2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市浦东新区三林中学高一（下）期末数学试卷一、填空题（共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）.1．复数的虚部为．2．直线的倾斜角为．3．若角的终边过点，则．4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为．5．点到直线的距离为．6．已知与互为”共轭复数”，其中，，为虚数单位，则的值为．7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为．8．已知是纯虚数是虚数单位），则．9．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于．10．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期．11．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为．二、选择题13．直线与直线的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．重合 D．由决定14．设，为复数，则是的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要15．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（）A．， B．， C． D．16．在平面直角坐标系中，定义，为两点，，，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．给出下列两个命题：①对任意三点，，，都有，，，；②已知点和直线，则．则下列正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题三、解答题17．已知复数，，是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围；（2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值．18．已知直线过点且它的斜率为，直线．（1）写出直线的方程，并求当时，与的夹角；（2）若，求实数的值，并求此时直线到直线的距离．19．已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．20．已知向量．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△中，内角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．21．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点．（1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程；（2）求△面积的最小值；（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．

参考答案一、填空题（共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1．复数的虚部为．解：复数的虚部为．故答案为：．2．直线的倾斜角为．解：直线的斜率是，直线的倾斜角的正切值是，，，，故答案为：3．若角的终边过点，则．．解：由已知得，，则．故答案为：．4．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为．解：复数与分别对应向量与，．故答案为：．5．点到直线的距离为1．解：点到直线的距离．故答案为：1．6．已知与互为”共轭复数”，其中，，为虚数单位，则的值为1．解：因为与互为共轭复数，所以，故得．故答案为：1．7．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为，．解：由已知得，，，则向量在上的投影向量的坐标为．故答案为：．8．已知是纯虚数是虚数单位），则．解：是纯虚数，，得且，为第二象限角，则．．故答案为：．9．已知，，若直线与直线互相垂直，则的最大值等于．解：根据题意，若直线与直线互相垂直，则有，变形可得，则，当且仅当时，等号成立；即的最大值为，故答案为：．10．已知复数，，为虚数单位）．在复平面上，设复数，对应的点分别为，，若，其中是坐标原点，则函数的最小正周期．解：由题意，，，，，，即，．则函数的最小正周期为．故答案为：．11．在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为．解：建立平面直角坐标系如下，则，，，直线的方程为，即，点在直线上，设，，，，的最小值为．故答案为：．12．设全集，，，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为．解：设．由，，可知，即，即．因为，，，所以，则可化为，解得．即集合在复平面内表示的图形为圆及其内部，集合在复平面内表示的图形为直线的左侧，集合在复平面内表示的图形为直线的右侧（包括直线，如图所示：所以，复数在复平面内对应的点形成的图形即为图中的弓形部分，弓形的面积为扇形的面积减去的面积，易知扇形的圆心角，圆的半径，则扇形的面积，，所以弓形的面积为．故答案为：．二、选择题13．直线与直线的位置关系是（）A．相交 B．平行 C．重合 D．由决定解：直线与直线斜率分别为和，既不相等，且乘积也不为，故直线与直线的位置关系是相交，故选：．14．设，为复数，则是的条件．A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要解：由复数除法的模的性质得，，若，则，即，则是的必要条件；若，即，因为，所以，则是的充分条件；综上所述，则是的充要条件．故选：．15．已知向量满足与的夹角为，则的取值范围是（）A．， B．， C． D．解：已知向量满足与的夹角为，则，所以，当时，取得最小值48，所以的取值范围是．故选：．16．在平面直角坐标系中，定义，为两点，，，的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作．给出下列两个命题：①对任意三点，，，都有，，，；②已知点和直线，则．则下列正确的是（）A．①和②都是真命题 B．①真②假 C．①假②真 D．①和②都是假命题解：①对任意三点，，，若，，不共线，且△中为锐角或钝角，由矩形或矩形，，，，；对任意三点，，，若，，共线，设，，，，，，如图，结合三角形的相似可得，，为，，，或，，，则，，，；若，或，对调，可得，，，．综上所述，对任意的三点，，，都有，，，，命题①正确；②设点是直线上一点，且，可得，，由，解得，即有，当时，取得最小值；由，解得或，即有，所以的范围是，无最值；综上可得，，两点的“切比雪夫距离”的最小值为，故②正确．故选：．三、解答题17．已知复数，，是虚数单位）（1）若在复平面内对应的点落在第二象限，求实数的取值范围；（2）若是实系数一元二次方程的一个虚根，记，求的值．解：（1），，，在复平面内对应的点，落在第二象限，，解得，故的取值范围为；（2）已知是实系数一元二次方程的一个虚根，则其共轭也是该方程的一个虚根，由韦达定理得，解得，，，，．18．已知直线过点且它的斜率为，直线．（1）写出直线的方程，并求当时，与的夹角；（2）若，求实数的值，并求此时直线到直线的距离．解：（1）因为的斜率为，且过点，所以的方程为，即；当时，，其斜率为，所以，，即；（2）因为，可化为，若，，得；则，即，到直线的距离．19．已知复数满足，的虚部为2．（1）求复数；（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，求的值．解：（1）设，由复数满足，的虚部为2．可得，解得或，故，；（2）当时，，，所以，，，所以，，，当时，，，，，，所以，，．20．已知向量．（1）当时，求的值；（2）设函数，已知在△中，内角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围．解：（1）当时，则存在非零实数，使得，当时，则，与时矛盾，舍去．当时，，即，所以．（2）由题意，，由正弦定理可知，即，因为且，所以．所以，当时，，，，所以．21．直线过点且与轴、轴正半轴分别交于，两点．（1）若直线与的法向量平行，写出直线的方程；（2）求△面积的最小值；（3）如图，若，过点作平行于轴的直线交轴于点，动点，分别在线段和上，若直线平分直角梯形的面积，求证：直线必过一定点，并求出该定点坐标．【解答】（1）解：由题意可设直线，所以，所以，即．（2）解：当直线斜率不存在时，不存在点，舍去．当直线斜率存在时，设，即，由题意可知，，，时，，当且仅当，即时取等号，．（3）证明：由题意，设，，因为，点，即，，，，，即，，．过点作平行于