2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市静安区民立中学高一（上）期末数学试卷一、填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）.1．已知，，，3，，，则．2．关于的不等式的解集为．3．函数的定义域为．4．若，则．5．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为．6．化简：．（化成，，的形式）7．已知角的终边经过点，，则．8．若，，且，则的最大值是．9．不等式的解集是．10．若函数在区间，上是严格递减函数，则实数的取值范围为．11．满足的锐角组成的集合是．12．已知函数，若存在区间，，使得函数在，上的值域为，，则实数的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．以下对数式中，与指数式等价的是（）A． B． C． D．14．已知，则下列正确的是（）A． B． C． D．15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达到？A． B． C． D．16．已知函数，、、，且，，，则的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．已知集合和集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）是第几象限的角．19．已知函数为偶函数，其中．（1）求的值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．20．（17分）已知．（1）若过，求的解集；（2）存在，使得，求的取值范围．21．（17分）定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值数”，是它的一个均值点．（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．

参考答案一、填空题（满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知，，，3，，，则5．解：因为，，，3，，，，，所以且，又，3，，所以．故答案为：5．2．关于的不等式的解集为．解：原不等式等价于，即，即的解集为，所以不等式的解集为．故答案为：．3．函数的定义域为且．解：函数，，解得且，的定义域为且．故答案为：且．4．若，则．解：由，可得：．故答案为：．5．已知扇形的弧所对的圆心角为，且半径为，则该扇形的面积为．解：由题意，扇形的圆心角为，半径为，可得扇形的面积为．故答案为：．6．化简：．（化成，，的形式）解：由辅助角公式可得，．故答案为：．7．已知角的终边经过点，，则．解：由题意，可得，可得．故答案为：．8．若，，且，则的最大值是2．解：，，，当且仅当时取等号，即，时取等号所以的最大值为2．故答案为：2．9．不等式的解集是．解：设，其定义域为，和在均为增函数，则在为增函数，且（1），，即（1），，不等式的解集是．故答案为：．10．若函数在区间，上是严格递减函数，则实数的取值范围为．解：由题意可得二次函数的对称轴为，开口向上，又在，上是严格递减函数，所以，解得．故答案为：．11．满足的锐角组成的集合是．解：因为，所以，得，因为为锐角，则，故锐角组成的集合是．故答案为：．12．已知函数，若存在区间，，使得函数在，上的值域为，，则实数的取值范围为．解：由函数，显然该函数在，上单调递增，由函数在，上的值域为，，则，等价于存在两个不相等且大于等于的实数根，且在，上恒成立，则，解得．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．以下对数式中，与指数式等价的是（）A． B． C． D．解：把指数式化为对数式得：，所以与指数式等价的对数式为：．故选：．14．已知，则下列正确的是（）A． B． C． D．解：对于，令，，而，错误；对于，令，，满足，而，错误；对于，由，得，正确；对于，令，满足，而，错误．故选：．15．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度和燃烧质量千克，火箭（除燃料外）的质量千克，它们之间的函数关系是，当燃料质量是火箭质量的倍时，火箭的最大速度可达到？A． B． C． D．解：，要使火箭的最大速度可达到，，解得．故选：．16．已知函数，、、，且，，，则的值（）A．一定等于零 B．一定大于零 C．一定小于零 D．正负都有可能解：函数的定义域为，且，所以为奇函数．易得在上单调递增．由可得，由单调性可得，同理有，，故，即；故的值一定大于零．故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17．已知集合和集合，．（1）若，求实数的取值范围；（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．解：（1）当时，，解得，此时满足；当时，，即，因为，所以或，得，故实数的取值范围是，；（2）因为是的充分不必要条件，所以．则，解得，所以实数的取值范围是，．18．已知，，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）是第几象限的角．解：（1）由已知，，，所以；（2）由（1），；（3）由（1）（2）可知，，，所以是第三象限的角．19．已知函数为偶函数，其中．（1）求的值；（2）若对恒成立，求实数的取值范围．解：（1）由题可得，即，亦即，因为，所以，约分可得，即，解得．（2）由（1）得，又，由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，又对恒成立，所以，所以实数的取值范围是，．20．（17分）已知．（1）若过，求的解集；（2）存在，使得，求的取值范围．解：（1）函数的图像过点，则，解可得，则，其定义域为，若，即，则，解可得，即不等式的解集为；（2）根据题意，由（1）的结论，，其定义域为，方程，即，变形可得，则有，即，令，，则有，若存在实数，使得，则方程在时有解，而，必有，又由且，则有，则的取值范围为．21．（17分）定义：如果函数在定义域内给定区间，上存在实数，满足，那么称函数是区间，上的“平均值数”，是它的一个均值点．（1）判断函数是否是区间，上的“平均值函数”，并说明理由；（2）若函数是区间，上的“平均值函数”，求实数的取值范围；（3）设函数是区间，上的“平均值函数”，1是函数的一个均值点，求所有满足条件的数对．解：（1）函数是区间，上的“平均值函数”，理由：由方程，可得，结合“平均值函数”的定义，可得为“平均