2025-2026学年上海市普陀区回民中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2025-2026学年上海市普陀区回民中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共有12题，满分54分）.1．向量化简后等于．2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为．3．已知，则．4．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则．5．已知，，，则在方向上的数量投影为．6．在三角形中，，，，则的大小为．7．已知奇函数的一个周期为2，当时，，则．8．已知函数，，，的部分图象如图所示，则的解析式是．9．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则的取值范围是．10．在中，，，，是上一点，，则．11．设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．若，向量，在斜坐标中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是．12．函数的图像在，上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是．二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分．13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．14．在△中，为的中点，若，，则为（）A． B． C． D．15．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为，在地面上点处，，在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A． B． C． D．16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；②该函数的图像关于原点对称；①该函数的图像关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．已知，．（1）求的值；（2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值．18．已知向量，满足，，．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求．19．如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．（1）若百米，判断△是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出△面积的关于的表达式，并求的最小值．20．（17分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若函数，求函数的单调递减区间；（3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．21．（18分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．（1）设，写出函数的相伴向量；（2）已知△的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围；（3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．

参考答案一、填空题（本题满分54分）本大题共有12题，第1-6每题4分，第7-12每题5分．1．向量化简后等于．解：由向量加法的运算法则，可得．故答案为：．2．已知扇形的半径为6，面积为，则扇形的弧长为．解：设扇形的弧长为，则，得，故答案为：．3．已知，则1．解：由题意，可得．故答案为：1．4．已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合．终边过点，则．解：因为角的终边过点，，所以，则．故答案为：．5．已知，，，则在方向上的数量投影为．解：已知，，，则在方向上的数量投影为．故答案为：．6．在三角形中，，，，则的大小为．解：，，，根据余弦定理得：，又为三角形的内角，．故答案为：7．已知奇函数的一个周期为2，当时，，则．解：根据题意，奇函数的一个周期为2，则，又由当时，，则，故；故答案为：．8．已知函数，，，的部分图象如图所示，则的解析式是．解：由函数图象可知：，周期，由周期公式可得：，由点，在函数图象上，可得：，解得：，，又，从而可得：，可得：，故答案为：．9．若向量，，，已知与的夹角为钝角，则的取值范围是，，．解：根据题意，向量，，，则，若与的夹角为钝角，则有且，解可得且，则的取值范围为，，；故答案为：，，．10．在中，，，，是上一点，，则．解：如图，，．故答案为：．11．设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系中的斜坐标．若，向量，在斜坐标中的坐标分别为，，则在上的投影向量的斜坐标是．解：设，是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量，若，则，若向量，则把有序实数对叫做在斜坐标系中的斜坐标，因为向量，在斜坐标中的坐标分别为，，所以，，则，，根据投影向量公式可得在上的投影向量为，，．故答案为：．12．函数的图像在，上恰好有一个点纵坐标为1，则实数的取值范围是，．解：令，则函数的图象如下图所示，要使得函数的图像在，上恰好有一个点纵坐标为1，则，解得，故答案为：．二、单选题（本题满分18分）本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16每题5分．13．下列函数中，最小正周期为的奇函数是（）A． B． C． D．解：函数、的最小正周期为，不正确；函数是偶函数，不正确，是奇函数，且最小正周期为，正确．故选：．14．在△中，为的中点，若，，则为（）A． B． C． D．解：为的中点，，，，故选：．15．山西应县木塔，始建于1056年，是世界上现存最高大、最古老的纯木楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”．某同学为了估算木塔的高度，他在塔的附近找到一座建筑物，高为，在地面上点处，，在同一水平面上且三点共线）测得木塔顶部，建筑物顶部的仰角分别为和，在处测得木塔顶部的仰角为，则可估算木塔的高度为（）A． B． C． D．解：因为，在△中，，在△中，，，则，由正弦定理，得，所以，在△中，．故选：．16．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，，且，定义，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质：①该函数的值域为；②该函数的图像关于原点对称；①该函数的图像关于直线对称；④该函数为周期函数，且最小正周期为．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：在中，由三角函数的定义可知，，所以，正确；在中，，所以，所以函数关于原点不对称，错误；在中，当时，，所以图像关于直线不对称，错误；在中，，所以函数为周期函数，且最小正周期为，正确．故选：．三、解答题（本题满分78分）本大题共有5题，第17-19每题14分，第20-21每题18分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17．已知，．（1）求的值；（2）若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值．解：（1），，，；（2）由题意，，由（1）知，，则．18．已知向量，满足，，．（1）求与的夹角的余弦值；（2）求．解：（1），，，，，；（2）由（1）知，，．19．如图，某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．（1）若百米，判断△是否符合要求，并说明理由；（2）设，写出△面积的关于的表达式，并求的最小值．解：（1）由题意某城市有一矩形街心广场，如图，其中百米，百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．百米，可得，，所以，，，所以，所以，△不符合要求，（2），，所以，，，，所以，的最小值为．20．（17分）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）若函数，求函数的单调递减区间；（3）若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．解：因为，（1）；（2），由，，解得，，所以函数的单调递减区间为：，；（3）当时，，，所以，，所以，，又因为函数在区间上有两个不等实根，即与在区间上有两个不同的交点，所以，，解得．21．（18分）定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”（其中为坐标原点）．（1）设，写出函数的相伴向量；（2）已知△的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围；（3）已知，，为（2）中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．解：非零