直线与直线平行”的充要条件．故选：．14．过点作圆的切线，则的方程为（）A．或 B．或 C．或 D．解：当切线的斜率不存在时，方程为，满足题意；当切线的斜率存在时，故可设切线的方程为，即，圆心到直线的距离，，切线的方程为或．故选：．15．如图是一个椭圆形拱桥，当水面在处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆．此时拱顶离水面，水面宽，那么当水位上升时，水面宽度为（）A． B． C． D．解：如图所示，建立平面直角坐标系，由题意可知，椭圆的长半轴长，短半轴长，所以椭圆方程为：，令得，，故水面的宽度为：，故选：．16．已知圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”．现有如下两个命题：①任意椭圆都是“完美曲线”；②存在双曲线是“完美曲线”．下列判断正确的是（）A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①②都是真命题 D．①②都是假命题解：因为圆锥曲线的对称中心为原点，若对于上的任意一点，均存在上两点，，使得原点到直线，和的距离都相等，则称曲线为“完美曲线”，所以依据新定义分别判断两命题如下：判断命题①：已知过椭圆上任意一点作以原点为圆心的圆的切线，分别交椭圆于，两点，连接．根据直线与圆的位置关系，当与圆相切时，满足给定条件．当与圆相交时，因为圆的圆心是固定的原点，我们可以通过缩小圆的半径，使得圆逐渐靠近，直到与圆相切；同理，当与圆相离时，扩大圆的半径，也能使圆靠近直至相切．所以从直线与圆位置关系的动态调整角度可知，一定能找到合适的圆半径使得与圆相切，故①正确；判断命题②：当在双曲线顶点时，过作圆的切线，交双曲线于另外两点，．由双曲线的性质可知，双曲线在顶点附近的形状特点决定了，过顶点作圆的切线与双曲线相交得到的线段，其整体位置与以原点为圆心的圆是相离的．这是因为双曲线的渐近线性质以及顶点处的曲线走向，使得从顶点出发的切线与双曲线相交形成的线段不会与圆相切，所以②不正确．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤））17．已知△的三个顶点分别是，，，为中点．（1）求中线和线段分别所在的直线方程；（2）求△的面积．解：（1）因为，，为中点，所以，因为，所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；因为，所以由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：；（2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：．由两点间的距离公式可得，两点间距离：．所以△的面积．18．已知圆的方程为．（1）求实数的取值范围；（2）若圆与直线交于，两点，且，求的值．解：（1）已知圆的方程为．可化为，因为此方程表示圆，所以，即，故实数的取值范围是；（2）若圆与直线交于，两点，由（1）可得圆心，半径，如图，过点作于点，则，圆心到直线的距离为，由图可得：即，解得：，即的值为6．19．如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于，两点．（1）设，求线段中点到轴的距离；（2）若直线的倾斜角为，求△面积．解：（1）因为过焦点的直线交抛物线于，两点，且，设，，，，则由抛物线的性质可得，又由题，所以，所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为．（2）由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：，将直线与抛物线联立，整理可得，所以，，所以，原点到直线的距离，所以．20．（17分）已知双曲线，点，点，过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、，点在线段上，且与端点、不重合．（1）求双曲线的焦距和离心率；（2）当为中点时，△的面积为7，求直线的斜率；（3）设直线、、分别与轴交于点、、，若为的中点，证明：点在一条定直线上，并求出该定直线的方程．解：（1），，，所以焦距，离心率；（2）设直线的方程为，，即，与联立得，判别式△；设，，，，则，，可得，此时，△面积，解得（舍或；（3）证明：点，，，共线，可得，同理，，由为中点，可得，即，韦达定理代入，可得，即，所以，在定直线上．21．（18分）已知点为椭圆上一点，、分别为椭圆的左、右焦点．（1）若点不在轴上，求△的周长；（2）过右焦点的直线与椭圆交于、两点，若以为直径的圆过，求的方程；（3）若点在轴上方，设直线与交于点，与轴交于点，延长线与交于点，在轴上方是否存在点，使得成