2025-2026学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分36分）1．已知集合，，，则．2．已知集合，0，1，2，，集合，则．3．已知集合，，，，，，且，则的值为．4．设、是两个非空集合，则“”是“”的条件“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”．5．不等式的解集为．6．不等式的解集为．7．已知方程的两个根为、，则．8．若，，且，则的最小值为．9．在2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式中，某方阵总人数为120人，行数（排与列数（人排）满足．受场地限制，行数需满足安全间距不等式．则满足条件的行数可能为（写出所有可能值）．10．已知不等式对所有实数恒成立，求等号成立时的取值范围是．11．如图，在半径为4（单位：的半圆形为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为（单位：．12．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”．（1）且；（2）若、，则，且当时，有．给出以下命题：①集合，0，是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④设集合是“好集合”，若、，则；⑤设集合是“好集合”，若、，则，其中真命题的序号是．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题．13．用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（）A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数14．下列命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则15．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（）A． B． C．或 D．16．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（）①集合，，0，1，为闭集合；②集合，为闭集合；③若集合，为闭集合，则为闭集合；④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得．A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知集合，，全集．求，及．18．已知．若不等式的解集为，求实数的取值范围．19．2025年8月22日，上海野生动物园的大熊猫“芊金”顺利诞下一对大熊猫龙凤胎，为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示．已知米，米．设米，矩形的面积为平方米．（1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值；（2）由于园区整体规划限制，要使矩形的面积不超过128平方米，则的长应在什么范围内？20．已知命题：方程没有实数根．（1）若是真命题，求实数的取值集合；（2）集合，若是的必要条件，求的取值范围．21．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等．例如，，求证：．证明：原式．阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究．例如，正实数，满足，求的最小值．解：由，得，，当且仅当，即时，等号成立．的最小值为．波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个蘑菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类似问题，我们有更多的式子满足以上特征．结合阅读材料解答下列问题：（1）已知，求的值；（2）若正实数，满足，求的最小值．

参考答案一、填空题（共有12题，满分36分）.1．已知集合，，，则，．解：集合，，，则，．故答案为：，．2．已知集合，0，1，2，，集合，则，1，．解：，0，1，2，，，1，，，1，．故答案为：，1，．3．已知集合，，，，，，且，则的值为．解：集合，，，，，，且，，则或，解得，或（舍去），综上所述：．故答案为：．4．设、是两个非空集合，则“”是“”的必要非充分条件“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”．解：，所以“”是“”的必要非充分条件．故答案为：必要非充分．5．不等式的解集为，．【解答】积：由，则，得，所以不等式解集为，．故答案为：，．6．不等式的解集为，．解：不等式，即，解得，故所求解集为，．故答案为：，．7．已知方程的两个根为、，则．解：方程的两个根为、，，，，故答案为：．8．若，，且，则的最小值为9．解：，，且，则，当且仅当时，等号成立，则的最小值为9．故答案为：9．9．在2025年9月3日纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年的阅兵式中，某方阵总人数为120人，行数（排与列数（人排）满足．受场地限制，行数需满足安全间距不等式．则满足条件的行数可能为，8，10，（写出所有可能值）．解：行数需满足安全间距不等式，则，且，当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；当时，，则的所有可能取值为，8，10，．故答案为：，8，10，．10．已知不等式对所有实数恒成立，求等号成立时的取值范围是，．解：由绝对值的几何意义可知不等式对所有实数恒成立，当且仅当，时，等号成立．故答案为：，．11．如图，在半径为4（单位：的半圆形为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点，在直径上，顶点，在圆周上，则矩形面积的最大值为16（单位：．解：如下图所示，连接，设，则，，所以，由基本不等式可得，矩形的面积为，当且仅当时，即当时，等号成立，故答案为：16．12．若集合具有以下两条性质，则称集合为一个“好集合”．（1）且；（2）若、，则，且当时，有．给出以下命题：①集合，0，是“好集合”；②是“好集合”；③是“好集合”；④设集合是“好集合”，若、，则；⑤设集合是“好集合”，若、，则，其中真命题的序号是③④⑤．解：对于①，由集合，0，，若，，可得，所以集合不满足性质（2），所以集合，0，不是个“好集合”，所以①是假命题；对于②，取，此时，但，所以不是“好集合”，所以②是假命题；对于③，对于实数集，其中且，且任意，，则，且当时，有所以实数集是“好集合”，所以③是真命题；对于④，集合是“好集合”，由，，根据“好集合”的定义，可得，因为，，可得，所以④是真命题；对于⑤，若集合是“好集合”，任取，，若，中有0和1时，显然；设，均不含0和1，由“好集合”的定义知，，所以，所以，由④可得，同理可得，若或，显然；若或，则，所以，，所以，由，则，所以⑤是真命题．故答案为：③④⑤．二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题．13．用反证法证明结论“、、至少有一个是正数”时，应假设（）A．、、都是正数 B．、、都不是正数 C．、、至多有一个正数 D．、、至多有两个正数解：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，“至少有一个”的否定：“一个也没有”，即“，，都不是正数”．故选：．14．下列命题中，正确的是（）A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则解：对于，，，，故正确，对于，，，当时，，故选项错误，对于，当，，，时，满足，，但，故错误，对于，当，，，时，满足，，但，故错误．故选：．15．设全集，或，，如图，阴影部分所表示的集合为（）A． B． C．或 D．解：因为或，，所以或，所以阴影部分所表示的集合为．故选：．16．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，下列结论正确的个数是（）①集合，，0，1，为闭集合；②集合，为闭集合；③若集合，为闭集合，则为闭集合；④若集合，为闭集合，且，，则存在，使得．A．0 B．1 C．2 D．3解：对于①：，，0，1，，当，时，，，但，不满足闭集合的定义，故①错误；对于②：，，任意，，可设，，，，则，，由，，所以，且，故集合为闭集合．故②正确；对于③：设，，任意，，可设，，，，则，，由，，所以，且，则集合为闭集合；由②分析可知，也为闭集合，，，，，0，2，3，4，，当，时，，，但，即不是闭集合，故③错误；对于④：设，若，，则，，则，都为闭集合，又且，不存在，使得，即不存在，使得，故④错误．故选：．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤。17．已知集合，，全集．求，及．解：集合，，则；全集，则，故；或，，故或．18．已知．若不等式的解集为，求实数的取值范围．解：的解集为，即恒成立，当时，解集不是，不符合题意；当时，，解得，故的范围为．19．2025年8月22日，上海野生动物园的大熊猫“芊金”顺利诞下一对大熊猫龙凤胎，为了让妈妈更好地喂养两个小幼崽，动物园决定在原来的矩形居室的基础上，拓展建成一个更大的矩形居室，使活动的空间更大．为不影响现有的生活环境，建造时要求点在上，点在上，且对角线过点，如图所示．已知米，米．设米，矩形的面积为平方米．（1）写出关于的表达式，并求出为多少米时，有最小值；（2）由于园区整体规划限制，要使矩形的面积不超过128平方米，则的长应在什么范围内？解：（1）由图知，所以，所以，所以，由基本不等式可知时，，当且仅当即时，；（2）要使矩形的面积不超过128平方米，所以，所以，所以，则的长应在，．20．已知命题：方程没有实数根．（1）若是真命题，求实数的取值集合；（2）集合，若是的必要条件，求的取值范围．解：（1）若是真命题，则△，解得，．（2）是的必要条件，，①当时，由，得，②当时，由，解得，综上所述，的取值范围为，．21．《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：①整体观察；②整体设元；③整体代入；④整体求和等．例如，，求证：．证明：原式．阅读材料二：解决多元变量问题时，其中一种思路是运用消元思想将多元问题转化为一元问题，再结合一元问题处理方法进行研究