2025-2026学年上海市宝山区罗店中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山区罗店中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（每题3分）1．函数，，是偶函数，则实数．2．在复数范围内分解因式：．3．已知为第三象限角，，则．4．若，则在上的数量投影为．5．若，为锐角，且，则．6．设向量、满足，则．7．已知、、三点共线（该直线不过原点，且，则的最小值为．8．已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则．9．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且，则满足条件的实数的值为．10．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是．11．定义在区间，上的函数与的图象的交点个数为．12．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为．二、选择题（每题3分）13．若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A． B． C． D．15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为A． B． C． D．16．在△中，，，分别是内角，，的对边，若（其中表示△的面积），且，则△的形状是（）A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形三、解答题17．已知为坐标原点，．（1）若、、三点共线，求的值；（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．18．关于的方程的两个根为，．（1）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．19．已知，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别为，．（1）若是实数，求的最小值；（2）设为坐标原点，记，若，且点在轴上，求与的夹角．20．（17分）已知函数．（1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在，上的增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值．21．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．（1）已知，求；（2）设的向量分别为，已知，，求的坐标（结果用表示）；（3）若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值．

参考答案一、填空题（每题3分）1．函数，，是偶函数，则实数．解：函数，，是偶函数，设，则对任意，均有成立，即对均成立，所以，所以，因为，所以，又因为，，所以．故答案为：2．在复数范围内分解因式：．解：．3．已知为第三象限角，，则．解：因为为第三象限角，，可得，所以．故答案为：．4．若，则在上的数量投影为6．解：因为，所以在上的数量投影，．故答案为：6．5．若，为锐角，且，则．解：因为，为锐角，且，所以，，则．故答案为：．6．设向量、满足，则2．解：因为，，，，所以，所以．故答案为：2．7．已知、、三点共线（该直线不过原点，且，则的最小值为8．解：因为、、三点共线，所以，，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故答案为：8．8．已知是实数，是虚数单位，若复数的实部和虚部互为相反数，则．解：复数，又它的实部和虚部互为相反数，，，，．故答案为：．9．已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根，，且，则满足条件的实数的值为．解：依题意，设，，由根与系数的关系可得，，则，又，，即，解得，又△，解得或，．故答案为：．10．若是虚数单位，复数满足，则的取值范围是，．解：设，则，即，可知点的轨迹为以原点为圆心、2为半径的圆，表示点到点的距离，故的最大值为，最小值为，的取值范围是，，故答案为：，．11．定义在区间，上的函数与的图象的交点个数为6．解：因为与均为偶函数，所以要研究在区间，上的函数与的图象的交点个数，只需研究两个函数在，上的交点个数即可．当，时，，由，整理得或，当，时，由，解得或，共2个解；由，解为，共1个解．所以当，时，函数与的图象有3个交点；所以由偶函数对称性，，上也有3个交点．所以函数与的图象的交点个数为6．故答案为：6．12．“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力．顺次连接图中各顶点可近似得到正六边．若正六边形的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围为，．解：如图：由正六边形的性质可知，，故，所以，所以点的位置在直线的右侧的六边形内（包括边界）或落在线段上，又表示的是与在上的投影的乘积，故当落在线段上时，在上的投影最小为0，当落在线段上时，在上的投影最大为，故，故答案为：，．二、选择题（每题3分）13．若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1 B．2 C．1或2 D．解：若复数是纯虚数，，且，，故选：．14．已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）A． B． C． D．解：作为基底不共线即可，共线，共线，不共线，共线，故选：．15．我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为A． B． C． D．解：根据题意，，则，，可得，所以扇面的面积．故选：．16．在△中，，，分别是内角，，的对边，若（其中表示△的面积），且，则△的形状是（）A．有一个角是的等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解：如图，在边，上分别取点，，使，以，为邻边作平行四边形，则：四边形为菱形，连接，，，且；；；；又；，且；，即；延长交的中点于，则：，；；；；；，且；△的形状为等腰直角三角形．故选：．三、解答题17．已知为坐标原点，．（1）若、、三点共线，求的值；（2）若与夹角为钝角，求的取值范围．解：（1），、、三点共线，与共线，则，解得．（2）由（1）知，与夹角为钝角，可得，解得，若与平行，则，解得，若与不平行，则，的取值范围是．18．关于的方程的两个根为，．（1）若，求实数的值；（3）若，求实数的值．解：因为关于的方程的两个根为，．所以由韦达定理可得，，（1）由得方程有一对共轭复数根，所以，所以，所以；（2）方程有两实数根，则，解得；方程有两虚根，则，解得，所以实数的值为或．19．已知，，是虚数单位，，在复平面上对应的点分别为，．（1）若是实数，求的最小值；（2）设为坐标原点，记，若，且点在轴上，求与的夹角．解：（1）因为，在复平面上对应的点分别为，，所以，，因为是实数，则，所以，故的最小值为；（2）设，因为，则，，，，，所以，，则，又，所以，可得，则，所以，，故，所以与的夹角为．20．（17分）已知函数．（1）求函数的振幅、频率、初始相位，以及在，上的增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，求的值．解：（1）对于函数，它的振幅为，频率，初始相位，在，上，它的增区间为和．（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，函数，当，且时，有，即，．再根据的图象的对称性，，，故．21．设复平面中向量对应的复数为，给定某个非零实数，称向量为的向量．（1）已知，求；（2）设的向量分别为，已知，，求的坐标（结果用表示）；（3）若对于满足的所有能取到的最小值为8，求实数的值．解：（1）