2025-2026学年上海市宝山中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市宝山中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分）1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．2．已知，则的值为．3．函数的频率为．4．已知点，，若点满足，则点的坐标为．5．设、为夹角为的单位向量，则．6．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．7．关于的不等式：的解集为．8．已知，且，，则．9．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为．10．在△中，为边上不同于、的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为．11．设，函数，，若函数与的图像有且仅有三个不同的公共点，则的取值范围是．12．如图，在中，，，，则．二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．三角形中，“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要14．下列说法正确的是（）A．若，则 B． C．若，，则 D．若，，则15．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．，三.简答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12＝46分）17．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．18．在△中，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．19．已知函数．（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（2）当时，求的单调递增区间和值域．20．如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设、在同一水平面上，从、看的仰角分别为、．（1）设计中是铅垂方向，若要求，求的长（结果精确到0.01米）；（2）施工完成后与铅垂方向有偏差，现实际测得，，求的长和的大小（结果精确到0.01米和．21．已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．（1）求参数的值；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．

参考答案一、填空题（本大题共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42分）1．扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，则该扇形的面积是．解：扇形的半径为1，圆心角所对的长为3，所以该扇形的面积．故答案为：．2．已知，则的值为．解：，．故答案为：．3．函数的频率为15．解：函数中，，所以周期为，所以频率为．故答案为：15．4．已知点，，若点满足，则点的坐标为．解：设点的坐标是，由，，可得，，又，则有，，，即，解得．故答案为：．5．设、为夹角为的单位向量，则．解：由于、为夹角为的单位向量，故．故答案为：．6．已知，，则向量在向量方向上的投影向量为（用坐标表示）．解：，，则向量在向量方向上的投影向量为：．故答案为：．7．关于的不等式：的解集为．解：由，可得，即，因函数在每个区间上单调递增，而在区间内，由，可得，所以原不等式的解集为．故答案为：．8．已知，且，，则．解：由于，，则．由于，则，则有．故答案为：．9．函数的图像向左平移个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若，则的值为．解：函数向左平移后为，若为偶函数，则，则，解得，，当时，．故答案为：．10．在△中，为边上不同于、的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为．解：设，可得：，由题意可得，，即，故，，，，因此，因为，将代入得：，当且仅当（对应，即为中点）时等号成立．故的最小值为．故答案为：．11．设，函数，，若函数与的图像有且仅有三个不同的公共点，则的取值范围是．解：函数与的图象有且仅有3个不同的公共点，即方程有3个不同的根，也即方程有3个不同的根，因，则在上有3个不同的根，又，，则，或，或，依题意，需使，即的取值范围是．故答案为：．12．如图，在中，，，，则．解：因为，所以，所以，则，所以．故答案为：．二.选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．三角形中，“”是“”的条件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要解：，故“”是“”的充要条件．故选：．14．下列说法正确的是（）A．若，则 B． C．若，，则 D．若，，则解：向量不能比较大小，错误；结合向量数量积的运算律可得，错误；当时，错误；若，，则，正确．故选：．15．下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）A．，，，有两解 B．，，，有一解 C．，，，无解 D．，，，有一解解：若，，，则由正弦定理得，可得，△是直角三角形，只有1解，故错误；若，，，则由正弦定理得，结合，可得，所以可能是锐角或钝角，△有两解，故错误；若，，，则由正弦定理得，根据，可得，△只有1解，故错误；若，，，则由正弦定理得，结合为钝角且，可知为锐角，△有1解，故正确．故选：．16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．，解：因为对一切正实数，，不等式恒成立，即恒成立，令，则，因为，当且仅当，即时，取“”，所以；所以，即恒成立．因为，，，所以，，所以恒成立，令，则，，所以，所以恒成立．令，，，则．因为，，所以，当且仅当，即，时，等号成立，则，所以．所以，所以实数的取值范围为，．故选：．三.简答题（本大题共5题，共8+8+8+10+12＝46分）17．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．解：，，，，三点共线，，，化简得：，解得或，，或，．18．在△中，角，，所对的边分别为，，，若．（1）求的大小；（2）若，，求△的面积．解：（1）因为，由正弦定理可得，即，在△中，，所以，因为，所以；（2）由（1）知，，因为，，由余弦定理，得，即，得，所以△的面积．19．已知函数．（1）若角的终边与单位圆交于点，求的值；（2）当时，求的单调递增区间和值域．解：（1）角的终边与单位圆交于点，，；（2）由；由，得，，又，所以的单调递增区间是；，，，故得的值域是，．20．如图，某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端，长35米，长80米．设、在同一水平面上，从、看的仰角分别为、．（1）设计中是铅垂方向，若要求，求的长（结果精确到0.01米）；（2）施工完成后与铅垂方向有偏差，现实际测得，，求的长和的大小（结果精确到0.01米和．解：（1）根据题意可知，长35米，长80米，设的长为米，则，，，，则，即，解得：米，故的长为28.28米；（2）由题设，根据正弦定理得，即米，，则米，又，则，故的长为28.57米，．21．已知函数的图象如图所示，点，，为与轴的交点，点，分别为的最高点和最低点，而函数在处取得最小值．（1）求参数的值；（2）若，求向量与向量夹角的余弦值；（3）若点为函数图象上的动点，当点在，之间运动时，恒成立，求的取值范围．解：（1）由函数在处取