2025-2026学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区高一（下）期末数学试卷一、填空题（共有12题，满分36分）．1．函数的最小正周期为．2．已知为锐角，且，则．3．已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为．4．在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是．5．已知，，，则．6．已知△中，，，，则在方向上的数量投影为．7．函数的单调递增区间为．8．在△中，，，面积为，则．9．已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是．10．已知，，且，均为锐角，则的值为．11．关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数．12．如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．如果是锐角，那么是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于的正角 D．钝角14．设，则“”是“复数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件15．已知单位向量，的夹角为，若，则△为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形16．设函数，，，值域为，则以下结论错误的是（）A．的最小值为 B．不可能等于， C．的最大值为 D．不可能等于，三、解答题（本大题共有5题，满分72分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．已知为虚数单位，为实数，复数．（1）当时，求的模和；（2）若为实数，求的值．18．以△的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：．19．已知向量，．（1）若，求的值；（2）设，，求的取值范围．20．（17分）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布（且异于点，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．（1）求观赏通道的长；（2）若，求折线段通道的最大值（即最大）．21．已知函数，其中．（1）求函数的振幅和初相；（2）若，且，求的最小正周期和对称轴方程．

参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．函数的最小正周期为．解：函数的最小正周期为：．故答案为：．2．已知为锐角，且，则．解：根据为锐角，且，可得，所以．故答案为：．3．已知扇形的弧长为8，半径为3，则扇形的面积为12．解：由扇形的弧长为8，半径为3，可得扇形的面积：．故答案为：12．4．在复平面内，复数、对应的点分别为、，若为线段的中点，则点对应的复数是．解：复数、对应的点分别为、，，，为线段的中点，，点对应的复数是．故答案为：．5．已知，，，则．解：因为，，且，所以．故答案为：．6．已知△中，，，，则在方向上的数量投影为．解：．故答案为：．7．函数的单调递增区间为．解：令可得，，，故函数的单调递增区间，．故答案为：，．8．在△中，，，面积为，则2．解：因为△中，，，面积，所以，即，解得．故答案为：2．9．已知，，若与的夹角是锐角，则实数的取值范围是，，．解：，，与的夹角是锐角，则且、不同向，即，解得且，故实数的取值范围是，，．故答案为：，，．10．已知，，且，均为锐角，则的值为．解：，，且，均为锐角，，，则．再根据，求得，故答案为：．11．关于的实系数一元二次方程有两个虚根和，若，则实数．解：由题意可得，，，，或4，又，，．故答案为：．12．如图，在梯形中，，，，，点在线段上，则的最小值为．解：由题意可得，，，，设，代入，可得，解得，，所以，因为点在线段上，设，，，则，，所以，所以，即点是线段中点时，有最小值．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分．13．如果是锐角，那么是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于的正角 D．钝角解：因为是锐角，即，所以，即是小于的正角．故选：．14．设，则“”是“复数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件解：复数，则，解得；，则，充分性成立；，则，必要性成立，“”是“复数”的充要条件．故选：．15．已知单位向量，的夹角为，若，则△为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形解：根据题意，由，可得，则，由，可得，故，由，则，可得，在△中，由，，，可得，则△为直角三角形；故选：．16．设函数，，，值域为，则以下结论错误的是（）A．的最小值为 B．不可能等于， C．的最大值为 D．不可能等于，解：若，，，则取最小值为，对，若，，，则取最大值为，对，若，，则，若存在，，使，则存在，，使，与值域矛盾，则不可能等于，，对，若，，则值域为，则错，故选：．三、解答题（本大题共有5题，满分72分）解答下列各题必须写出必要的步骤．17．已知为虚数单位，为实数，复数．（1）当时，求的模和；（2）若为实数，求的值．解：（1）当时，，所以，．（2）因为，因为该复数为实数，所以，解得．18．以△的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，建立平面直角坐标系．如图，将角、、所对的边分别记作、及，则点、的坐标分别为及，试证明：．【解答】证明：由题意，，，则，两边平方得：，即，得证．19．已知向量，．（1）若，求的值；（2）设，，求的取值范围．解：（1）知向量，，因为，则，即，得．（2）所以．因为，所以，则，，因此，，即的取值范围为，．20．（17分）某种植区域的平面示意图为如图的四边形，已知，区域的两个顶点、分别沿两条道路分布（且异于点，为了提升观赏性，区域中修建观赏通道，，．（1）求观赏通道的长；（2）若，求折线段通道的最大值（即最大）．解：（1）在△中，已知，，，根据正弦定理，可得，即，解得，则观赏通道的长为；（2）在△中，，，设，，由余弦定理：，即，配方整理可得：，由基本不等式，当且仅当时取等号，代入得：，所以，当且仅当时，等号成立，因此折线段通道